Inuenza della variabilità spaziale di porosità e permeabilità

iniziale dei campi di porosità e permeabilità.

Esiste una gerarchia piuttosto marcata tra gli eetti indotti da questi parametri. Si può tranquillamente anticipare il fatto che il coeciente di correlazione ρ riveste un'importanza marginale, almeno per il modello di corregionalizzazione scelto per le prove in esame, rispetto agli altri due parametri. In gura (7.2) sono riportate le curve della quantità di calcite ancora in posto per chimica all'equilibrio e dispersività pari a 10 metri. In ogni graco sono presenti quattro curve, le possibili combinazioni di portata 10 e 30 m e ρ 0.5 e 1. Colori diversi rappresentano diversi coecienti di correlazione, mentre il tipo di linea (a tratti o continua) indica la portata. Ebbene, se le curve a diversa portata sono tra loro ben discriminate, altrettanto non si può dire per i due diversi coecienti di correlazione. All'aumentare della varianza delle simulazioni (la deviazione standard σlog k vale rispettivamente 0.5 e 1 nei graci di sinistra e di destra), aumenta

sensibilmente lo scarto delle curve rispetto al comportamento all'equilibrio (linea nera a puntini) ma solo debolmente quello tra le curve con stessa portata e diverso coeciente di correlazione, con l'eccezione del caso a forte varianza, grande portata e debole correlazione.

100 150 200 250 300 40 30 20 10 0 σσ ==0.5 HCl iniettata [moli x 1000] % Q Q0 a==10 a==30 ρρKωω==1 ρρKωω==0.5 100 150 200 250 300 40 30 20 10 0 σσ ==1 HCl iniettata [moli x 1000] % Q Q0 a==10 a==30 ρρKωω==1 ρρKωω==0.5

Figura 7.2: Chimica all'equilibrio: sensitività della quantità di calcite a ρ e portata del variogramma per diverse σ. Mentre le curve a portata 10 e 30 sono ben separate (linea tratteggiata e continua rispettivamente), quelle a diverso colore, ovvero coeciente di correlazione, sono dicilmente discriminabili. Per forte varianza, nel graco di destra, si amplica lo scarto tra le curve a diverso coeciente di correlazione, ma la portata rimane comunque il parametro che produce la discriminazione maggiore.

Una diversa disposizione delle curve relative alle 8 simulazioni all'equilibrio consente di valutare l'inuenza della portata e della varianza delle simulazioni. La gura (7.3) divide le simulazioni secondo il coeciente di correlazione, in maniera da visualizzare nello stesso graco proprio le possibili combinazioni di σ e portata esplorate. Questa volta il colore (che rappresenta la varianza) discrimina nettamente le curve, con un'inuenza maggiore anche rispetto alla portata; lo stesso comportamento si osserva sia per correlazione lineare tra le gaussiane di porosità e permeabilità, sia per una correlazione più debole. Quale che sia la portata delle simulazioni, è la varianza che ne determina in maniera essenziale lo scostamento rispetto al caso omogeneo.

L'inuenza della portata è di rango inferiore. Le curve a portata 10 inoltre sono sistematica- mente più vicine al caso omogeneo rispetto a quelle a portata 30; per quanto riguarda i punti di

distacco delle curve dal comportamento lineare omogeneo, è sorprendente il fatto che in generale ci sia poca distanza tra le due portate, ma con un leggero anticipo in favore della portata 30. Questo fatto può sembrare controintuitivo, in quanto ci si attenderebbe che piccole strutture spaziali tendano a formare digitazioni strette che si propaghino più velocemente all'interno del permeametro, arrivando per prime al bordo di uscita rispetto a quelle più larghe. Tuttavia, nelle condizioni delle prove in esame, di moderata instabilità, se è vero che per la portata 10 il fronte di dissoluzione mostri in generale due o tre digitazioni piuttosto ben marcate ma che restano in competizione tra loro, una forma del fronte con una sola digitazione larga e molto pronunciata, come quella che in generale si viene a formare per le simulazioni a portata 30, è favorita quanto a velocità complessiva di avanzamento. Si vedrà nella sezione seguente che questo comportamento può cambiare considerando condizioni più instabili per le simulazioni idrodinamiche.

100 150 200 250 300 40 30 20 10 0 ρρ ==0.5 HCl iniettata [moli x 1000] % Q Q0 a==10 a==30 σσlogK==1 σσlogK==0.5 100 150 200 250 300 40 30 20 10 0 ρρ ==1 HCl iniettata [moli x 1000] % Q Q0 a==10 a==30 σσlogK==1 σσlogK==0.5

Figura 7.3: Chimica all'equilibrio: sensitività della quantità di calcite a σ e portata del variogramma per diversi ρ. La varianza discrimina le curve ancor più che la portata; le curve a forte varianza sono sistematicamente più lontane dal comportamento del mezzo omogeneo, indipendentemente dalla portata. In questo senso si può dire allora che la varianza agisce come un amplicatore dell'inuenza della variabilità spaziale.

Un altro fatto relativo all'inuenza della portata del variogramma è evidente dai graci di gura (7.3). Una digitazione larga, una volta arrivata al limite a valle, ha la capacità di convogliare una grande quantità di uido (e dunque di acido) direttamente al di fuori del per- meametro; il cambio di pendenza della curva è allora più importante rispetto a quello ottenuto da una canalizzazione più stretta.

Nel complesso allora ci si spiega il perché le curve a portata 10 siano sistematicamente al di sopra (da leggersi più vicino al comportamento omogeneo) di quelle a portata 30: i tempi di arrivo del fronte di dissoluzione sono paragonabili o a favore delle seconde, mentre la discontinuità della pendenza della curva è addirittura nettamente a loro favore.

Si è introdotto nel capitolo precedente uno strumento adatto a rappresentare -ed a confrontare- la forma del fronte di dissoluzione in un determinato istante: il White Top Hat. Esso permette di visualizzare l'inuenza dei diversi parametri della variabilità spaziale (gura7.4). In essa sono riportate le curve WTH corrispondenti ad un istante in cui circa il 40% di calcite è stata disciol- ta, ovvero con il fronte ancora piuttosto lontano dall'estremità del permeametro ma maturo nella sua formazione ed evoluzione; le curve sono divise per portata del variogramma, mentre il colore rappresenta la varianza lognormale della permeabilità.

Ebbene, il punto di massima pendenza (ovvero di esso) delle curve dipende strettamente dalla distanza di correlazione (in eetti la dimensione dell'elemento strutturante che individua la larghezza caratteristica del fronte sembra corrispondere alla somma di tale distanza e di una grandezza che si può supporre dipendente dalla dispersività α; ma si tornerà su questo punto in seguito), sebbene non vi sia una corrispondenza perfetta, mentre è netto l'eetto della varianza: all'aumento di σ le curve diventano più ripide e lo fanno in maniera più improvvisa, identicando con maggior precisione la massima pendenza; le strutture verticali del fronte diventano più estese, il che è indicato dalla maggior supercie del WTH.

20 40 60 80 100 0 20 40 60 80 100 120 140 portata 10

Lunghezza elemento strutturante

Superficie WTH ρρ ==0.5 ρρ ==1 σσ ==0.5 σσ ==1 20 40 60 80 100 0 20 40 60 80 100 120 140 portata 30

Lunghezza elemento strutturante

Superficie WTH

ρρ ==0.5 ρρ ==1

σσ ==0.5

σσ ==1

Figura 7.4: Inuenza sul White Top Hat della portata del variogramma, per coef- cienti di correlazione e varianze dierenti. L'eetto amplicatore della varianza è evidente

Ancora una volta, portata e varianza sembrano riassumere la gran parte dell'informazione contenuta nelle curve di WTH, che sembrano nettamente meno sensibili al coeciente di cor- relazione. Data la sua scarsa importanza, relativamente agli altri parametri, nel seguito delle esperienze si ometteranno spesso le prove con coecienti di correlazione diversi dal riferimento pari a 1.