Matrice inversa
6.4 Teorema di Cramer
Abbiamo visto nel capitolo 1che l’equazione a coefficienti reali ax = b
ha, se a 6= 0, una e una sola soluzione data da x = a−1b.
Possiamo ora dare una propriet`a analoga nel caso matriciale. Date le matrici A ∈ GL(n, R) e B ∈ M(n, r, R), l’equazione matriciale
AX = B
(dove X ∈ M(n, r, R) `e la matrice incognita) ha una e una sola soluzione data da:
X = A−1B.
6.4. Teorema di Cramer
Esercizio di base6.22 Dimostrare quest’ultima affermazione.
Analogamente si ha che, date A ∈ GL(n, R) e B ∈ M(r, n, R), l’equazione matriciale
XA = B
(dove X ∈ M(r, n, R) `e la matrice incognita) ha una e una sola soluzione data da:
X = BA−1.
Esercizio di base6.23 Dimostrare quest’ultima affermazione.
Consideriamo ora un sistema di n equazioni lineari a coefficienti reali in n incognite:
a11x1+ a12x2+ · · · + a1nxn= b1 a21x1+ a22x2+ · · · + a2nxn= b2
...
an1x1+ an2x2+ · · · + annxn= bn Abbiamo visto che il sistema pu`o essere scritto nella forma:
AX = B
dove A ∈ M(n, n, R) `e la matrice dei coefficienti del sistema, X ∈ M(n, 1, R) `e la matrice delle incognite e B ∈ M(n, 1, R) `e la matrice dei termini noti. Nel caso in cui A sia una matrice invertibile, applicando i risultati visti in precedenza, possiamo concludere che il sistema ha un’unica soluzione data da:
X = A−1B.
Non `e per`o necessario calcolare esplicitamente la matrice inversa di A per determinare le soluzioni. Diamo infatti il:
Teorema 6.24 (di Cramer) Sia dato un sistema di n equazioni lineari a coefficienti reali in n incognite:
a11x1+ a12x2+ · · · + a1nxn= b1
a21x1+ a22x2+ · · · + a2nxn= b2 ...
an1x1+ an2x2+ · · · + annxn= bn Riscriviamo il sistema in forma matriciale:
AX = B.
Se det A 6= 0, il sistema ammette una e una sola soluzione data da X = A−1B.
Geometria - versione 1 95
6. Matrice inversa
Equivalentemente la soluzione `e data dalle formule xi= det A(i)
det A ,
con 1 ≤ i ≤ n dove A(i) `e la matrice ottenuta da A sostituendo la i-esima colonna di A con la colonna B dei termini noti.
La dimostrazione completa del teorema pu`o essere trovata nel paragrafoA.6 Definizione 6.25 Un sistema lineare di n equazioni in n incognite la cui matrice dei coefficienti sia invertibile si dice Crameriano. M Esempio 6.26 Consideriamo il sistema:
La sua matrice dei coefficienti `e:
A :=
Si ha det A = 1. Quindi il sistema ammette una e una sola soluzione. Calcolia-mola:
Abbiamo evidenziato con il colore l’inserimento della colonna dei termini noti.
Quindi (2, 0, −1) `e l’unica soluzione del sistema. Come controllo possiamo sostituire i valori di x, y e z trovati nelle equazioni del sistema e verificare che le soddisfano tutte. Si ha infatti:
6.5. Soluzioni degli esercizi di base
Esercizio di base6.27 Verificare che il seguente sistema ha una e una sola soluzione e determinarla:
x1+ 2x2+ 3x3+ 4x4= 1 2x1+ x2 + 5x4= 0 3x1 + x3− x4= 0
2x1+ x2 + 2x4= 0 M
6.5 Soluzioni degli esercizi di base
EB.6.3 Per calcolare l’elemento di posto (i, j) di InB dobbiamo moltiplicare gli elementi della i-esima riga di Inper i corrispondenti elementi della j-esima colonna di B e sommare poi i prodotti cos`ı ottenuti. L’unico elemento non nullo della i-esima colonna di In`e l’i-esimo che `e uguale a 1. Moltiplicando questo elemento per l’i-esimo elemento della j-esima colonna di B (cio`e bij) otteniamo come risultato bij. Dunque, l’elemento di posto (i, j) di InB `e bij, cio`e `e uguale all’elemento di posto (i, j) di B:
ma questo significa che InB = B.
EB.6.5 La matrice I `e una matrice triangolare superiore. Sappiamo che il suo determinante `e uguale al prodotto degli elementi della sua diagonale principale, ed `e pertanto uguale a 1.
EB.6.11 Basta svolgere i calcoli.
EB.6.13 Svolgendo i calcoli si trova:
A−1=
1
5 −25 25
2 5
1 5 −15
−1 0 1
.
EB.6.18 Sappiamo che A `e invertibile e che la sua inversa `e A−1. Dunque abbiamo AA−1= A−1A = I. Vogliamo mostrare chetA `e invertibile e che la sua inversa `e
t(A−1). Questo equivale a calcolare i prodottitAt(A−1) et(A−1)tA e verificare che sono uguali alla matrice identica. Dalla formula della trasposta di un prodotto si ha:
tAt(A−1) =t(A−1A).
D’altra parte A−1A = I. Dunque:
tAt(A−1) =tI.
Ma la trasposta della matrice identit`a `e la matrice identit`a e, pertanto,
tAt(A−1) = I.
In maniera analoga si dimostra che
t(A−1)tA =tI.
EB.6.21 Otteniamo la tesi moltiplicando a destra ambo i membri dell’identit`a BA = CA
per la matrice A−1. Quest’ultima esiste poich´e A ∈ GL(n, R).
Geometria - versione 1 97
6. Matrice inversa
EB.6.22 Moltiplicando a sinistra ambo i membri per la matrice A−1, otteniamo la tesi.
EB.6.23 Moltiplicando a destra ambo i membri per la matrice A−1, otteniamo la tesi. il sistema si scrive nella forma:
AX = B.
Svolgendo i calcoli si trova che la matrice A ha determinante 36. Il sistema ammette quindi una e una sola soluzione. Essa `e data da:
x1=
Definizione Chiamiamo matrice unit`a o matrice identica di ordine n la matrice quadrata In avente tutti gli elementi della diagonale principale uguali a 1 e tutti gli altri elementi uguali a 0 (la matrice identica `e, quindi, una matrice diagonale). Dunque:
6.6. Sunto
Si ha la:
Proposizione Per ogni matrice A con n colonne si ha:
AIn= A.
Per ogni matrice B con n righe si ha:
InB = B.
Notazione Quando non ci sia pericolo di confusione si usa il simbolo I per indicare la matrice identica quale che sia la sua dimensione. M Matrice inversa
Definizione Una matrice quadrata A si dice invertibile se esiste una matrice quadrata B dello stesso ordine di A tale che AB = BA = I. Indichiamo con GL(n, R) l’insieme delle matrici invertibili di ordine n. La notazione utilizzata dipende dal fatto che questo insieme viene chiamato gruppo lineare. M Proposizione Se A `e una matrice invertibile e B e C sono due matrici tali che AB = BA = I e AC = CA = I, allora B = C.
Possiamo allora dare la:
Definizione Data una matrice invertibile A si chiama inversa di A l’unica matrice B tale che AB = BA = I. Tale matrice viene indicata con il simbolo
A−1. M
Teorema Una matrice quadrata A `e invertibile se e solo se det A 6= 0. In tal caso, detto n l’ordine di A, la matrice inversa di A si calcola nel modo seguente:
• se n = 1 e A := a11 si ha A−1= a−111;
• se n > 1 l’elemento bij di posto (i, j) della matrice A−1 `e dato dalla formula:
bij = (−1)i+jdet Aji det A . Propriet`a dell’inversa
Proposizione L’inversa di una matrice invertibile A `e una matrice invertibile.
Si ha:
(A−1)−1 = A.
Inoltre:
det A−1= 1 det A.
Proposizione Date due matrici invertibili A e B dello stesso ordine, anche il prodotto AB `e invertibile e si ha:
(AB)−1 = B−1A−1.
Geometria - versione 1 99
6. Matrice inversa
Proposizione Data una matrice invertibile A, la sua traspostatA `e invertibile e si ha:
(tA)−1=t(A−1).
Ci`o ci permette di usare il simbolotA−1 senza ambiguit`a.
Proposizione Date A ∈ GL(n, R), B ∈ M(n, r, R) e C ∈ M(n, r, R) si ha:
se AB = AC allora B = C.
Proposizione Date A ∈ GL(n, R), B ∈ M(r, n, R) e C ∈ M(r, n, R) si ha:
se BA = CA allora B = C.
Teorema di Cramer
Teorema (di Cramer) Sia dato un sistema di n equazioni lineari a coeffi-cienti reali in n incognite:
a11x1+ a12x2+ · · · + a1nxn = b1
a21x1+ a22x2+ · · · + a2nxn = b2 ...
an1x1+ an2x2+ · · · + annxn = bn Riscriviamo il sistema in forma matriciale:
AX = B.
Se det A 6= 0, il sistema ammette una e una sola soluzione data da X = A−1B.
Equivalentemente la soluzione `e data dalle formule xi= det A(i)
det A ,
con 1 ≤ i ≤ n dove A(i) `e la matrice ottenuta da A sostituendo la i-esima colonna di A con la colonna B dei termini noti.
Definizione Un sistema lineare di n equazioni in n incognite la cui matrice dei coefficienti sia invertibile si dice Crameriano. M
6.7 Esercizi
E.6.1 Per ognuna delle seguenti matrici, determinare, quando esiste, la sua inversa:
A := 0 , B := 1 , C := 2 , D := 3 .
6.7. Esercizi
E.6.2 Per ognuna delle seguenti matrici, determinare, quando esiste, la sua inversa: E.6.3 Per ognuna delle seguenti matrici, determinare, quando esiste, la sua inversa:
E.6.4 Calcolare l’inversa della matrice
A :=
a. Dimostrare che data una matrice triangolare superiore invertibile A di ordine 2, l’inversa di A `e una matrice triangolare superiore.
b. Dimostrare che data una matrice triangolare superiore invertibile A di ordine 3, l’inversa di A `e una matrice triangolare superiore.
c. Dimostrare propriet`a analoghe a quelle provate nei punti precedenti per matrici triangolari inferiori.
E.6.6 Per ognuna delle seguenti matrici simmetriche, determinare, quando esiste, la sua inversa:
A :=0 1
E.6.7 Chi ha risolto l’esercizioE.6.6 si sar`a accorto che in tutti i casi in cui era possibile calcolare l’inversa si otteneva una matrice simmetrica. Non `e un caso: l’inversa di una matrice invertibile simmetrica `e anch’essa simmetrica.
Dimostrare questa affermazione.
Diamo un suggerimento. Ricordiamo che una matrice B `e simmetrica se
tB = B. Data una matrice simmetrica invertibile A, per dimostrare che A−1`e
Geometria - versione 1 101
6. Matrice inversa
simmetrica bisogna quindi provare chet(A−1) = A−1. Si deve cio`e dimostrare che la matricet(A−1) `e l’inversa di A. Questo equivale a mostrare che:
t(A−1)A = At(A−1) = I.
E.6.8 Determinare i valori di λ per i quali la seguente matrice `e invertibile:
Aλ:= E.6.9 Date le matrici
A :=1 2 determinare le soluzioni delle equazioni matriciali:
a. AX=B; b. XA=B; c. AX=0; d. XA=0; e. DX=C; f. XD=C.
E.6.10 Dimostrare che l’equazione matriciale AX = B
dove A ∈ M(n, n, R), A /∈ GL(n, R), B ∈ GL(n, R) e X ∈ M(n, n, R), non ha soluzioni.
E.6.11 Determinare le soluzioni dell’equazione matriciale:
AX = A
E.6.12 Determinare le soluzioni dell’equazione matriciale:
AX = B
E.6.13 Determinare le soluzioni dei seguenti sistemi sfruttando il teorema di Cramer:
6.8. Soluzioni degli esercizi
E.6.14 Dimostrare che un sistema di n equazioni lineari a coefficienti reali in n incognite, avente la matrice dei coefficienti invertibile e i termini noti tutti nulli, ha come unica soluzione l’n-upla (0, 0, . . . , 0).
6.8 Soluzioni degli esercizi
E.6.1 La matrice A non `e invertibile. Si ha poi:
B−1= 1), C−1= 12 , D−1= 13 .
E.6.3 Le matrici A, B, C e F non sono invertibili. Si ha poi:
D−1=
E.6.4 Poich´e la matrice
A :=
`e triangolare, il suo determinante `e uguale al prodotto degli elementi della sua diagonale principale. Pertanto det A = 2 · 3 · 25 = 125. La matrice A `e dunque invertibile. Ricordiamo che per calcolare la matrice inversa `e necessario calcolare i determinanti delle matrici aggiunte degli elementi di A. In particolare l’elemento di posto (i, j) della matrice A−1`e:
(−1)i+jdet Aji
det A . Calcoliamo allora i determinanti delle matrici aggiunte:
det A11=
Notiamo che anche A `e una matrice triangolare superiore.
Geometria - versione 1 103
6. Matrice inversa
E.6.5
a. La generica matrice triangolare di ordine 2 pu`o essere scritta cos`ı:
A :=a11 a12
0 a22
.
Se A `e invertibile il suo determinante `e diverso da 0. Per mostrare che l’inversa di A `e triangolare superiore non `e necessario calcolare tutti gli elementi della matrice A−1: `e sufficiente mostrare che l’elemento di posto (2, 1) di A−1 si annulla. L’elemento di posto (2, 1) di A−1`e:
−det A12
det A .
Ora A12`e la matrice che si ottiene cancellando la prima riga e la seconda colonna di A: pertanto A12= (0) e det A12= 0. Abbiamo cos`ı ottenuto quello che volevamo.
b. La generica matrice triangolare di ordine 3 pu`o essere scritta cos`ı:
A :=
Se A `e invertibile il suo determinante `e diverso da 0. Per mostrare che l’inversa di A `e triangolare superiore non `e necessario calcolare tutti gli elementi della matrice A−1:
`
e sufficiente mostrare che gli elementi di posto (i, j) di A−1con i > j si annullano.
L’elemento di posto (i, j) di A−1`e:
−det Aji
det A .
Dobbiamo quindi mostrare che gli aggiunti Ajidegli elementi di posto (j, i) con i > j hanno determinante nullo. Gli aggiunti che dobbiamo considerare sono:
A12=0 a23
E facile vedere che queste matrici hanno tutte una riga o una colonna nulle e, quindi,` il loro determinante si annulla.
c. La propriet`a per le matrici triangolari inferiori si dimostra in maniera analoga a quella della matrici triangolari superiori.
Si potrebbe dimostrare che data una matrice triangolare superiore invertibile di qualsiasi ordine, la sua inversa `e una matrice triangolare superiore, e, analogamente che data una matrice triangolare inferiore invertibile di qualsiasi ordine, la sua inversa
`
e una matrice triangolare inferiore.
E.6.6 La matrice D non `e invertibile. Si ha poi:
A−1= A, B−1=2 1
E.6.7 Dobbiamo dimostrare che data una matrice simmetrica invertibile A si ha:
t(A−1)A = At(A−1) = I.
6.8. Soluzioni degli esercizi
Poich´e A =tA, abbiamo:
t(A−1)A =t(A−1)tA =t(A · A−1) =tI = I.
In modo analogo si dimostra che si ha:
At(A−1) = I.
E.6.8 Il determinante di A `e −λ3+ 3λ2− 2λ, che si annulla per λ = 0, λ = 1 e λ = 2.
La matrice A `e dunque invertibile per tutti i valori di λ diversi da 0, 1 e 2.
E.6.9 Notiamo innanzitutto che, affinch´e le equazioni abbiano senso, si deve avere X ∈ M(2, 2, R).
a. La matrice A `e invertibile. Si ha allora:
X = A−1B =−3 −7
5 2
11 2
.
b. Si ha:
X = BA−1=
2 0
−12 12
. c. Si ha X = A−10 = 0.
d. Si ha X = 0A−1= 0.
e. Poich´e det D = 0, per ogni X ∈ M(2, 2, R) si ha det(DX) = det D det X = 0. Ma det C 6= 0. Non esiste quindi alcuna matrice X verificante l’equazione.
f. Con un ragionamento analogo al precedente si dimostra che non esiste alcuna matrice verificante l’equazione.
E.6.10 Poich´e det A = 0 si ha det(AX) = det A det X = 0, qualunque sia la matrice X. Poich´e det B 6= 0, non esiste nessuna matrice X tale che AX = B.
E.6.11 Consideriamo una generica matrice X :=a b
c d
di M(2, 2, R). Calcoliamo il prodotto AX:
AX =1 0 0 0
a b c d
=a b 0 0
. Imponendo che questo prodotto sia uguale ad A:
a b 0 0
=1 0 0 0
,
troviamo a = 1 e b = 0. Le soluzioni sono, dunque, le matrici del tipo:
X :=1 0 c d
dove c e d sono numeri reali qualsiasi.
E.6.12 Si procede come nell’esercizioE.6.11e si vede che non esiste alcuna soluzione.
E.6.13 Ognuno dei sistemi ha una sola soluzione. Esse sono:
Geometria - versione 1 105
6. Matrice inversa
a.
( x = 0 y = 0
b.
( x = 0 y = 3
c.
( x = 0 y = 1
d.
x = 0 y = 1 z = 0
e.
x = 0 y = 0 z = 1
f.
x1=1
3 x2= −4
3 x3=14
3 x4= −8
3 E.6.14 In forma matriciale il sistema si scrive: AX = 0. Dunque l’unica soluzione del sistema `e X = A−10 = 0.