Matrici e insiemi
2.3 Matrice trasposta
Consideriamo le due matrici:
A :=3 √ 2 −5
1 0 7
e B :=
3 1
√2 0
−5 7
.
La matrice B `e stata ottenuta dalla matrice A scambiando le righe con le colonne. La prima riga della matrice A `e la prima colonna della matrice B. La seconda riga della matrice A `e la seconda colonna della matrice B. La matrice B viene chiamata matrice trasposta della matrice A. In generale:
Definizione 2.19 Data una matrice A := aij a p righe e q colonne, chiamia-mo matrice trasposta di A la matrice, che indichiachiamia-mo con tA, a q righe e p colonne avente come elemento di posto (j, i) l’elemento di posto (i, j) della matrice A. Si ha cio`e:
tA := bji con bji:= aij. M
Esercizio di base 2.20 Determinare la matrice trasposta della matrice:
A :=
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
.
M Consideriamo la matrice:
A :=
2 5 1 0 3 0 0 0 6
.
Abbiamo gi`a visto prima che si ha A ∈ TR(3). La matrice A `e cio`e triangolare superiore. Consideriamo la sua trasposta. Si ha:
tA =
2 0 0 5 3 0 1 0 6
.
Abbiamo ottenuto una matrice triangolare inferiore. Cio`etA ∈ TR(3). Ci`o viene generalizzato nel prossimo esercizio.
2.3. Matrice trasposta
Esercizio di base2.21 Dimostrare che si ha:
A ∈ TR(n) se e solo setA ∈ TR(n),
A ∈ TR(n) se e solo setA ∈ TR(n). M Suggerimento: se non si `e in grado di dimostrare il caso generale, provare prima con matrici di ordine 2 e poi di ordine 3.
Consideriamo la matrice
C :=
2 1 0 1 3 5 0 5 6
.
Abbiamo gi`a visto nel paragrafo 2.1che si tratta di una matrice simmetrica.
Calcolando la sua trasposta, vediamo che si hatC = C.
Ci`o `e vero in generale: ogni matrice simmetrica coincide con la sua trasposta.
Viceversa, se una matrice quadrata coincide con la sua trasposta, allora essa `e simmetrica.
Esercizio di base2.22 Dimostrare che una matrice quadrata `e simmetrica se e solo se coincide con la propria trasposta.
Si ha quindi:
A ∈ S(n, R) se e solo se tA = A, o, equivalentemente:
S(n, R) = {A ∈ M(n, n, R) |tA = A}.
Consideriamo ora la matrice:
A :=2 5 1 7 3 0
.
Si ha:
tA =
2 7 5 3 1 0
.
Consideriamo ora la matrice trasposta della trasposta di A, cio`e la matrice
t(tA):
t(tA) =2 5 1 7 3 0
. Abbiamo A =t(tA).
Ci`o `e un fatto generale. Data cio`e una qualsiasi matrice A ∈ M(p, q, R), si ha:
t(tA) = A.
Questa propriet`a si dimostra facilmente.
Geometria - versione 1 31
2. Matrici e insiemi
2.4 Soluzioni degli esercizi di base
EB.2.2 Si ha:
A =2 3 3 4
.
EB.2.5 Svolgendo i calcoli si ottiene:
A =
0 0 0
1 0 0
2 1 0
.
La matrice A non `e triangolare superiore. Inoltre A `e triangolare inferiore.
EB.2.6 Vogliamo dimostrare che A `e una matrice triangolare inferiore. Dobbiamo quindi dimostrare che, se j > i, allora aij = 0. Sia quindi j > i. Ricordiamo che abbiamo aij= max(i − j, 0). Ma i − j < 0, quindi aij= 0. Abbiamo dimostrato quel che volevamo.
EB.2.9 Sia A := aij in D(n, R). Questo significa che aij= 0 se i 6= j. Dobbiamo dimostrare che aij= aji per ogni coppia di indici i e j. Se i = j ci`o `e ovvio. Se i 6= j allora aij= 0 = aji. Abbiamo dimostrato quel che volevamo.
EB.2.10 Si ha:
A =
2 3 4
3 4 5
4 5 6
. La matrice A `e chiaramente simmetrica.
EB.2.11 Dimostriamo che si ha aij= ajiqualunque siano i e j. Poich´e, per defini-zione, abbiamo aij= i + j, otteniamo: aij= i + j = j + i = aji. Abbiamo dimostrato quel che volevamo.
EB.2.12
A /∈ TR(3), A /∈ TR(3), A /∈ D(3, R), A /∈ S(3, R), B ∈ TR(3), B /∈ TR(3), B /∈ D(3, R), B /∈ S(3, R), C ∈ TR(3), C ∈ TR(3), C ∈ D(3, R), C ∈ S(3, R), D /∈ TR(3), D /∈ TR(3), D /∈ D(3, R), D ∈ S(3, R), E ∈ TR(3), E ∈ TR(3), E ∈ D(3, R), E ∈ S(3, R), F /∈ TR(3), F /∈ TR(3), F /∈ D(3, R), F ∈ S(3, R).
EB.2.16 Abbiamo:
A ∩ B = {4} e A ∪ B = {x ∈ N | 2 < x < 12}.
EB.2.17 Affinch´e un elemento appartenga sia ad A che a B si deve avere:
2 < x < 5 e 6 < x < 10.
Non esiste alcun numero naturale che sia al tempo stesso minore di 5 e maggiore di 6.
Quindi A ∩ B = ∅. Si ha poi:
A ∪ B = {3, 4, 7, 8, 9}.
EB.2.18 La verifica `e semplice. Quindi non la scriviamo.
2.5. Sunto
Dobbiamo quindi dimostrare che, se i > j allora bji= 0. Sia allora i > j. Abbiamo bji= aij= 0. Abbiamo dimostrato quel che volevamo.
Dobbiamo ora dimostrare il viceversa. Supponiamo cio`e che B =tA ∈ TR(n) e dobbiamo mostrare che A ∈ TR(n). Si ha: B =tA = (bji) ∈ TR(n), cio`e bji= 0 per ogni j < i. Ma aij= bji, quindi aij= 0 per ogni i > j, vale a dire A ∈ TR(n).
La dimostrazione della seconda propriet`a `e analoga alla dimostrazione appena fatta. Evitiamo quindi di scriverla. Ci`o non toglie che sia opportuno che il lettore la svolga.
EB.2.22 La dimostrazione non `e difficile. Evitiamo di scriverla.
2.5 Sunto
Insiemi (seconda puntata)
Un insieme pu`o essere definito indicando la propriet`a che caratterizza gli elementi dell’insieme. Per esempio, per indicare che l’insieme R<0`e l’insieme dei numeri reali negativi, si scrive:
R<0:= {a ∈ R | a < 0}.
Definizione Dati due insiemi A e B definiamo gli insiemi:
A ∩ B := {x | x ∈ A e x ∈ B}, A ∪ B := {x | x ∈ A o x ∈ B}.
L’insieme A ∩ B si dice intersezione di A e B. L’insieme A ∪ B si dice unione di A e B. Si definisce insieme vuoto l’insieme non avente alcun elemento. Il
simbolo ∅ rappresenta l’insieme vuoto. M
Matrici
Definizione Una matrice a coefficienti reali a p righe e q colonne o di tipo (p, q) `e una tabella di numeri reali disposti su p righe e q colonne:
A =
Geometria - versione 1 33
2. Matrici e insiemi
I numeri p e q vengono detti dimensioni della matrice. Chiamiamo elemento (o coefficiente) di posto (i, j) della matrice A il numero reale che si trova sulla i-esima riga e sulla j-esima colonna della matrice A. Per indicare genericamente gli elementi della matrice A scriviamo A = aij. M Indichiamo con il simbolo M(p, q, R) l’insieme delle matrici a coefficienti reali di tipo (p, q).
Definizione Una matrice di tipo (n, n) si dice matrice quadrata di ordine n. In una matrice quadrata A = aij di ordine n, gli elementi a11, a22, . . . , annsi dicono elementi della diagonale principale di A. M Definizione Una matrice quadrata A = aij di ordine n si dice triangolare superiore se tutti gli elementi che si trovano sotto la diagonale principale sono nulli. Indichiamo con il simbolo TR(n) l’insieme delle matrici triangolari superiori. Si ha quindi:
TR(n) := {A = aij ∈ M(n, n, R) | aij = 0 per ogni i > j}. M
Definizione Una matrice quadrata A = aij di ordine n si dice triangolare inferiore se tutti gli elementi che si trovano sopra la diagonale principale sono nulli. Indichiamo con il simbolo TR(n) l’insieme delle matrici triangolari inferiori. Si ha quindi:
TR(n) := {A = aij ∈ M(n, n, R) | aij = 0 per ogni i < j}. M
Definizione Una matrice quadrata A = aij di ordine n si dice diagonale se tutti gli elementi non appartenenti alla diagonale principale sono nulli.
Indichiamo con D(n, R) l’insieme delle matrici diagonali di ordine n a coefficienti reali. Si ha quindi:
D(n, R) := {A = aij ∈ M(n, n, R) | aij = 0 per ogni i 6= j}. M
Definizione Una matrice A = aij ∈ M(n, n, R) si dice simmetrica se, per ogni i e per ogni j, si ha aij = aji. Con il simbolo S(n, R) si indica l’insieme delle matrici simmetriche di ordine n a coefficienti reali. M Definizione Data una matrice A = aij ∈ M(p, q, R), chiamiamo matrice trasposta di A la matricetA ∈ M(q, p, R) avente come elemento di posto j, i l’elemento di posto i, j della matrice A. Cio`e:
tA := (bji) con bji:= aij. M
Proposizione Per ogni matrice A in M(q, p, R) si ha:
t(tA) = A.
Una matrice quadrata `e simmetrica se e solo se essa coincide con la sua trasposta.
Si ha quindi:
S(n, R) = {A ∈ M(n, n, R) |tA = A}.
2.6. Esercizi
2.6 Esercizi
E.2.1 Sia data la matrice:
A :=
1 2 3 5 9 0 7 4 8
.
Indichiamo con aij il suo elemento generico. Determinare gli elementi aij tali che i + j = 4.
E.2.2 Determinare gli elementi aij della matrice A data nell’esercizioE.2.1tali che i + j < 4.
E.2.3 Determinare gli elementi aij della matrice A data nell’esercizioE.2.1tali che i + j > 4.
E.2.4 Si considerino gli insiemi A := {1, 3, 4, 8} e B := {2, 3, 4, 5, 7}. Determi-nare gli insiemi:
a. A − B; b. B − A; c. (A − B) ∪ (B − A); d. (A − B) ∩ (B − A).
E.2.5 Indichiamo con P l’insieme formato dalle parole che indicano in italiano i primi dieci numeri naturali. Cio`e:
P := {uno, due, tre, quattro, cinque, sei, sette, otto, nove, dieci}.
Indichiamo con T il sottoinsieme di P formato dalle parole di P di tre lettere.
Consideriamo ora il sottoinsieme S di P formato dalle parole di P che cominciano con la lettera “s”. Verificare che l’insieme delle parole di P di tre lettere e che cominciano con la lettera “s” `e dato da T ∩ S. Determinare inoltre gli insiemi:
a. S ∩ T ; b. S ∪ T ; c. S − T ; d. T − S; e. P − T ; f. P − (S ∩ T ); g. P − (S ∪ T ).
E.2.6 Abbiamo visto che ogni matrice diagonale `e simmetrica. E vero il` viceversa?
E.2.7 Ogni matrice diagonale `e sia triangolare superiore che triangolare inferiore.
E vero il viceversa? `` E vero cio`e che, se una matrice `e sia triangolare superiore che triangolare inferiore, allora essa `e diagonale? In altre parole, si chiede se `e vera l’uguaglianza:
TR(n) ∩ TR(n) = D(n, R).
E.2.8 Consideriamo la matrice:
A :=
3 5 9 0 1 2 0 0 2
. Verificare se A appartiene agli insiemi:
a. TR(3); b. TR(3); c. S(3, R); d. D(3, R); e. TR(3) − S(3, R);
f. S(3, R) − TR(3); g. M(3, 3, R) − (S(3, R) ∪ TR(3));
h. M(3, 3, R) − (S(3, R) ∩ TR(3)).
Geometria - versione 1 35
2. Matrici e insiemi
2.7 Soluzioni degli esercizi
E.2.1 Sono gli elementi di posto (1, 3) cio`e 3, di posto (2, 2) cio`e 9 , e di posto (3, 1) cio`e 7.
E.2.2 Sono gli elementi di posto (1, 1) cio`e 1, di posto (1, 2) cio`e 2 , e di posto (2, 1) cio`e 5.
E.2.3 Sono gli elementi di posto (2, 3) cio`e 0, di posto (3, 2) cio`e 4 , e di posto (3, 3) cio`e 8.
E.2.4 L’insieme A − B `e formato dagli elementi di A che non appartengono a B, e pertanto abbiamo che A − B = {1, 8}. Analogamente troviamo B − A = {2, 5, 7}. `E ora facile vedere che (A − B) ∪ (B − A) = {1, 2, 5, 7, 8} e che (A − B) ∩ (B − A) = ∅.
E.2.5 L’insieme delle parole di P di tre lettere e che cominciano per “s” `e formato da tutte e sole le parole di P che appartengono a T e che appartengono a S. Per definizione di intersezione si ha allora P = T ∩ S. Si ha poi:
a. S ∩ T = {sei}; b. S ∪ T = {uno, due, tre, sei, sette}; c. S − T = {sette};
d. T − S = {uno, due, tre}; e. P − T = {quattro, cinque, sette, otto, nove, dieci};
f. P − (S ∩ T ) = {uno, due, tre, quattro, cinque, sette, otto, nove, dieci};
g. P − (S ∪ T ) = {quattro, cinque, otto, nove, dieci};
E.2.6 No. La seguente matrice `e simmetrica ma non diagonale.
A :=1 2 2 5
.
E.2.7 S`ı. La dimostrazione `e facile.
E.2.8 Abbiamo:
a. A ∈ TR(3); b. A /∈ TR(3); c. A /∈ S(3, R); d. A /∈ D(3, R);
e. A ∈ TR(3) − S(3, R); f. A /∈ S(3, R) − TR(3);
g. A /∈ M(3, 3, R) − (S(3, R) ∪ TR(3)), h. A ∈ M(3, 3, R) − (S(3, R) ∩ TR(3)).