Lo spazio vettoriale delle matrici
3.2 Moltiplicazione per uno scalare
3.2 Moltiplicazione per uno scalare
Data una matrice A e un numero reale k, possiamo moltiplicare ogni elemento di A per k. Otteniamo una matrice che indichiamo con kA. Si ha per esempio:
A :=
Chiamiamo questa operazione moltiplicazione di una matrice per uno scalare.
Esercizio di base3.13 Data la matrice
A :=
L’operazione di moltiplicazione di una matrice per uno scalare soddisfa le seguenti propriet`a la cui dimostrazione viene lasciata per esercizio:
Proposizione 3.14
1. h(kA) = (h · k)A per ogni A ∈ M(p, q, R), h ∈ R, k ∈ R;
2. (h + k)A = hA + kA per ogni A ∈ M(p, q, R), h ∈ R, k ∈ R;
3. h(A + B) = hA + hB per ogni A ∈ M(p, q, R), B ∈ M(p, q, R), h ∈ R.
Esercizio di base3.15 Dimostrare le propriet`a precedenti.
Lasciamo per esercizio la dimostrazione elementare della Proposizione 3.16 Data una matrice A si ha
1. 1A = A;
2. (−1)A = −A;
3. 0A = 0.
Osservazione 3.17 Notiamo che nell’ultima formula della proposizione prece-dente il simbolo 0 indica due cose differenti. Lo 0 a primo membro `e il numero reale 0. Lo 0 a secondo membro `e la matrice nulla di M(p, q, R). M
3.3 Soluzioni degli esercizi di base
EB.3.2 Si ha:
Geometria - versione 1 41
3. Lo spazio vettoriale delle matrici
EB.3.6 Dimostriamo innanzitutto la validit`a della propriet`a associativa:
A + (B + C) = (A + B) + C.
Per dimostrare che le due matrici sono uguali, dobbiamo dimostrare che esse hanno gli stessi elementi.
Siano A := aij, B := bij, C := cij. Dalla definizione di matrice somma segue immediatamente che l’elemento di posto (i, j) della matrice A + (B + C) `e dato da aij+ (bij+ cij). Analogamente l’elemento di posto(i, j) della matrice (A + B) + C `e dato da (aij+ bij) + cij. Per i numeri reali `e valida la propriet`a associativa e quindi si ha:
aij+ (bij+ cij) = (aij+ bij) + cij. Abbiamo dimostrato quel che volevamo.
Notiamo che, per dimostrare la propriet`a associativa dell’addizione tra matrici, abbiamo sfruttato la definizione di addizione tra matrici e la propriet`a associativa dell’addizione tra numeri reali.
Dobbiamo ora dimostrare la propriet`a commutativa dell’addizione tra matrici. La dimostrazione `e semplice. In essa si utilizza la definizione di addizione tra matrici e la propriet`a commutativa dell’addizione tra numeri reali.
Le dimostrazioni della propriet`a di esistenza dello zero e della propriet`a di esistenza dell’opposto sono analoghe. Evitiamo quindi di scriverle.
EB.3.9 Sia
A + C = B + C.
Sommiamo ad ambo i membri la matrice −C. Otteniamo:
A + C + (−C) = B + C + (−C).
Poich´e si ha C + (−C) = 0, otteniamo:
A + 0 = B + 0.
Sfruttando la propriet`a della matrice nulla otteniamo:
A = B.
3.4. Sunto
EB.3.12 Per dimostrare l’uguaglianza dobbiamo verificare che l’elemento di posto (j, i) ditA +tB coincide con l’elemento di posto (j, i) dit(A + B). Sia A := aij e abbiamo calcolato in precedenza.
EB.3.13 Data la matrice
A = EB.3.15 Le dimostrazioni sono semplici verifiche. Evitiamo quindi di darle.
3.4 Sunto
Addizione tra matrici
Definizione Date A := aij ∈ M(p, q, R) e B := bij ∈ M(p, q, R), chiamia-mo matrice somma di A e B, la matrice di tipo (p, q), che indichiachiamia-mo con A + B, il cui elemento di posto (i, j) `e dato dalla somma degli elementi di posto (i, j) delle matrici A e B. Si ha cio`e:
A + B := cij
con cij := aij+ bij
Abbiamo cos`ı definito un’operazione di addizione tra matrici. M Proposizione L’addizione tra matrici di M(p, q, R) soddisfa le propriet`a:
1. Propriet`a associativa.
(A + B) + C = A + (B + C) per ogni A ∈ M(p, q, R), B ∈ M(p, q, R), C ∈ M(p, q, R).
2. Propriet`a commutativa.
A + B = B + A per ogni A ∈ M(p, q, R), B ∈ M(p, q, R).
3. Esistenza dello zero.
La matrice di tipo (p, q) avente tutti gli elementi nulli viene indicata con il simbolo 0 e chiamata matrice nulla. La matrice nulla 0 ha la seguente propriet`a:
A + 0 = A per ogni A ∈ M(p, q, R).
Geometria - versione 1 43
3. Lo spazio vettoriale delle matrici
4. Esistenza dell’opposto.
Data una matrice A ∈ M(p, q, R), esiste una matrice che sommata ad A d`a la matrice nulla 0. Questa matrice `e ovviamente la matrice avente come elementi gli opposti degli elementi della matrice A. Essa viene indicata con il simbolo −A e viene chiamata matrice opposta di A. Si ha quindi:
A + (−A) = 0.
Date le matrici A ∈ M(p, q, R), B ∈ M(p, q, R), C ∈ M(p, q, R), usiamo il simbolo A + B + C per indicare (A + B) + C o anche A + (B + C). La propriet`a associativa ci dice che ci`o non crea ambiguit`a.
Date A ∈ M(p, q, R) e B ∈ M(p, q, R) poniamo A − B := A + (−B).
Il simbolo := indica che, per definizione, poniamo A − B uguale a A + (−B).
Proposizione Date tre matrici A, B e C di M(p, q, R) si ha:
se A + C = B + C allora A = B.
Questa propriet`a `e nota come legge di semplificazione per l’addizione matri-ciale
Proposizione Date due matrici A e B in M(p, q, R) si ha:
tA +tB =t(A + B).
Moltiplicazione per uno scalare
Definizione Data una matrice A ∈ M(p, q, R) e un numero k ∈ R, indichiamo con kA la matrice di M(p, q, R) avente come elementi gli elementi della matrice A moltiplicati per k. Chiamiamo questa operazione in M(p, q, R) moltiplicazione
di una matrice per uno scalare. M
Proposizione
1. h(kA) = (h · k)A per ogni A ∈ M(p, q, R), h ∈ R, k ∈ R;
2. (h + k)A = hA + kA per ogni A ∈ M(p, q, R), h ∈ R, k ∈ R;
3. h(A + B) = hA + hB per ogni A ∈ M(p, q, R), B ∈ M(p, q, R), h ∈ R;
4. 1A = A per ogni A ∈ M(p, q, R);
5. (−1)A = −A per ogni A ∈ M(p, q, R);
6. 0A = 0 per ogni A ∈ M(p, q, R).
3.5. Esercizi
3.5 Esercizi
E.3.1 Siano date le matrici:
A :=1 2 3 4
, B :=−1 −2
3 4
, C := 1 −2
−3 4
. Calcolare le matrici:
A + B, A + C, B + C, A − B, B − A, −A − B.
E.3.2 Dimostrare che, date A ∈ M(p, q, R) e C ∈ M(p, q, R), si ha:
A + C = C se e solo se A = 0.
E.3.3 Date le matrici A ∈ M(p, q, R), B ∈ M(p, q, R) e C ∈ M(p, q, R), dimostrare che si ha:
A + B = C se e solo se A = C − B.
E.3.4 Date le matrici
A :=
2 5 −1
5 −3 0
−1 0 9
e B :=
1 −5 2
−5 13 0
2 0 4
, verificare che A, B e A + B sono matrici simmetriche.
E.3.5 Nell’esercizioE.3.4abbiamo dato l’esempio di due matrici simmetriche la cui somma `e anch’essa una matrice simmetrica. In effetti la somma di due matrici simmetriche `e sempre una matrice simmetrica. Dimostrare questo fatto.
E.3.6 Data la matrice
A :=
2 5 3
5 −3 2
−1 0 9
,
determinare una matrice B di ordine 3 tale che la matrice A + B sia una matrice triangolare superiore.
E.3.7 Data la matrice A dell’esercizio E.3.6, determinare una matrice C tale che la matrice A + C sia simmetrica.
E.3.8 Data la matrice A dell’esercizioE.3.6, verificare che la matrice A +tA `e una matrice simmetrica.
E.3.9 Dimostrare che, data A ∈ M(n, n, R), allora:
A +tA ∈ S(n, R).
E.3.10 Una matrice A ∈ M(n, n, R) si dice antisimmetrica se i suoi elementi in posizioni simmetriche rispetto alla diagonale principale sono uno l’opposto dell’altro. Cio`e A := aij `e antisimmetrica se aij = −aji per ogni valore di i e j, o, equivalentemente se A = −tA. Verificare che, data A ∈ M(n, n, R), allora la matrice A −tA `e antisimmetrica.
Geometria - versione 1 45
3. Lo spazio vettoriale delle matrici
E.3.11 Dimostrare che ogni matrice antisimmetrica ha tutti gli elementi della diagonale principale nulli.
E.3.12 Dimostrare che, dati h ∈ R, A ∈ M(p, q, R), A 6= 0, si ha:
se hA = 0 allora h = 0.
E.3.13 Dimostrare che ogni matrice quadrata A ∈ M(2, 2, R) si pu`o esprimere come
A = U + L
dove U `e una matrice triangolare superiore e L `e una matrice triangolare inferiore.
Si consideri poi la matrice
A0:=2 −2
3 0
.
Le matrici triangolari U e L tali che A0= U + L sono in questo caso determinate univocamente? E se consideriamo la matrice
A00:=0 1 4 0
?
3.6 Soluzioni degli esercizi
E.3.1 Abbiamo:
A + B =1 2 3 4
+−1 −2
3 4
=0 0 6 8
,
A + C =1 2 3 4
+ 1 −2
−3 4
=2 0 0 8
. In modo analogo si calcolano le altre matrici. Si ottiene:
B + C =0 −4
0 8
, A − B =2 4
0 0
,
B − A =−2 −4
0 0
, −A − B = 0 0
−6 −8
.
E.3.2 Sommiamo ad ambo i membri di:
A + C = C, la matrice −C, otteniamo:
A + C − C = C − C.
Poich´e C − C = 0 si ottiene allora A = 0. Abbiamo dimostrato quel che volevamo.
Notiamo che la dimostrazione `e analoga alla dimostrazione della analoga propriet`a dei numeri reali:
se a + c = c allora a = 0.
Abbiamo dimostrato questo fatto nell’esercizio di base1.24.
E.3.3 Sommando la matrice −B ad ambo i membri dell’uguaglianza otteniamo ci`o che ci `e richiesto.
3.6. Soluzioni degli esercizi
E.3.4 Basta fare la verifica!
E.3.5 Sia A := aij una matrice simmetrica. Quindi aij= aji. Sia B := bij una matrice simmetrica. Quindi bij= bji. Sia A + B := cij. Dobbiamo dimostrare che si ha cij= cji. Dalla definizione di somma tra matrici segue:
cij= aij+ bij,
Sfruttando il fatto che si ha aij= aji e bij= bji, otteniamo:
cij= aij+ bij= aji+ bji= cji. Abbiamo ottenuto quel che volevamo.
E.3.6 Dobbiamo prendere una matrice
B :=
a b c
d e f
g h i
tale che la matrice
A + B =
2 + a 5 + b 3 + c 5 + d −3 + e 2 + f
−1 + g 0 + h 9 + i
sia una matrice del tipo
∗ ∗ ∗
0 ∗ ∗
0 0 ∗
dove con ∗ si intendono numeri qualsiasi. Si deve necessariamente avere:
d = −5, g = 1 e h = 0.
Abbiamo quindi che le matrici B verificanti la condizione richiesta sono del tipo:
∗ ∗ ∗
−5 ∗ ∗
1 0 ∗
.
E.3.7 Dobbiamo prendere una matrice
C :=
a b c
d e f
g h i
tale che la matrice
A + C =
2 + a 5 + b 3 + c 5 + d −3 + e 2 + f
−1 + g 0 + h 9 + i
sia simmetrica. Questo equivale a imporre le condizioni:
5 + d = 5 + b
−1 + g = 3 + c h = 2 + f Dunque otteniamo:
b = d, c = g − 4, h = 2 + f.
Geometria - versione 1 47
3. Lo spazio vettoriale delle matrici
Le matrici cercate sono allora tutte e sole le matrici del tipo:
C :=
E.3.9 Dobbiamo dimostrare che la matrice C := A +tA `e una matrice simmetrica.
Sappiamo che una matrice `e simmetrica se e solo essa coincide con la sua trasposta.
Dimostriamo allora che si ha:
tC = C.
Sappiamo che, per ogni coppia di matrici A e B, si hat(A + B) =tA +tB. Inoltre per ogni matrice A si hat(tA) = A. Sfruttando queste due propriet`a si ha:
tC =t(A +tA) =tA +t(tA) =tA + A = A +tA = C.
La penultima uguaglianza deriva dalla propriet`a commutativa dell’addizione tra matrici. Abbiamo dimostrato quel che volevamo.
E.3.10 La dimostrazione `e analoga a quella data per la soluzione dell’esercizioE.3.9.
Non la scriviamo.
E.3.11 Se una matrice A := aij `e antisimmetrica si ha aij= −ajiper ogni indice i e j. Ma allora, ponendo i = j si ottiene aii = −aii, da cui segue aii = 0. Gli elementi aiisono gli elementi della diagonale di A. abbiamo quindi dimostrato quel che volevamo.
E.3.12 Il fatto che A := aij non sia la matrice nulla implica che almeno un suo elemento `e non nullo. Siano allora ¯i e ¯j indici tali che a¯i¯j6= 0. Essendo hA la matrice nulla, tutti gli elementi di hA sono nulli. In particolare `e nullo l’elemento di posto (¯i, ¯j). Ma allora si ha ha¯i¯j= 0. Poich´e a¯i¯j6= 0, si deve avere necessariamente h = 0.
Abbiamo dimostrato quel che volevamo.
Si prega di fare attenzione alla dimostrazione. Il fatto che A non sia la matrice nulla non implica che tutti i suoi elementi siano non nulli; implica solamente che almeno uno di essi sia non nullo.
E.3.13 Consideriamo una generica matrice A ∈ M(2, 2, R):
A :=a11 a12
a21 a22
.
Allora A pu`o essere espressa come somma di una matrice triangolare superiore e di una matrice triangolare inferiore ad esempio nel modo seguente:
A =a11 a12
3.6. Soluzioni degli esercizi
Supponiamo di voler determinare tutte le possibili decomposizioni della matrice A0 come somma di una matrice triangolare inferiore e una superiore. Allora si ha
2 −2
3 0
=a b 0 c
+d 0 e f
. Sommando le due matrici a secondo membro si trova
2 −2
3 0
=a + d b e c + f
.
Vediamo allora che mentre per b ed e abbiamo una sola possibile scelta (cio`e b = −2 ed e = 3), possiamo scegliere a, d, c e f sottostando solo alle condizioni a + d = 2, c + f = 0. Dunque abbiamo
2 −2
3 0
=a −2
0 c
+2 − a 0
3 −c
.
Per ogni scelta dei valori a e c abbiamo dunque una diversa decomposizione della matrice A0 come somma di una matrice triangolare superiore e di una triangolare inferiore. Analogamente la matrice A00pu`o essere decomposta in molti modi come somma di una matrice triangolare superiore e di una triangolare inferiore:
0 1 4 0
=a 1 0 c
+−a 0
4 −c
.
Pi`u in generale si pu`o facilmente verificare che ogni matrice quadrata (di qualunque ordine) pu`o scriversi come somma di una triangolare superiore e di una triangolare inferiore in pi`u di una maniera.
Geometria - versione 1 49