Nei paragrafi precedenti abbiamo parlato genericamente di numeri. Con il termine numero indichiamo, salvo avviso contrario, un numero reale. Sono numeri reali, per esempio, i numeri:
0, 1, −2,1 3, π,√
2.
La definizione di numero reale `e alquanto laboriosa. Ci limitiamo a ricordare che ogni numero reale `e rappresentabile, nella scrittura decimale, da una parte intera seguita, dopo la virgola, da un numero (eventualmente illimitato) di cifre decimali con la convenzione di considerare, per esempio, le scritture:
27,35 27,350 27,35000 27,34999 . . .
come diverse scritture dello stesso numero. Indichiamo con il simbolo R l’insieme dei numeri reali.
Per indicare che un numero `e reale usiamo il simbolo ∈, detto simbolo di appartenenza. Per esempio, per indicare che√
2 `e un numero reale, scriviamo
√ 2 ∈ R.
Possiamo leggere la formula precedente dicendo: √
2 appartiene all’insieme dei numeri reali.
Anche π `e un numero reale. Possiamo quindi scrivere π ∈ R,
cio`e π appartiene all’insieme dei numeri reali.
Sappiamo che la somma e il prodotto di due numeri reali sono numeri reali.
Quindi se a ∈ R e b ∈ R allora a + b ∈ R e a · b ∈ R.
Tra i numeri reali vi sono particolari numeri, i numeri naturali, cio`e i numeri
1, 2, 3, . . .
1.5. Numeri e insiemi
Indichiamo con N l’insieme dei numeri naturali. Quindi si ha, per esempio 1 ∈ N, 317 ∈ N.
Per indicare in modo simbolico quali siano gli elementi dell’insieme N possiamo anche scrivere:
N = {1, 2, 3, . . . }.
Tra parentesi graffe si scrivono gli elementi dell’insieme. La formula precedente si legge: l’insieme N ha come elementi 1, 2, 3, . . . .
Nota 1.21 Alcuni autori considerano anche il numero 0 come numero naturale.
Per essi si ha cio`e N = {0, 1, 2, 3, . . . }. M
Ogni numero naturale `e un numero reale, quindi ogni elemento di N `e un elemento di R.
Definizione 1.22 Se tutti gli elementi di un insieme A sono elementi di un insieme B, diciamo che l’insieme A `e contenuto nell’insieme B o anche che A
`e un sottoinsieme di B. Indichiamo ci`o con i simboli:
A ⊆ B. M
Da quel che abbiamo detto segue che l’insieme N dei numeri naturali `e contenuto nell’insieme R dei numeri reali. In simboli:
N ⊆ R.
Vi sono per`o numeri reali che non sono naturali. Per esempio il numero −3 non
`e un numero naturale. Possiamo esprimere ci`o scrivendo:
−3 /∈ N.
che leggiamo: −3 non appartiene all’insieme dei numeri naturali.
La somma e il prodotto di due numeri naturali sono numeri naturali. Se a ∈ N e b ∈ N allora a + b ∈ N e a · b ∈ N.
Tra i numeri reali vi sono poi i numeri interi cio`e i numeri:
. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .
Indichiamo l’insieme dei numeri interi con il simbolo Z. Quindi, per esempio:
−3 ∈ Z, 7 ∈ Z, 314 ∈ Z.
Possiamo quindi scrivere:
Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . }.
Tutti i numeri naturali sono interi, quindi:
N ⊆ Z.
D’altronde tutti i numeri interi sono reali. Quindi Z ⊆ R.
Geometria - versione 1 11
1. Equazioni lineari e numeri
Possiamo riepilogare tutto ci`o scrivendo:
N ⊆ Z ⊆ R.
Vi sono numeri reali che non sono interi. Per esempio:
1 2 ∈ Z./
La somma e il prodotto di due numeri interi sono numeri interi. Se a ∈ Z e b ∈ Z allora a + b ∈ Z e a · b ∈ Z.
Indichiamo con Q l’insieme dei numeri razionali, ossia l’insieme delle
frazioni: m
n.
con m numero intero e n numero intero non nullo. Ricordiamo che un numero razionale pu`o essere scritto in vari modi. Per esempio, le frazioni:
3
4 e 6
8
rappresentano lo stesso numero razionale. In generale, le frazioni m
n e m0 n0
vengono considerate scritture diverse di uno stesso numero razionale se mn0= nm0.
I numeri interi vengono considerati numeri razionali. Infatti, per esempio, il numero 7 viene considerato uguale alla frazione
7 1.
Quindi l’insieme dei numeri interi `e contenuto nell’insieme dei razionali. Que-st’ultimo insieme `e contenuto a sua volta nell’insieme dei numeri reali. In simboli:
Z ⊆ Q ⊆ R.
La somma e il prodotto di due numeri razionali sono numeri razionali. Se a ∈ Q e b ∈ Q allora a + b ∈ Q e a · b ∈ Q.
Vi sono numeri reali che non sono razionali. Per esempio:
√ 2 /∈ Q.
I numeri reali che non sono razionali si dicono irrazionali.
Abbiamo esaminato alcuni insiemi di numeri: i naturali, gli interi, i razionali, i reali. Ognuno di tali insiemi `e contenuto nel successivo. In simboli:
N ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R.
Vogliamo ora analizzare alcune propriet`a dei numeri reali. Ad esempio, se a due numeri uguali viene sommato un numero, si ottengono numeri uguali. In altri termini possiamo dire che dati a ∈ R, b ∈ R e c ∈ R si ha:
se a = b allora a + c = b + c.
1.5. Numeri e insiemi
Possiamo invertire l’implicazione? `E vero cio`e che, se a + c = b + c, allora a = b? Possiamo cio`e semplificare per c? La risposta `e affermativa. Infatti dall’uguaglianza
a + c = b + c segue, sommando ad ambo i membri il numero −c:
a + c − c = b + c − c da cui
a = b.
Abbiamo quindi la:
Proposizione 1.23 (Legge di semplificazione per l’addizione) Dati tre numeri reali a, b e c si ha:
a + c = b + c se e solo se a = b.
Esercizio di base1.24 Spiegare perch´e dati a ∈ R e c ∈ R si ha:
a + c = c se e solo se a = 0. M
Ecco un’altra propriet`a dei numeri reali. Se due numeri uguali vengono molti-plicati per uno stesso numero, si ottengono numeri uguali. In simboli possiamo dire che dati a ∈ R, b ∈ R e c ∈ R si ha:
se a = b allora a · c = b · c.
Possiamo invertire l’implicazione? Vale a dire, dati a ∈ R, b ∈ R e c ∈ R si ha:
se a · c = b · c allora a = b?
La risposta `e no, in generale. Se infatti c = 0, si ha a · c = b · c per ogni a e b.
Vale per`o la:
Proposizione 1.25 (Legge di semplificazione per la moltiplicazione) Dati tre numeri reali a, b e c con c 6= 0:
se a · c = b · c allora a = b.
Dimostrazione Moltiplicando infatti per c−1ambo i membri dell’uguaglianza:
a · c = b · c si ottiene:
a · c · c−1= b · c · c−1 da cui a = b. Nell’enunciare la legge di semplificazione per la moltiplicazione, abbiamo richie-sto che c fosse un numero reale diverso da 0. Possiamo anche scrivere ci`o nel modo seguente:
c ∈ R − {0}.
In generale, infatti abbiamo la:
Geometria - versione 1 13
1. Equazioni lineari e numeri
Definizione 1.26 Dati due insiemi A e B si chiama insieme differenza di A e B l’insieme, che indichiamo con il simbolo A − B, formato dagli elementi
di A che non appartengono a B. M
Per esempio, dati gli insiemi A = {1, 2, 3, 4, 7, 10} e B = {0, −3, 2, 4, 7}, si ha:
A − B = {1, 3, 10}.
Notiamo che nella definizione di A − B non abbiamo richiesto che B sia un sottoinsieme di A.
Esercizio di base 1.27 Spiegare perch´e si ha la seguente propriet`a. Dati a ∈ R e c ∈ R − {0} si ha:
a · c = c se e solo se a = 1. M
Esercizio di base 1.28 La soluzione di un’equazione lineare del tipo:
a · x = b M
con a ∈ N − {0} e b ∈ N `e sempre elemento di N?
Esercizio di base 1.29 La soluzione di un’equazione lineare del tipo:
a · x = b M
con a ∈ Z − {0} e b ∈ Z `e sempre elemento di Z?
Esercizio di base 1.30 La soluzione di un’equazione lineare del tipo:
a · x = b M
con a ∈ Q − {0} e b ∈ Q `e sempre elemento di Q?