Propriet` a della moltiplicazione - Moltiplicazione tra matrici

Moltiplicazione tra matrici

4.3 Propriet` a della moltiplicazione

Esercizio di base4.6 Dato il sistema:

S :







4x1+ x2− 7x3+ 4x4= 1 3x₁− 3x2+ 4x₃− 5x4= 0

−x1+ 2x2− 2x3+ 9x4= 5 M

determinare le sue matrici dei coefficienti, delle incognite e dei termini noti.

4.3 Propriet` a della moltiplicazione

Abbiamo definito le operazioni di addizione e di moltiplicazione tra matrici a coefficienti reali. Abbiamo visto che l’addizione tra matrici verifica propriet`a analoghe alle propriet`a dell’addizione tra numeri reali.

Vediamo se anche per la moltiplicazione avviene la stessa cosa. Iniziamo con l’elencare alcune propriet`a della moltiplicazione tra numeri reali e proviamo poi a stabilire se valgono le corrispondenti propriet`a per la moltiplicazione tra matrici:

Proposizione 4.7 La moltiplicazione tra numeri reali soddisfa le propriet`a:

1. Propriet`a associativa.

(ab)c = a(bc) per ogni a ∈ R, b ∈ R, c ∈ R.

2. Propriet`a commutativa.

ab = ba per ogni a ∈ R, b ∈ R.

3. Esistenza dell’unit`a.

Nell’insieme R vi `e il numero reale 1 che ha la seguente propriet`a:

a · 1 = a per ogni a ∈ R.

4. Esistenza dell’inverso.

Dato un qualsiasi numero a ∈ R − {0}, esiste un numero reale che, moltipli-cato per a, dà 1. Questo numero è il numero a⁻¹, cioè l’inverso di a. Si ha quindi:

aa⁻¹= 1.

Ci chiediamo ora se valgano corrispondenti proprietà per la moltiplicazione tra matrici. Cominciamo con la proprietà associativa. È vero o falso che date tre matrici A, B e C si ha (AB)C = A(BC)? Notiamo che il problema è mal posto.

Se infatti è sempre possibile fare il prodotto di due numeri reali, sappiamo che per fare il prodotto di due matrici è necessario che le loro dimensioni soddisfino una condizione ben precisa. Quindi, prima di confrontare i prodotti (AB)C e A(BC) è necessario imporre delle condizioni affinché entrambi questi prodotti siano definiti. Inoltre, nel caso in cui entrambi siano definiti dobbiamo assicurarci (eventualmente imponendo ulteriori condizioni sulle dimensioni delle matrici coinvolte) che le matrici risultato abbiano le stesse dimensioni: a questo punto potremo confrontarle.

Geometria - versione 1 55

4. Moltiplicazione tra matrici

Esercizio di base 4.8 Siano date tre matrici A, B e C.

a. Che condizioni devono soddisfare le dimensioni delle matrici A, B e C affinch´e sia possibile calcolare il prodotto (AB)C?

b. Che condizioni devono soddisfare le dimensioni delle matrici A, B e C affinch´e sia possibile calcolare il prodotto A(BC)?

c. Supponendo che si possano calcolare entrambi i prodotti (AB)C e A(BC), le loro dimensioni sono uguali, o perché ciò avvenga è necessario imporre ulteriori condizioni alle dimensioni delle matrici A, B e C? M Se avete risolto l’esercizio di base precedente, conoscete le condizioni da imporre affinché abbia senso parlare di proprietà associativa. Ovviamente ciò è solo il primo passo, perché poi bisogna verificare se effettivamente i due prodotti (AB)C e A(BC) sono uguali (o eventualmente se sono uguali in alcuni casi e in altri no). Si può dimostrare che i due prodotti sono sempre uguali. La dimostrazione, anche se non difficile concettualmente, è però piuttosto laboriosa e, pertanto, la riportiamo nel paragrafoA.4. Abbiamo dunque la:

Proposizione 4.9 Date tre matrici A ∈ M(p, q, R), B ∈ M(q, r, R) e C ∈ M(r, s, R) si ha:

(AB)C = A(BC).

Vale dunque la propriet`a associativa della moltiplicazione di matrici.

La propriet`a associativa della moltiplicazione ci permette di scrivere il prodotto di tre (o pi`u) matrici senza far uso delle parentesi:

ABC.

Mettendo infatti in qualsiasi modo le parentesi, si ottiene sempre lo stesso risultato. La propriet`a associativa permette inoltre di definire in maniera non ambigua le potenze positive di una matrice quadrata. Pi`u precisamente:

Definizione 4.10 Sia A una matrice quadrata e n un intero positivo. La potenza n-esima Aⁿ `e cos`ı definita:

A¹:= A Aⁿ:= AA . . . A

| {z }

n volte

per n > 0. M

Esercizio di base 4.11 Date le matrici:

A :=



 1 −1

0 1

3 1



, B :=1 2 0 1

, C :=1 2 −1

1 0 1

M calcolare (AB)C e A(BC) e verificare che si ottiene il medesimo risultato.

Veniamo ora alla proprietà commutativa. Come nel caso della proprietà as-sociativa, prima di porci il problema dobbiamo assicurarci che la questione abbia senso. Dobbiamo considerare cioè matrici A e B tali che sia possibile fare entrambi i prodotti AB e BA e questi due prodotti siano matrici dello stesso tipo:

4.3. Propriet`a della moltiplicazione

Esercizio di base4.12 Siano date due matrici A e B.

a. Supponendo che si possa fare il prodotto AB, è possibile fare anche il prodotto BA o perché ciò avvenga è necessario imporre ulteriori condizioni alle dimensioni delle matrici A e B?

b. Supponendo che si possano calcolare entrambi i prodotti AB e BA, le loro dimensioni sono uguali, o perché ciò avvenga è necessario imporre ulteriori

condizioni alle dimensioni delle matrici A e B? M

Se avete risolto l’esercizio di base precedente, conoscete le condizioni da imporre affinché abbia senso cercare di stabilire la validità della proprietà commutativa.

Supponiamo allora di avere due matrici quadrate A e B entrambe di ordine n.

In tal caso i prodotti AB e BA sono definiti e sono matrici dello stesso tipo (anch’esse matrici quadrate di ordine n). Ci chiediamo allora se `e vero che

AB = BA.

Prima di cercare una risposta, vediamo di capire bene la domanda. Vogliamo stabilire se è vera o meno una proprietà generale: ci chiediamo cioè se è vero che, date comunque A ∈ M(n, n, R) e B ∈ M(n, n, R), allora AB = BA?

Ovviamente le possibili risposte questa domanda sono due: s`ı, `e vero; oppure no, non `e vero.

Supponiamo di voler dimostrare che la risposta `e “s`ı”. Dobbiamo allora dimostrare che AB = BA comunque siano scelte le matrici. Non `e quindi sufficiente verificare l’uguaglianza solamente per una particolare scelta delle matrici A e B.

Supponiamo di voler dimostrare che la risposta `e “no”. La risposta “no”

vuol dire che non sempre si ha AB = BA. Esistono cio`e almeno due matrici A e B che non verificano l’uguaglianza AB = BA. Per dimostrare che la risposta

è “no”, è necessario dare un esempio di due matrici A e B non verificanti tale uguaglianza. Un esempio di tal genere si dice controesempio. Esso è infatti un esempio che contraddice l’affermazione.

La risposta alla nostra domanda `e “no”, come mostra il seguente controe-sempio. Consideriamo le matrici:

A :=0 1 0 0

e B :=1 0 0 0

. Si ha:

AB =0 · 1 + 1 · 0 0 · 0 + 1 · 0 0 · 1 + 0 · 0 0 · 0 + 0 · 0

=0 0 0 0

, BA =1 · 0 + 0 · 0 1 · 1 + 0 · 0

0 · 0 + 0 · 0 0 · 1 + 0 · 0

=0 1 0 0

Dunque la moltiplicazione di matrici non soddisfa la propriet`a commutativa.

E bene notare che ci`` o non implica che, date comunque A e B, si ha sempre AB 6= BA.

Definizione 4.13 Date due matrici quadrate A e B dello stesso ordine diciamo che A e B commutano o permutano se si ha AB = BA. M Esercizio di base4.14 Dare qualche esempio di coppie di matrici A e B che commutano (si consiglia di cercare matrici di ordine 2).

Geometria - versione 1 57

4. Moltiplicazione tra matrici

Rimandiamo a un capitolo successivo l’analisi delle proprietà matriciali corri-spondenti alla proprietà dell’esistenza dell’unità e dell’esistenza dell’inverso.

Sappiamo per ogni numero reale a si ha:

a · 0 = 0.

Questa propriet`a ha un’ovvia controparte nel caso matriciale. Data una matrice A di tipo (p, q) si ha:

A0q,r= 0p,r, 0r,pA = 0r,q.

Esercizio di base 4.15 Dimostrare la propriet`a precedente.

Il prodotto di numeri reali soddisfano un’altra ben nota propriet`a:

Proposizione 4.16 (Principio di annullamento del prodotto) Siano a e b due numeri reali. Se ab = 0 allora almeno uno dei numeri a e b `e uguale a 0.

E valida una propriet`` a analoga per le matrici? È vero cioè che date due matrici A e B tali che AB = 0 allora almeno una delle matrici A e B è la matrice nulla?

La risposta `e no.

Esercizio di base 4.17 Determinare due matrici A e B entrambe non nulle tali che AB = 0. Diamo un suggerimento: analizzare gli esempi visti in precedenza.

Sappiamo che per i numeri reali si ha la legge di semplificazione rispetto alla moltiplicazione.

Proposizione 4.18 Dati a ∈ R, b ∈ R e c ∈ R − 0 si ha:

se ac = bc allora a = b.

E valida una propriet`` a analoga per le matrici? E vero cio`e che se C `e una matrice non nulla si ha:

se AC = BC allora A = B?

La risposta `e no. Quindi la moltiplicazione tra matrici non gode della propriet`a di semplificazione.

Esercizio di base 4.19 Mostrare con un controesempio che non vale la pro-priet`a di semplificazione per la moltiplicazione di matrici.

Sappiamo che le operazioni tra numeri reali soddisfano la propriet`a distributiva.

Pi`u precisamente:

Proposizione 4.20 Dati tre numeri reali qualunque a, b e c si ha:

(a + b)c = ac + bc.

4.3. Propriet`a della moltiplicazione

Ci chiediamo se valgano propriet`a analoghe per le matrici. Vediamo in un esempio cosa succede.

Esercizio di base4.21 Date le matrici:

A := 1 1 2

−1 0 1

, B :=2 −1 0

1 0 2

, C :=





1 3 1

−1 0 −2

1 1 2



, M calcolare (A + B)C e AC + BC e verificare che si ottiene il medesimo risultato.

Ci`o che avviene nell’esercizio precedente non `e un caso. Abbiamo infatti la:

Proposizione 4.22

1. Date A e B in M(p, q, R) e C in M(q, r, R) si ha:

(A + B)C = AC + BC.

2. Data A in M(p, q, R) e B e C in M(q, r, R) si ha:

A(B + C) = AB + AC.

Valgono cio`e le propriet`a distributive delle operazioni matriciali.

La dimostrazione di queste propriet`a non `e difficile ma richiede di scrivere in dettaglio le operazioni matriciali necessarie: per tale motivo la riportiamo nel paragrafoA.4.

Osservazione 4.23 Abbiamo dato un’unica propriet`a distributiva per le ope-razioni tra numeri reali e due per le opeope-razioni tra matrici. Come mai? Notiamo che dalla relazione tra numeri reali

(a + b)c = ac + bc,

possiamo dedurre, grazie alla commutativit`a della moltiplicazione di numeri reali:

c(a + b) = ca + cb.

Poiché la moltiplicazione tra matrici non è commutativa dobbiamo dare separa-tamente le due proprietà distributive per le operazioni tra matrici. M Esercizio di base4.24 Siano A e B due matrici quadrate dello stesso ordine.

E vero o falso che qualunque siano A e B si ha:`

(A + B)²= A²+ 2AB + B²? M

Diamo ora una propriet`a che lega la moltiplicazione tra matrici alla moltiplica-zione di una matrice per uno scalare:

Proposizione 4.25 Date le matrici A in M(p, q, R), B in M(q, r, R) e un numero reale h si ha:

h(AB) = (hA)B = A(hB).

Geometria - versione 1 59

4. Moltiplicazione tra matrici

La dimostrazione della propriet`a precedente `e molto semplice, ma come in precedenza omettiamo di scrivere i passaggi necessari.

Esercizio di base 4.26 Dato il numero reale h = 3 e le matrici:

A :=1 2 calcolare 3(AB), (3A)B e A(3B) e verificare che si ottiene il medesimo risultato.

Vogliamo ora vedere come si comporta la moltiplicazione di matrici rispetto alla trasposizione. Si potrebbe pensare che valga una relazione di questo tipo:

t(AB) =^tA^tB.

Riprendiamo le due matrici con cui abbiamo iniziato il capitolo

A :=

Abbiamo calcolato il prodotto AB e abbiamo ottenuto una matrice di tipo (4, 3):

Notiamo ora che la matrice^tA `e una matrice di tipo (2, 4), mentre la matrice

tB `e una matrice di tipo (3, 2), quindi non si pu`o eseguire il prodotto ^tA^tB.

Ricordiamo per`o che avevamo calcolato l’elemento di posto (4, 2) di AB mol-tiplicando la quarta riga di A per la seconda colonna di B. D’altra parte gli elementi che formano la quarta riga di A formano la quarta colonna di^tA e gli elementi che formano la seconda colonna di B formano la seconda riga di^tB:

tA =

Dunque moltiplicare la quarta riga di A per la seconda colonna di B è equivalente a moltiplicare la seconda riga di ^tB per la quarta colonna di ^tA. Pertanto l’elemento di posto (4, 2) di AB è uguale all’elemento di posto (2, 4) di^tB^tA (notiamo che questo prodotto si può fare perché^tB ha 2 colonne e^tA ha 2 righe).

Questa uguaglianza pu`o essere verificata calcolando esplicitamente la trasposta di AB:

Se calcoliamo esplicitamente gli altri elementi di^tB^tA si vede che^t(AB) =^tB^tA.

Con un po’ di attenzione agli indici si può dimostrare (anche se noi non lo facciamo qui) che questa è una proprietà generale:

Proposizione 4.27 Date le matrici A ∈ M(p, q, R) e B ∈ M(q, r, R) si ha:

t(AB) =^tB^tA.

4.4. Soluzioni degli esercizi di base

4.4 Soluzioni degli esercizi di base

EB.4.4 Il prodotto AB è definito perché il numero delle colonne di A è uguale al numero delle righe di B. Il prodotto BA non è definito perché il numero delle colonne di B non è uguale al numero delle righe di A. Il prodotto AA non è definito perché il numero delle colonne di A non è uguale al numero delle righe di A. Il prodotto BB è definito perché il numero delle colonne di B è uguale al numero delle righe di B.

Per calcolare AB notiamo innanzitutto che dato che A è di tipo (2, 3) e B è di Per calcolare ora BB notiamo innanzitutto che dato che il primo fattore (cioè B) è di tipo (3, 3) e il secondo fattore (ancora B) è di tipo (3, 3), allora BB è di tipo (3, 3).

Svolgendo i calcoli si trova:

BB =

EB.4.6 La matrice dei coefficienti del sistema S `e:

A := La matrice delle incognite `e:

X :=

La matrice dei termini noti `e:

B :=

Il sistema S viene scritto in forma matriciale nel seguente modo:



Geometria - versione 1 61

4. Moltiplicazione tra matrici

EB.4.8 Quando si fa il prodotto di due matrici, il numero delle colonne della prima matrice deve essere uguale al numero delle righe della seconda matrice.

a. Per poter eseguire il prodotto (AB)C dobbiamo prima effettuare il prodotto AB, quindi il numero di colonne di A deve essere uguale al numero di righe di B. Dobbiamo poi effettuare il prodotto di AB per C, quindi il numero di colonne di AB deve essere uguale al numero di righe di C. Per definizione di prodotto di matrici, il numero di colonne di AB `e uguale al numero di colonne di B, dunque abbiamo che il numero di colonne di B deve essere uguale al numero di righe di C. In conclusione per poter eseguire il prodotto (AB)C il numero di colonne di A e il numero di righe di B devono essere uguali e il numero di colonne di B e il numero di righe di C devono essere uguali.

b. Si ragiona in maniera analoga al caso precedente e si vede che le condizioni da imporre sulle dimensioni di A, B e C affinch´e sia possibile calcolare il prodotto A(BC) sono le stesse da imporre affinch´e sia possibile calcolare il prodotto (AB)C.

c. Abbiamo visto quali condizioni imporre affinch´e entrambi i prodotti (AB)C e A(BC) siano definiti. Supponiamo allora che A ∈ M(p, q, R), B ∈ M(q, r, R) e C ∈ M(r, s, R).

Allora AB è una matrice di tipo (p, r) e di conseguenza (AB)C è una matrice di tipo (p, s). Analogamente BC è una matrice di tipo (q, s) e di conseguenza A(BC) è una matrice di tipo (p, s). Dunque (AB)C e A(BC) sono matrici dello stesso tipo e non è necessario imporre ulteriori condizioni alle dimensioni delle matrici A, B e C.

EB.4.11 Si ha:

Per poter fare il prodotto BA il numero delle colonne di B (cioè r) deve essere uguale al numero delle righe di A (cioè p). Pertanto, se il prodotto AB è definito non è detto che sia definito anche il prodotto BA.

b. Dal punto precedente sappiamo che per poter fare entrambi i prodotti AB e BA deve essere A ∈ M(p, q, R) e B ∈ M(q, p, R). In tal caso si ha AB ∈ M(p, p, R) e BA ∈ M(q, q, R). Affinch´e le matrici AB e BA siano dello stesso tipo si deve quindi avere p = q.

EB.4.14 Un esempio ovvio si ha nel caso A = B. Ma vi sono tanti altri casi. Per esempio, le matrici:

commutano per ogni a, b, c e d. Provare per credere.

4.4. Soluzioni degli esercizi di base

EB.4.15 Sia A := aij una matrice di tipo (p, q). Se indichiamo con il simbolo bjk

l’elemento di posto (j, k) della matrice 0q,rsappiamo che bjk= 0 per ogni j e per ogni k. L’elemento di posto (i, k) del prodotto A0q,r`e dato dalla formula:

ai1b1k+ · · · + aiqbqk= ai1· 0 + · · · + aiq· 0 = 0.

dunque l’elemento di posto (i, k) della matrice A0q,r`e uguale a 0 per ogni i e ogni k, vale a dire A0q,r`e la matrice nulla.

In modo analogo si dimostra che si ha 0r,pA = 0r,q.

EB.4.17 Nel mostrare che la moltiplicazione tra matrici non verifica la propriet`a commutativa abbiamo considerato le matrici:

A :=0 1 Abbiamo visto che si ha:

AB = 0,

eppure nessuna delle due matrici A e B `e la matrice nulla. Questo `e uno dei tanti controesempi possibili.

EB.4.19 Possiamo sfruttare la soluzione dell’esercizio di base4.17. Abbiamo infatti:

AB = 0 Ma si ha anche:

0B = 0 Quindi:

AB = 0B

eppure A 6= 0. Abbiamo dato anche in questo caso uno dei tanti controesempi possibili.

EB.4.21 Si ha:

EB.4.24 Svolgendo i calcoli si ha:

(A + B)²= (A + B)(A + B) = A(A + B) + B(A + B)

= AA + AB + BA + BB = A²+ AB + BA + B², e

A²+ 2AB + B²= A²+ AB + AB + B².

Geometria - versione 1 63

4. Moltiplicazione tra matrici

Dunque vediamo che si ha:

(A + B)²= A²+ 2AB + B² se e solo se

AB = BA

cioè se e solo se A e B commutano. Poiché ciò non è sempre vero, ne consegue che la proprietà è, in generale, falsa. Questo ci mostra che le espressioni matriciali non possono essere manipolate esattamente nello stesso modo in cui manipoliamo espressioni di numeri reali, ed è quindi necessaria un po’ di attenzione per non incorrere in errori che potrebbero stravolgere completamente il risultato.

EB.4.26 Si ha: Abbiamo quindi definito un’operazione di moltiplicazione tra matrici. Il risultato dell’operazione di moltiplicazione tra matrici `e la matrice prodotto.

Notazione In maniera analoga a quanto avviene per il prodotto di numeri reali, d’ora in poi scriveremo (quasi) sempre AB per indicare il prodotto A · B.M L’operazione di moltiplicazione tra matrici verifica propriet`a analoghe ad alcune propriet`a dell’operazione di moltiplicazione tra numeri reali.

Proposizione Date tre matrici A ∈ M(p, q, R), B ∈ M(q, r, R) e C ∈ M(r, s, R) si ha:

(AB)C = A(BC).

Vale dunque la propriet`a associativa della moltiplicazione di matrici.

Proposizione

1. Date A e B in M(p, q, R) e C in M(q, r, R) si ha:

(A + B)C = AC + BC.

2. Data A in M(p, q, R) e B e C in M(q, r, R) si ha:

A(B + C) = AB + AC.

4.5. Sunto

Valgono cio`e le propriet`a distributive delle operazioni matriciali.

Proposizione Date le matrici A in M(p, q, R), B in M(q, r, R) e un numero reale h si ha:

h(AB) = (hA)B = A(hB).

Proposizione Date le matrici A ∈ M(p, q, R) e B ∈ M(q, r, R) si ha:

t(AB) =^tB^tA.

Vi sono poi propriet`a della moltiplicazione tra numeri reali che non sono valide nel caso delle matrici. Per esempio, non vale la propriet`a commutativa. Infatti se A e B sono due matrici tali che sia definito il prodotto AB, allora:

• il prodotto BA potrebbe non essere definito;

• il prodotto BA potrebbe essere definito ma avere dimensioni diverse da AB;

• il prodotto BA potrebbe essere definito e avere le stesse dimensioni di AB (questo avviene se e solo se A e B sono due matrici quadrate dello stesso ordine):

anche in quest’ultimo caso, tuttavia, non `e detto che i prodotti AB e BA sono uguali.

Definizione Date due matrici quadrate A e B dello stesso ordine diciamo che

A e B commutano o permutano se si ha AB = BA. M

Un’altra propriet`a che non vale `e il principio di annullamento del prodotto:

se A e B sono due matrici tali che AB = 0 non `e detto che almeno una delle matrici A e B sia nulla.

Egualmente non vale la legge di semplificazione del prodotto: se A, B e C sono matrici tali che AC = BC e C 6= 0, non `e detto che A sia uguale alla matrice B.

Matrici e sistemi

Dato un sistema di p equazioni in q incognite:

S :











a11x1+ a12x2+ · · · + a1qxq= b1

a₂₁x₁+ a₂₂x₂+ · · · + a_2qx_q= b₂ ...

ap1x1+ ap2x2+ · · · + apqxq= bp

Sia A la matrice dei coefficienti del sistema:

A :=







a₁₁ . . . a_1q ... . .. ... a_p1 . . . a_pq





 Sia X la matrice colonna delle incognite del sistema:

X :=





 x1

... xq







Geometria - versione 1 65

4. Moltiplicazione tra matrici

Sia B la matrice colonna dei termini noti del sistema:

B :=





 b1

... b_p







Possiamo allora scrivere il sistema S nella forma matriciale:

AX = B.

Risolvere il sistema S `e allora equivalente a determinare (se esistono) tutte le matrici ¯X tali che A ¯X = B.

4.6 Esercizi

E.4.1 Date le matrici

A :=2 3 4 7

e I =1 0 0 1

, verificare che si ha

AI = IA = A.

E.4.2 Data la matrice

A :=1 2 0 1

determinare tutte le matrici X ∈ M(2, 2, R) tali che AX = 0.

E.4.3 Data la matrice A dell’esercizioE.4.2, determinare tutte le matrici Y in M(2, 2, R) tali che Y A = 0.

E.4.4 Data la matrice

A :=1 0 2 0

determinare tutte le matrici X ∈ M(2, 2, R) tali che AX = 0.

E.4.5 Data la matrice A dell’esercizioE.4.4, determinare tutte le matrici Y in M(2, 2, R) tali che Y A = 0.

E.4.6 Data la matrice A dell’esercizioE.4.4, determinare tutte le matrici X in M(2, 2, R) tali che AX = A.

E.4.7 Data la matrice

A :=1 2 2 4

determinare tutte le matrici X ∈ M(2, 2, R) tali che AX = 0.

E.4.8 Data la matrice A dell’esercizioE.4.7, determinare tutte le matrici Y in M(2, 2, R) tali che Y A = 0.

4.7. Soluzioni degli esercizi

E.4.9 Data la matrice

A :=1 2 0 3

determinare tutte le matrici X ∈ M(2, 2, R) tali che AX = XA.

E.4.10 Data una matrice quadrata A e un numero reale h, `e vero che si ha sempre

(hA)²= h²A²?

4.7 Soluzioni degli esercizi

E.4.1 Basta svolgere i calcoli. Non li scriviamo.

E.4.2 Sia

X :=a b c d

. Si ha:

AX =1 2 0 1

a b c d

=a + 2c b + 2d

c d

. Dunque AX = 0 se e solo se:











a + 2c = 0

b + 2d = 0

c = 0

d = 0

Si vede facilmente che ciò avviene se e solo se a = b = c = d = 0, cioè se e solo se X è la matrice nulla.

E.4.3 L’unica matrice verificante la condizione `e la matrice nulla.

E.4.4 Le matrici verificanti la condizione sono le matrici:

0 0 c d

con c e d numeri reali qualsiasi.

E.4.5 Le matrici verificanti la condizione sono le matrici:

−2b b

−2d d

con b e d numeri reali qualsiasi.

E.4.6 Sono le matrici:

1 0 c d

con c e d numeri reali qualsiasi.

E.4.7 Sono le matrici:

−2c −2d

c d

con c e d numeri reali qualsiasi.

Geometria - versione 1 67

4. Moltiplicazione tra matrici

E.4.8 Sono le matrici:

−2b b

−2d d

con c e d numeri reali qualsiasi.

E.4.9 Sono le matrici:

a b

0 a + b

con a e b numeri reali qualsiasi.

E.4.10 S`ı. Si ha infatti:

(hA)²= (hA)(hA) = h(A(hA)) = h(hAA) = h(hA²) = hhA²= h²A².

CAPITOLO 5

Determinanti

Nel capitolo1 abbiamo visto che l’equazione lineare in un’incognita ax = b

ha un’unica soluzione se e solo se a 6= 0.

Vedremo pi`u avanti che il sistema di due equazioni lineari (ax + by = e

cx + dy = f ha un’unica soluzione se e solo se ad − bc 6= 0.

Nel capitolo 4 abbiamo visto che ambedue questi sistemi possono essere scritti nella forma

AX = B

dove A è la matrice dei coefficienti, X è la matrice delle incognite e B è la matrice dei termini noti.

Nel caso di una equazione in un’incognita si ha:

A := a , X := x , B := b . Le matrici A, X e B sono quindi matrici di tipo (1, 1).

Nel caso di due equazioni in due incognite si ha:

A :=a b c d

, X :=x y

, B := e f

. Associamo alla matrice

A =a b c d

il numero reale ad − bc che chiamiamo determinante di A e indichiamo con il simbolo det A. Quindi:

det A := ad − bc.

5. Determinanti

Possiamo allora parafrasare quanto detto sopra dicendo che un sistema di due equazioni lineari in due incognite ha un’unica soluzione se e solo se il determinante della matrice dei coefficienti del sistema `e diverso da 0.

Ritorniamo al caso di un’equazione in un’incognita. Chiamiamo determinan-te della matrice A dei coefficienti del sisdeterminan-tema il suo unico elemento: il numero a. Quindi:

det A := a.

Date queste definizioni di determinanti per le matrici di ordine 1 e 2, possiamo dire che un sistema di un’equazione in un’incognita o un sistema di due equazioni in due incognite hanno un’unica soluzione se e solo se il determinante della matrice dei coefficienti del sistema `e diverso da 0.

Si possono poi considerare sistemi di tre equazioni in tre incognite. Le loro matrici dei coefficienti sono quadrate di ordine 3. Pi`u in generale si possono considerare sistemi di n equazioni in n incognite. Le loro matrici dei coefficienti sono quadrate di ordine n.

In questo capitolo vediamo come associare a ogni matrice quadrata di ordine n un numero reale, che chiamiamo determinante della matrice, in modo tale che si abbia un risultato analogo a quello visto sopra: un sistema di n equazioni

Nel documento GiuseppeACCASCINAValerioMONTI Geometria (pagine 71-103)