Metodo di Gauss
9.1 Alcuni esempi
Diamo alcuni esempi di sistemi. Potremmo determinare le eventuali soluzioni di ognuno di essi utilizzando il metodo di Rouch´e-Capelli. Alcune particolarit`a di questi sistemi ci suggeriranno di determinarne le soluzioni utilizzando altri metodi.
Esempio 9.1 Vogliamo determinare le eventuali soluzioni del sistema:
x1+ 2x2+ 3x3+ 4x4= 1
− 3x2− 6x3− 3x4= −2 4x3− 7x4= 1
− 3x4= 0
141
9. Metodo di Gauss
La particolare forma di questo sistema ci suggerisce di determinare x4 dalla quarta equazione. Otteniamo:
x4= 0.
Sostituiamo il valore cos`ı ottenuto nella terza equazione e ricaviamo x3. Otte-niamo:
x3= 1 4
Sostituiamo i valori di x3 e x4nella seconda equazione e ricaviamo x2. Ottenia-mo:
x2= 1 6
Sostituiamo infine i valori di x2, x3e x4 nella prima equazione. Otteniamo:
x1= − 1 12 Il sistema ha quindi come unica soluzione:
−1 12,1
6,1 4, 0
. M
Esempio 9.2 Vogliamo determinare le eventuali soluzioni del sistema:
x1+ 2x2+ x3+ x4= 1 x2+ x3+ x4= 1
− x3− x4= −2
Anche in questo caso la particolare forma del sistema ci suggerisce come determinare le eventuali soluzioni. Ricaviamo dalla terza equazione
x3= 2 − x4.
Sostituiamo questa espressione di x3 nella seconda equazione. Ricaviamo:
x2= −1.
Sostituiamo x2 e x3nella prima equazione. Otteniamo:
x1= 1
Non abbiamo alcuna condizione su x4. Possiamo quindi assegnare a x4 il valore di un parametro h e calcolare le altre incognite in dipendenza da h. Le soluzioni del sistema dipendono quindi da un parametro. Esse sono:
(1, −1, 2 − h, h)
con h parametro reale. M
Esempio 9.3 Vogliamo determinare le eventuali soluzioni del sistema:
x1+ x2+ x3+ x4= 1 2x3− x4= 2
−1 2x4= 7
2
9.1. Alcuni esempi
Anche in questo caso la particolare forma del sistema ci suggerisce come determinare le eventuali soluzioni. Dall’ ultima equazione abbiamo:
x4= −7.
Sostituendo il valore ottenuto di x4 nella terza equazione otteniamo:
x3= −5 2.
Sostituendo i valori ottenuti di x3 e x4 nella prima equazione otteniamo:
x1= −x2+21 2 .
Non abbiamo alcuna altra condizione su x2. Possiamo quindi assegnare a x2il valore di un parametro h e calcolare le altre incognite in dipendenza da h. Le soluzioni del sistema dipendono quindi da un parametro. Esse sono:
−h +21 2 , h, −5
2, −7
con h parametro reale. M
Esempio 9.4 Consideriamo il sistema:
(x1+ x2− x3+ x4= 1
− x2− x3 = −2 Cerchiamone le eventuali soluzioni.
Dalla seconda equazione ricaviamo:
x2= 2 − x3. Sostituendo x2 nella prima equazione otteniamo:
x1= −1 + 2x3− x4.
Non abbiamo altre condizioni su x3 e x4. Possiamo quindi assegnare a x3 il valore di un parametro h1 e a x4 il valore di un parametro h2 e calcolare le altre incognite in dipendenza da h1 e h2. Le soluzioni sono quindi:
(−1 + 2h1− h2, 2 − h1, h1, h2)
con h1 e h2parametri reali. M
Negli esempi dati la particolare forma dei sistemi ci ha suggerito un metodo per determinarne le soluzioni. Ma quale `e questa particolare forma che li accomuna?
Per rispondere a questa domanda scriviamo le matrici dei coefficienti dei quattro sistemi. Eccole:
1 2 3 4
0 −3 −6 −3
0 0 4 −7
0 0 0 −3
,
1 2 1 1
0 1 1 1
0 0 −1 −1
,
1 1 1 1
0 0 2 −1 0 0 0 12
, 1 1 −1 1
0 −1 −1 0
.
Geometria - versione 1 143
9. Metodo di Gauss
Sono tutte matrici a scalini:
Tutti gli elementi che si trovano sotto la scala sono nulli.
Nella prima matrice abbiamo quattro scalini di altezza uguale a una riga e larghezza uguale a una colonna.
Nella seconda matrice abbiamo tre scalini di altezza uguale a 1, il primo di larghezza uguale a 2 e gli altri due di larghezza uguale a 1.
Nella terza matrice abbiamo tre scalini di altezza uguale a 1, i primi due di larghezza uguale a 1 e il terzo di larghezza uguale a 2.
Nella quarta matrice abbiamo due scalini di altezza uguale a 1, il primo di larghezza uguale a 1 e il secondo di larghezza uguale a 3.
Quando noi parleremo di matrici a scalini, intenderemo che gli scalini devono avere tutti altezza uguale a 1.
Ecco una generica matrice triangolare superiore invertibile di ordine 4:
dove con • si `e indicato un qualsiasi numero reale non nullo mentre con ∗ si `e indicato un qualsiasi numero reale. `E una matrice a scalini.
E facile vedere che ogni matrice quadrata a scalini `` e una matrice triangolare.
Per`o non tutte le matrici triangolari superiori sono matrici a scalini. Ecco un esempio di matrice triangolare superiore di ordine 4 in cui un elemento della diagonale principale `e nullo:
Non `e una matrice a scalini nel senso da noi detto: uno scalino ha altezza 2.
Ecco altri esempi di matrici a scalini:
1 2 3
9.2. Metodo di Gauss
Esercizio di base9.5 Stabilire quali delle seguenti matrici sono matrici a scalini e quali no:
A1:=
9.2 Metodo di Gauss
Vogliamo descrivere un metodo per la determinazione delle eventuali soluzioni di un sistema di equazioni lineari diverso da quello di Rouch´e-Capelli.
In effetti nel capitolo1 abbiamo gi`a utilizzato un metodo diverso da quello di Rouch´e-Capelli.
Esempio 9.6 Nell’esempio1.5abbiamo considerato il sistema:
S :
(x + 2y = 4 x + 5y = 6
Per determinarne le soluzioni, abbiamo sottratto alla seconda equazione la prima. Abbiamo ottenuto il sistema equivalente:
S0:
(x + 2y = 4 3y = 2 Il sistema S ha una e una sola soluzione:
8 3,2
3
. Scriviamo la matrice dei coefficienti del sistema S:
1 2 1 5
.
La matrice dei coefficienti del sistema S0 `e :
1 2 0 3
. Essa `e una matrici a scalini:
1 2 0 3
. M
Geometria - versione 1 145
9. Metodo di Gauss
Esempio 9.7 Nell’esempio1.7abbiamo sostituito il sistema:
S :
( x + 2y = 1 2x + 4y = 1 con il sistema equivalente:
S0:
(x + 2y = 1 0 = −1
sommando alla seconda equazione la prima equazione moltiplicata per −2.
Ovviamente questo sistema non ha soluzioni. Anche in questo caso la matrice del sistema S0 `e a scalini:
1 2 0 0
. M
Esempio 9.8 Nell’esempio1.8abbiamo sostituito il sistema
S :
( x + 2y = 1 2x + 4y = 2 con il sistema:
S0:
(x + 2y = 1 0 = 0
sottraendo alla seconda equazione la prima equazione moltiplicata per 2.
L’insieme delle soluzioni `e
{(1 − 2t, t) | t ∈ R} M
In ognuno dei sistemi appena visti abbiamo sostituito il sistema iniziale con uno la cui matrice dei coefficienti fosse a scalini. Quest’ultimo sistema `e ottenuto dal sistema iniziale sommando alla seconda equazione la prima equazione moltiplicata per un numero reale opportuno.
Il metodo di Gauss non `e altro che una generalizzazione di questo procedimen-to. Tale procedimento si compone di vari passi: ad ogni passo modificheremo il sistema per mezzo di una delle operazioni descritte nel capitolo 1 e che richiamiamo qui per comodit`a.
Proposizione 9.9 Se in un sistema S sommiamo a una equazione un’altra equazione del sistema moltiplicata per una costante, otteniamo un sistema S0 equivalente al sistema S.
Proposizione 9.10 Se in un sistema S moltiplichiamo un’equazione per una costante non nulla, otteniamo un sistema S0 equivalente al sistema S.
Proposizione 9.11 Se in un sistema scambiamo tra loro due equazioni, otte-niamo un sistema ad esso equivalente.
9.2. Metodo di Gauss
Ovviamente non applicheremo questi passi in maniera casuale: il nostro obiettivo
`e arrivare ad avere un sistema equivalente al sistema di partenza la cui forma sia pi`u semplice (in particolare vorremo un sistema la cui matrice sia a scalini).
Illustreremo questo metodo per mezzo di alcuni altri esempi. Dopo aver visto questi esempi sar`a chiaro che tale metodo `e utilizzabile per qualsiasi sistema.
Esempio 9.12 Sia dato il sistema:
x + y + z = 1 x + z = 1 x + y = 2
Nell’esempio6.26abbiamo gi`a determinato l’unica sua soluzione utilizzando il metodo di Cramer.
Vogliamo determinare la soluzione modificando il sistema in modo tale da ottenere una matrice dei coefficienti che sia a scalini.
Consideriamo la matrice dei coefficienti del sistema:
1 1 1 1 0 1 1 1 0
.
Facciamo in modo che l’elemento di posto (2, 1) sia nullo. Sottraendo alla seconda equazione la prima equazione otteniamo il sistema equivalente:
x + y + z = 1
− y = 0
x + y = 2 La matrice dei coefficienti `e diventata:
1 1 1
0 −1 0
1 1 0
.
Per annullare l’elemento di posto (3, 1), sottraiamo alla terza equazione la prima.
Otteniamo il sistema:
x + y + z = 1
− y = 0
− z = 1
Siamo stati fortunati, oltre all’elemento di posto (3, 1), si `e annullato anche l’elemento di posto (3, 2). La matrice dei coefficienti `e:
1 1 1
0 −1 0
0 0 −1
E una matrice a scalini. Dalla seconda e dalla terza equazione otteniamo z = −1` e y = 0. Sostituendo questi valori nella prima equazione otteniamo x = 2. Il sistema ha quindi una sola soluzione:
(2, 0, −1). M
Geometria - versione 1 147
9. Metodo di Gauss
Esempio 9.13 Vogliamo utilizzare lo stesso metodo per determinare le even-tuali soluzioni del sistema:
La sua matrice dei coefficienti `e:
Vogliamo annullare gli elementi di posto (2, 1), (3, 1) e (4, 1), vale a dire eliminare l’incognita x1dalla seconda, terza e quarta equazione. A tal scopo sottraiamo alla seconda equazione la prima moltiplicata per 2. Otteniamo:
Sottraendo ora alla terza equazione la prima moltiplicata per 3, otteniamo:
Infine, sottraendo alla quarta equazione la prima moltiplicata per 2, otteniamo:
La matrice dei coefficienti `e:
Utilizzando lo stesso procedimento vogliamo ora annullare gli elementi di posto (3, 2) e (4, 2), vale a dire eliminare l’incognita x2dalla terza e quarta equazione.
Se sommassimo alla terza equazione la prima equazione moltiplicata per 3, annulleremmo s`ı l’elemento di posto (3, 2), ma renderemmo non nullo l’elemento di posto (1, 3). Rovineremmo il bel lavoro fatto finora. Utilizzando la prima
9.2. Metodo di Gauss
equazione introdurremmo nuovamente l’incognita x1 in altre equazioni oltre alla prima. Non coinvolgiamo pi`u la prima equazione nei vari passaggi da un sistema a un sistema ad esso equivalente. Ci conviene allora sottrarre alla terza equazione la seconda moltiplicata per 2. Otteniamo:
Sottraendo poi alla quarta equazione la seconda, otteniamo:
Siamo stati fortunati: anche l’elemento di posto (4, 3) si `e annullato (vale a dire x3 `e stata eliminata dalla quarta equazione. La matrice dei coefficienti:
`e una matrice a scalini. Abbiamo gi`a determinato le soluzioni di questo sistema nell’esempio9.1. Vi `e una sola soluzione data da:
Esempio 9.14 Determiniamo le eventuali soluzioni del sistema:
Utilizziamo il solito metodo. Sottraiamo alla seconda equazione la prima equazione moltiplicata per 12. Successivamente sottraiamo alla terza equazione la prima moltiplicata per 2. Otteniamo:
Ora dobbiamo eliminare la y dalla terza equazione. Non utilizziamo la prima equazione per far ci`o ma la seconda. Sommiamo alla terza equazione la seconda moltiplicata per −2:
Geometria - versione 1 149
9. Metodo di Gauss
Abbiamo ottenuto un’identit`a come ultima equazione. La matrice dei coefficienti del sistema:
e una matrice a scalini. Le soluzioni del sistema sono presto trovate. Dalla seconda equazione otteniamo y = −2 + 12z. Sostituendo questa espressione per y nella prima equazione otteniamo x = 5 −32z. Le soluzioni dipendono quindi da un parametro reale h:
Esempio 9.15 Consideriamo il sistema:
Nell’esempio8.14ne abbiamo gi`a determinato le soluzioni utilizzando il proce-dimento di Rouch´e-Capelli. Vogliamo ora determinarne le soluzioni riducendo a scalini la matrice dei coefficienti. Annulliamo gli elementi di posto (2, 1), (3, 1) e (4, 1), cio`e eliminiamo x1 dalle equazioni successive alla prima. Per far ci`o sommiamo successivamente alla seconda, terza e quarta equazione la prima equazione moltiplicata per opportuni numeri reali. Otteniamo il sistema:
Annulliamo gli elementi di posto (3, 2) e (4, 2) sommando successivamente alla terza e alla quarta equazione la seconda equazione moltiplicata per opportuni numeri reali. Otteniamo: La matrice dei coefficienti `e a scalini:
Abbiamo gi`a determinato le soluzioni di questo sistema nell’esempio9.4. Le soluzioni sono:
(−1 + 2h2− h1, 2 − h2, h2, h1)
con h1 e h2 parametri reali. M
9.2. Metodo di Gauss
Esempio 9.16 Consideriamo il sistema:
S :
Abbiamo gi`a determinato le sue soluzioni nell’esercizio di base8.21utilizzando il metodo di Rouch´e-Capelli. Vogliamo ora determinarne le eventuali soluzioni modificando il sistema in modo tale da arrivare a una matrice a scalini. Notiamo che non si possono annullare i coefficienti della x1nella seconda, terza e quarta equazione sommando ad esse la prima equazione moltiplicata per un fattore di proporzionalit`a, perch´e x1non appare nella prima equazione. A prima vista il metodo utilizzato finora non sembra utilizzabile.
Non ci scoraggiamo per cos`ı poco. Possiamo infatti scambiare tra loro le prime due equazioni. Otteniamo il sistema:
Ora possiamo procedere con il solito metodo.
Sommando alla terza equazione la prima equazione otteniamo:
Sommando alla terza e alla quarta equazione la seconda moltiplicate per −4 e
−5 rispettivamente otteniamo:
Sottraendo alla quarta equazione la terza equazione otteniamo:
La matrice dei coefficienti `e ora a scalini:
Geometria - versione 1 151
9. Metodo di Gauss
Abbiamo cos`ı ottenuto il sistema dell’esempio 9.2. Le sue soluzioni sono:
(1, −1, 2 − h, h)
con h parametro reale. M
Esempio 9.17 Consideriamo il sistema:
S :
x2+ x3+ x4= 1 x1+ 2x2+ x3+ x4= 1
−x1+ 2x2+ 2x3+ 2x4= 1 5x2+ 4x3+ 4x4= 4
Determiniamone le eventuali soluzioni con la riduzione della matrice dei coef-ficienti a matrice a scalini. Notiamo che, a parte il termine noto della quarta equazione, il sistema `e identico a quello dell’esempio precedente. Svolgendo in modo identico i primi tre passaggi otteniamo il sistema:
x1+ 2x2+ x3+ x4= 1 x2+ x3+ x4= 1
− x3− x4= −2
− x3− x4= −1
Sottraendo alla quarta equazione la terza equazione otteniamo:
x1+ 2x2+ x3+ x4= 1 x2+ x3+ x4= 1
− x3− x4= −2 0 = 1
Il sistema non ammette quindi soluzioni. M
Esempio 9.18 Vogliamo determinare le soluzioni del sistema:
x1+ x2+ x3+ x4= 1 x1+ x2+ 3x3 = 4 2x1+ 2x2+ 3x3+ x4= 7
Sottraiamo la prima equazione dalla seconda e la prima equazione moltiplicata per 2 dalla terza. In tal modo eliminiamo x1 dalla seconda e terza equazione e otteniamo:
x1+ x2+ x3+ x4= 1 2x3− x4= 3 x3− x4= 5
Per eliminare x3 dalla terza equazione, sottraiamo la seconda equazione molti-plicata per 12 dalla terza:
x1+ x2+ x3+ x4= 1 2x3− x4= 2
−1 2x4= 7
2
9.2. Metodo di Gauss
Abbiamo cos`ı ottenuto il sistema dell’esempio9.3, le cui soluzioni sono:
Il metodo di Gauss dovrebbe ora essere chiaro. `E quello che abbiamo utilizzato in tutti questi esempi. Per essere sicuri facciamo ancora un esempio. In esso mettiamo in luce i principali passi del metodo di Gauss.
Esempio 9.19 Cerchiamo le eventuali soluzioni del seguente sistema utilizzan-do il metoutilizzan-do di Gauss:
• Annulliamo i coefficienti di x1 nella seconda, terza e quarta equazione som-mando ad esse la prima equazione moltiplicata per opportuni numeri reali (in questo caso −2, −3 e 0 rispettivamente). Otteniamo:
Notiamo che `e stato possibile fare ci`o perch´e il coefficiente di x1 nella prima equazione `e non nullo. Se esso fosse stato nullo, avremmo scambiato la prima equazione con la prima delle successive equazioni avente il coefficiente di x1non nullo. Se tutte le equazioni hanno il coefficiente di x1 nullo, non dobbiamo far niente.
• Non utilizziamo pi`u la prima equazione fino al momento della determinazione delle soluzioni. Consideriamo la prima incognita che appare nelle equazioni successive alla prima: `e x2. Notiamo che il coefficiente di x2 nella seconda equazione `e nullo, mentre quello nella terza `e non nullo. Scambiamo allora tra loro la seconda e la terza equazione. Otteniamo:
Dobbiamo ora eliminare x2 dalle equazioni successive alla seconda. Il coeffi-ciente di x2 nella terza equazione `e gi`a nullo. Non lo `e quello della quarta.
Sommiamo pertanto alla quarta equazione la seconda equazione moltiplicata per 12. Otteniamo:
Geometria - versione 1 153
9. Metodo di Gauss
• Non utilizziamo pi`u la prima e la seconda equazione fino al momento della determinazione delle soluzioni. Consideriamo la prima incognita che appare nelle equazioni successive alla seconda: `e x3. Sommando alla quarta equazione la terza equazione moltiplicata per 3 otteniamo:
• Ricaviamo ora x4 dalla quarta equazione, poi sostituiamo il valore cos`ı ottenuto nella terza equazione e ricaviamo x3 e cos`ı via. L’unica soluzione del sistema `e, quindi:
Esercizio di base 9.20 Determinare le eventuali soluzioni del seguente siste-ma utilizzando il metodo di Gauss:
9.3 Soluzioni degli esercizi di base
EB.9.5 Solo A2`e una matrice a scalini:
EB.9.20 Per annullare l’elemento di posto (2, 1) sommiamo alla seconda equazione la prima moltiplicata per −2:
Per annullare l’elemento di posto (3, 1) sommiamo alla terza equazione la prima moltiplicata per −4:
9.4. Sunto
Per annullare l’elemento di posto (4, 1) sommiamo alla quarta equazione la prima:
Bene, ora x1non compare nelle equazioni successive alla prima. La prima equazione a comparire nelle equazioni successive alla prima `e x3 che non compare nella seconda equazione ma nella terza. Scambiamo allora la seconda equazione con la terza:
Ora eliminiamo x3 dalle equazioni successive alla seconda. Poich´e x3 non compare nella terza equazione, per far ci`o basta sommare alla quarta equazione la seconda equazione:
La prima incognita che compare nelle equazioni successive alla seconda `e x4. Que-st’incognita compare nella terza equazione: eliminiamola dalla quarta equazione, sommando alla quarta equazione la terza moltiplicata per −3. Otteniamo:
Dalla quarta equazione vediamo che il sistema non ha soluzioni.
9.4 Sunto
Metodo di Gauss
Il metodo di Gauss per la determinazione delle eventuali soluzioni di un sistema S consiste nel trasformare il sistema S in un sistema S0 ad esso equivalente avente la matrice dei coefficienti a scalini. Ecco schematizzate alcune matrici a scalini:
dove con • si sono indicati numeri reali non nulli e con ∗ numeri reali qual-siasi. Il metodo per ottenere una matrice a scalini `e descritto nell’esem-pio9.19.
Geometria - versione 1 155
9. Metodo di Gauss
9.5 Esercizi
E.9.1 Si consideri il sistema a coefficienti reali nelle incognite x, y, z e w:
y − z + w = 1 2x + 3y + z − 2w = 3 4x + 7y + z − 3w = 7
a. risolvere il sistema usando il teorema di Rouch´e-Capelli;
b. risolvere il sistema con il teorema di Rouch´e-Capelli, ma utilizzando un mi-nore di ordine massimo con determinante non nullo, diverso da quello utilizzato al punto precedente;
c. risolvere il sistema usando il metodo di Gauss.
E.9.2 Riprendere gli esercizi del capitolo8 e risolverli di nuovo utilizzando il metodo di Gauss.
9.6 Soluzioni degli esercizi
E.9.1
a. Consideriamo la matrice del sistema:
A :=
0 1 −1 1
2 3 1 −2
4 7 1 −3
.
Si vede facilmente che la matrice ha rango 2 e che un minore di ordine 2 con determi-nante diverso da 0 `e, ad esempio, il minore M formato dalle prime due righe e dalle prime due colonne.
0 1 −1 1
2 3 1 −2
4 7 1 −3
Per calcolare il rango della matrice completa del sistema `e ora sufficiente calcolare il determinante degli orlati di M che si ottengono aggiungendo la colonna dei termini noti e una riga. Di tali minori ce ne `e uno solo:
0 1 1
2 3 3
4 7 7
.
Il suo determinante `e 0, quindi anche la matrice completa del sistema ha rango 2.
Sappiamo allora che il sistema `e risolubile e che `e equivalente a quello formato dalle due equazioni corrispondenti al minore M :
( y − z + w = 1 2x + 3y + z − 2w = 3
Portiamo ora a secondo membro le incognite i cui coefficienti non concorrono a formare il minore M , cio`e z e w:
( y = 1 + z − w 2x + 3y = 3 − z + 2w
9.6. Soluzioni degli esercizi
Assegniamo ora a z e w valori parametrici ponendo z = h e w = k e risolviamo il sistema Crameriano parametrico nelle incognite z e w cos`ı ottenuto:
( y = 1 + h − k 2x + 3y = 3 − h + 2k Le soluzioni sono allora:
Dunque le soluzioni del sistema sono:
con h e k parametri reali.
b. Supponiamo ora di considerare un altro minore N di ordine 2 con determinante diverso da 0 estratto dalla matrice A:
Allora il sistema `e equivalente a
( y − z + w = 1 4x + 7y + z − 3w = 7
e trattando come parametri le incognite y e w non coinvolte nel minore N troviamo le soluzioni:
Ovviamente le soluzioni devono essere le stesse trovate prima: una stessa soluzione particolare si trova in un caso o nell’altro in corrispondenza di valori diversi dei parametri. Ad esempio nel primo caso in corrispondenza dei valori h = k = 0 si trova la soluzione {x = 0, y = 1, z = 0, w = 0} che nel secondo caso si trova in corrispondenza dei valori dei parametri h = 1, k = 0.
c. Risolviamo ora il sistema con il metodo di Gauss. Scambiamo allora la prima equazione con la seconda:
Geometria - versione 1 157
9. Metodo di Gauss
Sommiamo ora la prima equazione moltiplicata per −2 alla terza:
2x + 3y + z − 2w = 3 y − z + w = 1 y − z + w = 1
Sommando ora la seconda equazione moltiplicata per −1 alla terza troviamo:
2x + 3y + z − 2w = 3 y − z + w = 1 0 = 0
A questo punto assegniamo a z il valore del parametro h e a w il valore del parametro k: dalla seconda equazione troviamo allora il valore di y, e dalla prima il valore di x:
x = − 2h + 5 2k y = 1 + h − k
z = h
w = k
Poich´e i parametri usati sono gli stessi utilizzati nel primo metodo di soluzione, le soluzioni sono espresse esattamente nella stessa forma.
E.9.2 Ovviamente si ottengono le stesse soluzioni ottenute utilizzando il metodo di Rouch´e-Capelli. In alcuni casi otteniamo per`o diverse parametrizzazioni.