incognite scriviamo:
S :
a11x1+ a12x2+ · · · + a1qxq= b1
a21x1+ a22x2+ · · · + a2qxq= b2 ...
ap1x1+ ap2x2+ · · · + apqxq= bp
Notiamo che il primo indice di un coefficiente indica l’equazione di cui esso fa parte, il secondo indice rappresenta invece l’incognita di cui esso `e coefficiente.
In generale, cio`e, il numero aij con 1 ≤ i ≤ p, 1 ≤ j ≤ q `e il coefficiente della j-esima incognita appartenente alla i-esima equazione.
Una soluzione del sistema S `e una q-upla di numeri reali (¯x1, ¯x2, . . . , ¯xq) che, sostituiti nelle equazioni del sistema alle incognite (x1, x2, . . . , xq), danno delle identit`a.
Nota 1.10 Dato un sistema in q incognite, una q-upla di numeri che soddi- sfano contemporaneamente tutte le equazioni costituisce una soluzione, non q
soluzioni. M
Disponiamo i coefficienti del sistema in una tabella di p righe e q colonne:
A :=
a11 a12 . . . a1q
a21 a22 . . . a2q
... ... . .. ... ap1 ap2 . . . apq
.
Una tale tabella si dice matrice a p righe e q colonne. La matrice associata al sistema si dice matrice dei coefficienti del sistema.
Nell’esempio1.5abbiamo considerato il sistema:
S :
(x + 2y = 4 x + 5y = 6. La sua matrice dei coefficienti `e:
A :=1 2 1 5
.
Esercizio di base1.11 Determinare le matrici dei coefficienti dei sistemi dati negli esempi1.7e1.8.
1.4 Sistemi equivalenti
Nei paragrafi precedenti, per stabilire se un certo sistema `e risolubile (ed eventualmente per determinarne le soluzioni) abbiamo applicato al sistema alcuni tipi di manipolazioni per ottenere un sistema pi`u semplice da analizzare.
Ovviamente, perch´e tutto ci`o abbia senso, passando da un sistema all’altro dobbiamo essere sicuri che si ottenga un sistema con le stesse soluzioni di quelle
Geometria - versione 1 7
1. Equazioni lineari e numeri
di partenza. Le manipolazioni che effettuiamo devono, cio`e, essere lecite: non devono far perdere delle soluzioni o introdurne di nuove. Vediamo allora alcuni tipi di manipolazioni lecite: alcune di queste le abbiamo gi`a usate negli esempi fin qui visti.
Abbiamo talora sommato a una equazione un’altra equazione moltiplicata per una costante. Abbiamo infatti la:
Proposizione 1.12 Se in un sistema S sommiamo a una equazione un’altra equazione del sistema moltiplicata per una costante, otteniamo un sistema S0 con le stesse soluzioni di S.
Un’altra possibilit`a `e data dalla:
Proposizione 1.13 Se in un sistema S moltiplichiamo un’equazione per una costante non nulla, otteniamo un sistema S0 con le stesse soluzioni di S.
Bisogna per`o fare attenzione: moltiplicando un’equazione per 0 non
otte-
niamo necessariamente un sistema con le stesse soluzioni. Se, per esempio, moltiplichiamo per 0 l’equazione
3x = 2, otteniamo l’equazione
0x = 0,
che `e identicamente soddisfatta, mentre l’equazione di partenza ha un’unica soluzione (23 per la precisione). Pertanto, nella proposizione1.13`e essenziale la condizione che la costante per cui si moltiplica sia non nulla.
Le dimostrazioni delle proposizioni1.12e1.13sono abbastanza semplici ma richiedono un po’ di attenzione con gli indici: i dettagli possono essere trovati nel paragrafoA.1.
Un altro modo (del tutto ovvio) per passare da un sistema a un sistema con le stesse soluzioni `e dato dalla:
Proposizione 1.14 Se in un sistema scambiamo tra loro due equazioni, otte-niamo un sistema con le stesse soluzioni del sistema di partenza.
Alle volte pu`o capitare che dopo alcune manipolazioni si ottenga tra le equazioni di un sistema un’identit`a, cio`e un’equazione del tipo 0 = 0: abbiamo incontrato questa situazione nell’esempio1.8. Quando capita, possiamo tranquillamente scartare tale equazione. Abbiamo cio`e la:
Proposizione 1.15 Se un sistema S ha tra le sue equazioni un’identit`a (cio`e un’equazione 0 = 0) allora il sistema S0 ottenuto da S scartando tale identit`a ha le stesse soluzioni di S.
Dopo aver eliminato un’identit`a, se volessimo ritornare al sistema di partenza dobbiamo ovviamente aggiungere di nuovo un’identit`a. Pi`u in generale:
Proposizione 1.16 Se a un sistema S aggiungiamo un’identit`a 0 = 0 ottenia-mo un sistema S0 con le stesse soluzioni di S.
1.4. Sistemi equivalenti
Abbiamo cos`ı elencato alcuni tipi di operazioni elementari che permettono di passare da un sistema a un altro con le stesse soluzioni. Possiamo allora dare la:
Definizione 1.17 Dati due sistemi lineari S e S0 nelle medesime incognite x1, x2, . . . , xq, diciamo che S `e equivalente a S0 se si pu`o passare da S a S0 per mezzo di un numero finito di operazioni elementari di uno di questi tipi
• sommare a un’equazione un’altra moltiplicata per un numero1;
• moltiplicare un’equazione per un numero diverso da 0;
• scambiare di posto tra loro due equazioni;
• eliminare un’identit`a;
• aggiungere un’identit`a. M
Per quanto fin qui detto abbiamo ovviamente la:
Proposizione 1.18 Se un sistema S `e equivalente a un sistema S0 allora i due sistemi hanno le stesse soluzioni (in particolare se uno dei due non ha soluzioni anche l’altro non ne ha).
Si pu`o facilmente osservare che se si applica a un sistema un’operazione elemen-tare, si pu`o tornare al sistema di partenza per mezzo di un’altra operazione elementare:
Esercizio di base1.19 Sia S un sistema lineare e sia S0 un sistema ottenuto da S per mezzo di un’operazione elementare. Mostrare che `e possibile tornare indietro e ottenere S applicando a S0 un’opportuna operazione elementare.
Notiamo che quando lavoriamo con i sistemi siamo abituati a fare, talvolta senza nemmeno pensarci, altre manipolazioni che ci permettono di passare da un sistema a uno a esso equivalente. Ad esempio se in un sistema compare due volte la stessa equazione, o, pi`u in generale, un’equazione e una sua multipla, scartiamo quest’ultima perch´e `e, in sostanza, conseguenza dell’altra. Notiamo per`o che non `e necessario definire un’ulteriore operazione elementare per coprire questo caso. `E infatti possibile descrivere questa operazione per mezzo di altre operazioni elementari2: `e quanto abbiamo fatto nell’esempio1.8. Ci`o ha validit`a generale.
Esercizio di base1.20 Sia S un sistema lineare. Se in S compare un’equa-zione e una sua multipla, il sistema S0 che si ottiene scartando quest’ultima `e equivalente al sistema S.
L’equivalenza tra sistemi soddisfa le tre propriet`a:
1Se il numero per cui moltiplichiamo `e 0 stiamo sommando a un’equazione un’altra molti-plicata per 0: il sistema rimane ovviamente inalterato e quindi l’operazione `e perfettamente lecita.
2In realt`a `e possibile anche descrivere lo scambio di due equazioni in termini degli altri tipi di operazioni elementari: poich´e per`o ci`o `e un po’ macchinoso, lasciamo comunque lo scambio di equazioni nella nostra lista di operazioni elementari.
Geometria - versione 1 9
1. Equazioni lineari e numeri
1. Propriet`a riflessiva Ogni sistema S `e equivalente a s´e stesso.
Infatti per passare da S a s´e non `e necessaria nessuna operazione (potremmo dire che servono 0 operazioni elementari).
2. Propriet`a simmetrica Se un sistema S `e equivalente a un sistema S0allora S0 `e equivalente a S.
Basta infatti ripercorre a ritroso ciascun passaggio: nell’esercizio di base1.19 abbiamo mostrato che ciascun passaggio a ritroso `e, a sua volta, un’operazione elementare.
3. Propriet`a transitiva Se un sistema S `e equivalente a un sistema S0 e se S0 `e equivalente a un sistema S00allora S `e equivalente a S00.
Se passiamo prima da S a S0 e poi da S0 a S00 per mezzo di operazioni elementari, siamo, di fatto, passati da S a S00per mezzo di operazioni elementari.
Pi`u in generale, una relazione che soddisfa le propriet`a riflessiva, simmetrica e transitiva `e detta relazione di equivalenza.