I vettori geometrici
11.6 Punto medio
Ricordiamo che, dati due punti A e B distinti, il punto medio M di A e B `e il punto M del segmento di estremi A e B equidistante dai punti A e B, mentre nel caso in cui A = B, il punto medio di A e B coincide con A = B.
Teorema 11.21 Dati due punti A e B del piano o dello spazio, il loro punto medio M `e dato dalla formula
−−→OM = 1 2(−→
OA +−−→ OB).
Dimostrazione Sia C il punto tale che−−→ OC =−→
OA +−−→
OB. Dobbiamo mostrare che−−→
OM = 12−−→
OC. Dalla definizione di somma di vettori sappiamo che il punto C `e il simmetrico di O rispetto al punto M . Distinguiamo due casi. Se M coincide con O anche C coincide con O, e, dunque, −−→
OM = −−→
OC = 0, da cui otteniamo−−→
OM = 12−−→
OC. Se M non coincide con O, detta r la retta passante per O e M , per la definizione di prodotto scalare vettore il termine del vettore 2−−→
OM
`
e esattamente il simmetrico di M rispetto ad O: in altri termini 2−−→
OM =−−→ OC,
che `e quanto volevamo.
11.7. Soluzioni degli esercizi di base
11.7 Soluzioni degli esercizi di base
EB.11.7 Dati i vettori v :=−→
OA e w :=−−→
OB, il vettore v + w `e uguale, per definizione, al vettore−−→
OC dove C `e il punto tale che OACB `e un parallelogramma (eventualmente degenere). Quindi il punto C `e il simmetrico del punto O rispetto al punto M , il quale a sua volta `e il punto medio dei punti A e B.
Noi ora vogliamo calcolare il vettore v + 0. Pertanto nel nostro caso abbiamo w = 0 =−−→
OO e quindi B = O. Sia allora M il punto medio tra A e B, cio`e il punto medio tra A e O: allora il simmetrico di O rispetto a M `e il punto A stesso. Abbiamo pertanto:
v + 0 =−→
OA = v, cio`e la nostra tesi.
EB.11.10 Dato il vettore v :=−→
OA, vogliamo determinare il vettore 1v. Per definizione di moltiplicazione di un vettore per uno scalare si ha che:
• se v = 0, si ha 1v = 0 e quindi 1v = v;
• se v =−→
OA 6= 0, si ha O 6= A e, chiamata r1 la semiretta delimitata da O e passante per A, il vettore 1v `e uguale al vettore−−→
OB dove B `e il punto della semiretta r1 tale che d(O, B) = 1 d(O, A). Pertanto abbiamo B = A e quindi 1v = v.
EB.11.12 Dato il vettore v :=−→
OA, vogliamo dimostrare che il vettore −1v `e uguale al vettore −v. Ricordiamo che, per definizione, dato v =−→
OA abbiamo che il vettore
−v `e uguale al vettore−−→
OC dove C `e il simmetrico di A rispetto a O. Ricordiamo inoltre che per definizione di moltiplicazione di un vettore per uno scalare si ha che:
• se v = 0, si ha −1v = 0. Inoltre −v = 0. Dunque −1v = 0 = −v;
• se v =−→
OA 6= 0, si ha O 6= A e, chiamata r2 la semiretta di r delimitata da O e non passante per A, il vettore −1v `e uguale al vettore−−→
OB dove B `e il punto della semiretta r2 tale che d(O, B) = |−1| d(O, A) = 1 d(O, A) = d(O, A). Pertanto abbiamo che B non `e altro che il simmetrico di A rispetto a O e quindi anche in questo caso
−1v = −v.
EB.11.20 Il punto medio M tra A e B appartiene a r. Poich´e O non appartiene a r, in particolare O `e diverso da M . Il simmetrico C di O rispetto a M `e allora un punto appartenente alla retta s passante per O e M ed `e diverso da M . Dunque C non appartiene a r, perch´e l’unico punto in comune tra r e s `e il punto M .
r
s
O
A
M
B
C
Geometria - versione 1 179
11. I vettori geometrici
Per quanto riguarda il prodotto k−→
OA, notiamo che O e A sono diversi (perch´e O non appartiene a r mentre A appartiene a r). Per definizione di prodotto si ha allora che il termine di k−→
OA `e un punto della retta t passante per O e A: per k = 1 si ottiene il vettore−→
OA stesso il cui termine appartiene ovviamente a r, per k 6= 1 si ottiene un vettore il cui termine `e un punto di t diverso da A e, quindi, non appartiene a r perch´e l’unico punto in comune tra r e t `e A.
r
t
O
A
11.8 Sunto
Definizione Consideriamo un piano e fissiamo su esso una distanza con unit`a di misura U1U2. Fissiamo poi un punto O del piano, che chiamiamo origine.
Dato comunque un punto P , chiamiamo vettore applicato in O di vertice P la coppia di punti O e P . Indichiamo questo vettore con il simbolo v =−−→ OP . Diremo anche che il vettore v ha come origine il punto O. I vettori sono rappresentati graficamente per mezzo di frecce.
O
A B
C u v
w
Indichiamo con V2(O) l’insieme dei vettori aventi origine in O. Chiamiamo vettore nullo il vettore 0 =−−→
OO. M
Definizione Nello spazio diamo una definizione analoga di vettore. Indichia-mo con V3(O) l’insieme dei vettori dello spazio aventi origine in O. M Definizione Dati due vettori (del piano o dello spazio) v :=−→
OA e w :=−−→ OB, chiamiamo vettore somma dei due vettori il vettore v + w := −−→
OC dove il punto C `e l’unico punto del piano tale che OACB sia un parallelogramma
11.8. Sunto
(eventualmente degenere). Rimandiamo alla definizione11.4per la definizione di parallelogramma degenere. Abbiamo in questo modo definito un’operazione
di addizione in V2(O) e in V3(O). M
Definizione Dato un vettore v :=−−→
OP (del piano o dello spazio) e uno scalare h ∈ R, definiamo il vettore hv.
• Se v = 0 poniamo:
h0 := 0 qualsiasi sia h ∈ R.
• Se v 6= 0 i punti O e P , sono distinti e determinano quindi una retta che chiamiamo r. Indichiamo con r1 la semiretta delimitata da O contenente il punto P e con r2 la semiretta delimitata da O non contenente il punto P . Poniamo per definizione
h−−→ OP :=−−→
OQ dove:
– se h = 0 allora Q = O;
– se h > 0 allora Q `e il punto di r1tale che d(O, Q) = h d(O, P );
– se h < 0 allora Q `e il punto di r2tale che d(O, Q) = −h d(O, P ). M
Teorema Le due operazioni in V2(O) appena definite verificano le propriet`a:
1. Propriet`a associativa:
(u + v) + w = u + (v + w) per ogni u ∈ V2(O), v ∈ V2(O), w ∈ V2(O).
2. Propriet`a commutativa:
v + w = w + v per ogni v ∈ V2(O), w ∈ V2(O).
3. Esistenza dello zero:
v + 0 = v per ogni v ∈ V2(O).
4. Esistenza dell’opposto:
Dato comunque un vettore v :=−→
OA ∈ V2(O), esiste ed `e unico un vettore che sommato al vettore v d`a il vettore nullo. Esso `e chiaramente il vettore −−→ OB dove B `e il simmetrico di A rispetto a O. Questo vettore viene indicato con il simbolo −v e viene chiamato vettore opposto di v. Si ha quindi:
v + (−v) = 0;
5. 1v = v per ogni v ∈ V2(O);
6. h(kv) = (hk)v per ogni v ∈ V2(O), h ∈ R e k ∈ R;
7. (h + k)v = hv + kv per ogni v ∈ V2(O), h ∈ R e k ∈ R;
8. h(v + w) = hv + hw per ogni v ∈ V2(O), w ∈ V2(O), h ∈ R.
Teorema Le due operazioni in V3(O) verificano le stesse propriet`a di V2(O).
Geometria - versione 1 181
11. I vettori geometrici
Rette e piani per l’origine
Osservazione Se r `e una retta passante per l’origine, e A e B sono due punti di r allora il termine C del vettore−→
OA +−−→
OB `e un punto di r. M Osservazione Se r `e una retta passante per l’origine, e A `e un punto di r allora il termine D del vettore k−→
OA `e un punto di r. M
Osservazione Se π `e un piano passante per l’origine, e A e B sono due punti di π allora il termine C del vettore−→
OA +−−→
OB `e un punto di π. M Osservazione Se π `e un piano passante per l’origine, e A `e un punto di π allora il termine D del vettore k−→
OA `e un punto di π. M
Punto medio
Teorema Dati due punti A e B del piano o dello spazio, il loro punto medio M `e dato dalla formula
−−→OM = 1 2(−→
OA +−−→ OB).
11.9 Esercizi
E.11.1 Siano O, A e B tre punti distinti di una retta r. Siano r1 e r2 le semirette della retta r aventi origine in O. Consideriamo il punto C in modo tale che OACB sia un parallelogramma degenere. Determinare come devono essere disposti i punti A e B affinch´e il punto C:
a. appartenga a una fissata semiretta di r delimitata dal punto O.
b. coincida con il punto O.
11.10 Soluzioni degli esercizi
E.11.1 Il punto medio M di A e B coincide con il punto medio di O e C.
a. Il punto C appartiene a una determinata semiretta r1 avente origine in O, se e solo se anche M appartiene alla stessa semiretta. Ovviamente, se i punti A e B appartengono entrambi alla semiretta r1, anche il loro punto medio M appartiene a r1. Studiamo ora il caso in cui uno dei punti, per esempio A, appartenga a r1 e il punto B appartenga alla semiretta r2. Si ha allora che il punto M appartiene a r1 se e solo se d(O, A) > d(O, B).
b. Affinch´e il punto C coincida con O si deve avere M = O. Ci`o avviene se il punto O `e punto medio dei punti A e B.