Inuenza della dispersività

La dispersività cinematica α non gurava inizialmente nel conto dei parametri da investigare; tuttavia la sua importanza è tale da meritare una sezione a se stante in questa memoria ed una serie di esperienze dedicate. C'è da dire che in tutte le esperienze la dispersività viene denita come omogenea su tutto il mezzo poroso, ovvero senza una variabilità spaziale, e che il valore di riferimento scelto, pari al 10% della dimensione lineare del dominio, è relativamente alto.

Si può pensare alla dispersività cinematica come ad una misura dell'incertezza del traspor- to causata dalle eterogenità microscopiche del mezzo poroso, ma denita alla scala del VER. Essa aggiunge una componente aleatoria alla distribuzione dei soluti trasportati rispetto al comportamento puramente diusivo e convettivo. In questo senso, la dispersività è una misura intrinseca al mezzo dell'imprecisione con la quale si può risolvere il problema del trasporto. Essa è peraltro estremamente dicile da quanticare; dipende in maniera essenziale dalla scala alla quale si osserva il trasporto e, in uno schema numerico discreto, dalla dimensione delle maglie della discretizzazione spaziale.

Le simulazioni Hytec condotte fanno apparire un termine di dispersione numerica 2.3.2; poiché essa è considerata solo nella componente longitudinale (ovvero nel senso del moto dei uidi), il valore di α introdotto tra le proprietà del mezzo aggiunge dunque essenzialmente la componente trasversale, ovvero perpendicolare alla direzione del moto dei uidi.

A ni pratici, un alto valore di dispersività agisce in senso inverso rispetto alla variabilità spaziale di porosità e permeabilità: se la variabilità tende a formare cammini preferenziali e digitazioni, una forte dispersività rimescola le concentrazioni trasportate in maniera da omo- geneizzare complessivamente il sistema, diminuendo la capacità delle digitazioni di concentrare ed incanalare al loro interno non solo il usso d'acqua, ma anche il susseguente trasporto di solu- ti. Per bassi valori di dispersività ci si aspetta al contrario un sistema più instabile, più sensibile alla variabilità spaziale di permeabilità e porosità in quanto più direttamente determinato dal trasporto convettivo. Per questo motivo, ossia per favorire l'eetto della variabilità spaziale, si è scelto un secondo valore di dispersività più piccolo rispetto a quello utilizzato nelle pro- ve precedenti, che è di 10 m. Le simulazioni aggiuntive sono state in denitiva condotte con α = 5m; si è ssato ρKω = 0.5 per risparmiare un po' di tempo di calcolo, poiché, come osservato

nella sezione precedente, si tratta di un parametro al quale l'evoluzione dei sistemi pare meno sensibile.

In gura (7.5) sono riportati i graci relativi all'evoluzione dei sistemi per i due valori di dispersività. In eetti, le curve rosse a bassa dispersività sono nettamente più lontane dal comportamento del mezzo omogeneo: l'eetto è sensibilmente più grande di quello della portata, e viene ancora una volta amplicato dalla varianza delle simulazioni. Da notare che anche il momento in cui le curve si distaccano dal comportamento lineare è determinato in maniera sostanziale dalla dispersività: segno che le digitazioni sono eettivamente più profonde -e dunque il sistema è più instabile- per bassi valori di α.

Una conferma dell'inuenza della dispersività si ha osservando i fronti di dissoluzione (gura

7.6). È evidente che le strutture che si ottengono per α = 5 sono più pronunciate in senso verticale rispetto alle digitazioni per grande dispersività. Questo è vero sempre, per portata del variogramma 10 e 30 e per σ 0.5 e 1. Inoltre dalla gura appare chiaramente l'eetto della portata: due digitazioni per la portata 10, una sola lingua per la portata 30; e complessivamente è quest'ultima che raggiunge la maggiore profondità.

Volendo sintetizzare queste osservazioni con l'aiuto del WTH, la gura (7.7) riporta le curve relative ai medesimi fronti della gura (7.6). L'eetto della dispersività è molto evidente, nel senso che per α pari a 5 m le curve sono sistematicamente più ripide, con punto di esso ben a sinistra rispetto alle curve a forte dispersività, sinonimo questo di digitazioni più strette; allo

100 150 200 250 300 40 30 20 10 0 σσlogK==0.5 HCl iniettata [moli x 1000] % Q Q0 a==10 a==30 αα ==10m αα ==5m (a) σ = 0.5 100 150 200 250 300 40 30 20 10 0 σσlogK==1 HCl iniettata [moli x 1000] % Q Q0 a==10 a==30 αα ==10m αα ==5m (b) σ = 1

Figura 7.5: Sensitività dell'evoluzione della quantità di calcite alla dispersività α, rispetto a portata del variogramma e varianza delle simulazioni. Una forte dispersività tende ad omogeneizzare il trasporto, mentre per piccoli valori di α il sistema

a==10 a==30 αα ==10m αα ==5m a==10 a==30 αα ==10m αα ==5m

Figura 7.6: Forma dei fronti rappresentati in gura7.5.

stesso tempo, il valore massimo della supercie del WTH è più alto, segno del fatto che le stesse digitazioni sono più allungate in senso verticale. Per forte varianza e debole dispersività le fami- glie di curve individuano perfettamente la portata delle simulazioni geostatistiche: la variabilità spaziale iniziale di permeabilità e porosità induce eettivamente dei cammini di dissoluzione la cui larghezza ed estensione dipende linearmente dalla portata delle simulazioni in ingresso.

Per concludere questa sezione, è utile ssare le idee sul fatto che la dispersività cinematica si oppone all'eetto della variabilità spaziale, tendendo ad omogeneizzare il trasporto e con esso la dissoluzione del fronte, diminuendo lo scarto rispetto al caso omogeneo. Un basso valore di dispersività evidenzia l'inuenza della variabilità spaziale, ed agisce ancora una volta da amplicatore degli eetti della variabilità spaziale. Certamente, la semplicazione del campo di dispersività omogenea è importante; nondimeno, essendo tale parametro molto dicile da stimare nelle applicazioni reali, se ne desume l'importanza capitale che essa riveste nel caso di simulazioni di mezzo poroso eterogeneo.

20 40 60 80 100 0 20 40 60 80 100 120 140 σσlogK==0.5

Lunghezza elemento strutturante

Superficie WTH 20 40 60 80 100 0 20 40 60 80 100 120 140 σσlogK==1

Lunghezza elemento strutturante

Superficie WTH

a==10 a==30

αα ==10m

αα ==5m

Figura 7.7: Inuenza della dispersività α sul White Top Hat per portate e varianze dierenti. 7.3.1 Un caso altamente instabile: α = 0

Si sono condotte delle esperienze a α = 0, ovvero autorizzando la sola dispersività numerica. Una tale condizione aumenta sensibilmente l'instabilità del sistema sottoposto a dissoluzione: per instabilità si intende la tendenza di una digitazione, generata dalla variabilità spaziale iniziale di porosità e permeabilità, ad attrarre il usso di acqua e con esso la reazione, tanto da risultare favorita nella competizione con il resto del dominio; la dissoluzione verrà a concentrarsi proprio all'interno della digitazione vincitrice, che tenderà a penetrare velocemente nel permeametro creando un vero e proprio canale o wormhole, mentre nel resto del dominio la calcite iniziale è solo marginalmente interessata dalla dissoluzione, ed eventuali altre digitazioni sono di fatto praticamente arrestate.

Ad α = 0, cui corrisponde un numero di Peclet (paragrafo 5.5.1) di circa 5200, si è allora osservato un fatto molto interessante per il caso inizialmente completamente omogeneo con chi- mica all'equilibrio. Le condizioni di estrema instabilità del sistema sono tali che i soli errori di arrotondamento numerico introdotti dal codice di calcolo -o per meglio dire dalla rappresentazio- ne binaria dei valori oating point in doppia precisione-, che si mantengono tipicamente intorno alla sesta cifra decimale per l'accoppiamento, ed alla ottava per la chimica e per il trasporto, sono sucienti a creare nel sistema delle digitazioni! Ed in eetti è la prima che si struttura a vincere rapidamente la competizione con le altre ed arrivare ad attraversare interamente il permeametro.

La formazione di cammini preferenziali in un sistema inizialmente omogeneo, e nel caso di discretizzazione spaziale con soli 32×32 maglie, dà una misura dell'importanza della valutazione delle condizioni idrodinamiche e delle caratteristiche del mezzo poroso nei problemi di trasporto reattivo.