Il cambiamento di scala

Nel seguito ci si interesserà principalmente ai metodi di cambiamento di scala detti euristici, ovvero che permettono di ottenere un valore unico e plausibile della permeabilità equivalente senza risolvere un problema diretto. In particolare, essi suppongono che il campo di permeabilità equivalente alla scala idrodinamica sia indipendente dalle condizioni al contorno, supponendo noto il campo di permeabilità alla scala geostatistica.

Per una classicazione esaustiva dei metodi di cambiamento di scala si rimanda aRenard e

de Marsily (1997).

3.2.1 Medie di potenze

Uno dei rari risultati esatti si ha in IR2_{, doveMatheron(1967) ha dimostrato che la permeabilità}

equivalente è la media geometrica delle permeabilità dei blocchi, se il mezzo è lognormale isotropo o una scacchiera binaria invariante per rotazione di 90 gradi.

Journel et al.(1986) hanno evidenziato che una media di potenze detta all'ordine p ∈ [−1, 1]

può apparire come risultato analitico esatto a seconda delle condizioni al contorno del problema: µp =  1 V Z V K(x) p_dv 1 p (3.1) Questa formula è del tutto generale e corrisponde alla media armonica se p = −1, aritmetica se p = 1 e geometrica se p → 0.

Matheron(1967) mostra inoltre che per mezzi statisticamente omogenei e isotropi si ha p = 1−2

n,

con n numero di dimensioni dello spazio. In IR2 _{si ottiene la media geometrica:}

lim p→0  1 V Z V K(x) p_dv 1 p = µg

3.2.2 Disuguaglianze, limiti teorici e loro composizione

La disuguaglianza fondamentale è quella enunciata da Wiener (1912) e dimostrata tra gli altri in Matheron (1967). È detta fondamentale perché è sempre vericata: stabilisce che la media armonica e la media aritmetica sono rispettivamente i limiti inferiore e superiore della permeabilità equivalente:

µh≤ Keq ≤ µa (3.2)

Diversi sono i tentativi di restringere l'ampiezza di questo intervallo. Ad esempio Hashin e

costante K1 ricoperte da uno spessore a permeabilità K2. La massima permeabilità equivalente

si ha quando K1 < K2, la minima si ha invertendo i valori. Tuttavia l'intervallo tra i due limiti

è poco minore di quello fondamentale. Matheron(1993) ha proposto dei limiti più precisi per il caso di mosaico aleatorio bidimensionale isotropo.

Il risultato più interessante è quello ottenuto da Cardwell e Parsons (Cardwell e Parsons,

1945), i quali dimostrano che per un assemblaggio di maglie tridimensionali a permeabilità costante su una griglia regolare, e per una direzione ssata del usso (supposto diretto lungo l'asse delle x), si ha:

µaz(µay(µhx)) ≤ Kef ≤ µhx(µaz(µay)) (3.3)

dove µa è la media aritmetica e µh la media armonica, da applicare se la direzione in cui si

raggruppano le maglie è rispettivamente perpendicolare o parallela rispetto alla direzione del usso, mentre con x, y e z sono indicati gli assi del sistema di riferimento.

Nel piano l'equazione, insieme al signicato dei simboli, è veramente intuitiva:

µa⊥(µhk) ≤ Kef ≤ µhk(µa⊥) (3.4)

La congettura di Matheron

Matheron ha proposto una formula che dovrebbe valere per uno spazio euclideo di dimensione n, per mezzo non lognormale isotropo. In pratica denisce la permeabilità eettiva come media di potenze della media aritmetica e armonica (ovvero dei limiti di Wiener):

Kef = (µa)α(µh)1−α con α ∈ [0, 1] (3.5)

se il mezzo è statisticamente omogeneo e isotropo, allora α = n−1_n . Questo risultato è esatto nel caso di permeabilità fattorizzate; per n = 2 e mezzo lognormale isotropo, la KMatheron

tende alla media geometrica. Ababou [rif.bib] fornisce una versione per mezzo anisotropo ma statisticamente omogeneo.

Un risultato conseguente alla congettura di Matheron è lo sviluppo in serie proposto da

Gutjahr(1978);Dagan(1993); Noetinger(1994) utilizzando la teoria delle perturbazioni:

Kef = µgexp ((1₂− 1_n)σ2) (3.6)

dove σ2 _{è la varianza del logaritmo delle permeabilità.}

Limiti di Cardwell e Parsons e sviluppo di Kruel-Romeu

Guerrillot et al.(1990) propongono la media geometrica degli estremanti di Cardwell e Parsons.

Kruel-Romeu(1994) generalizza questa idea modicando l'ordine di raggruppamento propo-

sto inizialmente da Cardwell e Parsons e proponendo allo stesso tempo una formula di compo- sizione per media di potenze che permette di prendere in conto l'anisotropia della permeabilità tramite gli esponenti. La parte più originale del suo lavoro consiste nello sviluppare una soluzio- ne analitica approssimata per stimare la permeabilità KDF (DF sta per Dierenze Finite) di

una griglia bi- o tridimensionale. Essa è denita come la permeabilità che si ottiene risolvendo l'equazione di diusività alle dierenze nite, con schema diretto e condizioni ai limiti di tipo periodico, per una σ2

ln k sucientemente piccola.

Tra l'altro, il lavoro di Kruel-Romeu segna un altro importante risultato: dimostra e quan- tica l'errore sistematico introdotto dalla regola di ponderazione armonica per le trasmissività inter-maglia nella formulazione delle dierenze nite, errore che può essere stimato osservando la velocità di convergenza delle KDF al valore teorico (uno sviluppo in serie di σln k2 ) al rattimento

della griglia. Egli imputa l'errore, che conduce ad un'importante sottostima della permeabilità reale, all'ipotesi di usso monodimensionale che soggiace alla regola di ponderazione armonica; questa ipotesi diventa rapidamente falsa all'aumentare della varianza della K, soprattutto in IR3_.

3.2.3 Rinormalizzazione Semplicata

Il metodo di Rinormalizzazione Semplicata proposto da Le Loc'h(1987);Renard e de Marsily

(1997);Renard(1997) è un algoritmo iterativo che per le sue caratteristiche è utilizzato anche in

numerose recenti pubblicazioni, da diversi autori (ad esempio: (Galli et al.,1996;Lunati et al.,

2001)).

È un metodo euristico, rapido, ma che permette allo stesso tempo di mantenere l'informa- zione relativa alla distribuzione delle permeabilità all'interno del blocco equivalente (gura3.1). L'algoritmo è stato proposto dagli autori per maglie rettangolari uniformi, a 2 o 3 dimensio- ni, con i tensori delle permeabilità iniziali supposti diagonali, ovvero supponendo che gli assi principali di anisotropia delle permeabilità siano diretti come gli assi della griglia.

1 2 Cxx min Cxx max Flusso µh µa µh µa

Figura 3.1: Schema in 2D delle approssimazioni successive nel caso di Rinormalizzazione Sem- plicata. Nel caso di blocchi rettangolari, Renard propone di ponderare le medie secondo la

dimensione delle maglie. In gura sono rappresentati due pesi d'esempio (daRenard(1997)).

Esso consiste nel raggruppare iterativamente a 2 a 2 celle adiacenti alternando ad ogni passo la direzione su cui si eettua la media, in pratica alternando la media aritmetica e l'armonica a seconda che si medino due celle disposte rispettivamente in parallelo o in serie rispetto al usso (o meglio, rispetto all'asse principale di anisotropia del tensore di permeabilità di cui si sta calcolando il cambiamento di scala). Il procedimento si reitera no ad ottenere un solo valore per la maglia.

In IR2 _{si ottengono allora due valori per ogni asse, a seconda della direzione con la quale si}

comincia il calcolo; i due valori saranno rispettivamente l'estremo superiore e inferiore della Kb.

Questi due estremanti possono nalmente essere ricomposti con una media di potenze il cui espo- nente, calcolato con un approccio derivato dagli sviluppi analitici introdotti da Kruel-Romeu, prendono in conto l'anisotropia del mezzo; Le Loc'h propone invece la media geometrica per mez- zi isotropi. Renard (1997) fornisce le formule per calcolare il tensore completo di permeabilità, anche in IR3_{, nel caso in cui la permeabilità macroscopica sia tensoriale.}

tensore di permeabilità equivalente, anche se si parte da valori scalari di permeabilità macro- scopica: K_b=  Kxx rs 0 0 Krsyy  con, in generale, Kxx

rs 6= Krsyy. Se si vuole ottenere una Kb scalare, si deve a questo punto

calcolare un'ulteriore media delle componenti Kxx

rs e Krsyy; ma un tale calcolo può essere condotto

solo se si conosce la direzione del gradiente idraulico, e dunque del usso. In questo caso, le componenti lungo x e y del versore diretto come il gradiente idraulico costituiranno i pesi della media aritmetica ponderata del tensore K_b calcolato dalla Rinormalizzazione Semplicata. Se tale direzione non è nota, l'imprecisione associata alla media ponderata degrada rapidamente l'adabilità del metodo.