Matrice inversa
6.1 Matrice unit` a
Nell’introduzione abbiamo detto che dobbiamo cercare una matrice che abbia le stesse propriet`a del numero 1. Il numero reale 1 `e caratterizzato dalla propriet`a che a1 = a per ogni a ∈ R. Vediamo se esiste una matrice verificante una propriet`a analoga.
Cerchiamo una matrice I tale che AI = A per ogni matrice A. In questo modo il problema `e per`o posto male: infatti, supponendo di aver trovato la matrice I cercata, il prodotto AI non `e definito per tutte le matrici A, ma solo 87
6. Matrice inversa
per quelle il cui numero di colonne `e uguale al numero di righe di I. Poniamo meglio il problema: cerchiamo una matrice I tale che AI = A per ogni matrice A il cui numero di colonne sia uguale al numero delle righe di I. Se allora I `e una matrice a q righe e r colonne, vogliamo che AI = A per tutte le matrici A con p righe e q colonne. In tal caso AI `e una matrice a p righe e r colonne:
affinch´e sia uguale ad A deve (quantomeno) avere le stesse dimensioni di A, cio`e deve essere q = r, vale a dire I deve essere una matrice quadrata. Possiamo allora porre il nostro problema in una forma ancora pi`u precisa: cerchiamo una matrice quadrata I di ordine n tale che AI = A per tutte le matrici A con n colonne. Poich´e non c’`e motivo di limitarsi a un solo valore di n, possiamo precisare ancora meglio il nostro problema: per ogni intero positivo n cerchiamo una matrice quadrata In di ordine n tale che AIn= A per tutte le matrici A con n colonne.
Torniamo per un attimo ai numeri reali: sappiamo che il numero reale 1
`
e anche caratterizzato dal fatto che 1a = a per ogni numero reale a. Non avevamo scritto esplicitamente questa propriet`a perch´e la moltiplicazione di numeri reali soddisfa la propriet`a commutativa e quindi a1 = a implica 1a = a.
La moltiplicazione di matrici non `e per`o commutativa, quindi chiediamo che le matrici In che stiamo cercando soddisfino l’ulteriore propriet`a che InB = B per tutte le matrici B con n righe. Le matrici che stiamo cercando esistono:
Definizione 6.1 Chiamiamo matrice unit`a o matrice identica di ordine n la matrice quadrata In avente tutti gli elementi della diagonale principale uguali a 1 e tutti gli altri elementi uguali a 0 (la matrice identica `e, quindi, una matrice diagonale). Dunque:
In:=
1 0 . . . 0 . . . 0 0 1 . . . 0 . . . 0 ... ... . .. ... . .. ... 0 0 . . . 1 . . . 0 ... ... . .. ... . .. ... 0 0 . . . 0 . . . 1
M
Dobbiamo ora verificare che la matrice identica cos`ı definita risponda effettiva-mente al problema che ci eravamo posti:
Proposizione 6.2 Per ogni matrice A con n colonne si ha:
AIn= A.
Per ogni matrice B con n righe si ha:
InB = B.
Dimostrazione Dimostriamo la prima parte. Sia allora A una matrice di M(p, n, R). Calcoliamo l’elemento di posto (i, j) della matrice AIn. Per far ci`o dobbiamo considerare la i-esima riga della matrice A e la j-esima colonna della
6.2. Matrice inversa
Per calcolare l’elemento di posto (i, j) di AIndobbiamo moltiplicare gli elementi della i-esima riga di A per i corrispondenti elementi della j-esima colonna di In e sommare poi i prodotti cos`ı ottenuti. L’unico elemento non nullo della j-esima colonna di In `e il j-esimo che `e uguale a 1. Moltiplicando questo elemento per il j-esimo elemento della i-esima riga di A (cio`e aij) otteniamo come risultato aij. Dunque, l’elemento di posto (i, j) di AIn`e aij, cio`e `e uguale all’elemento di posto (i, j) di A: ma questo significa che AIn= A.
La dimostrazione della seconda parte `e analoga. Esercizio di base6.3 Completare la dimostrazione della proposizione6.2.
Si pu`o anche dimostrare (noi non lo facciamo) che la matrice In `e l’unica che soddisfa le propriet`a date dalla proposizione 6.2.
Notazione 6.4 Nel seguito useremo semplicemente il simbolo I per indicare la matrice identica quale che sia la sua dimensione. Useremo il simbolo In
solo quando ci sia pericolo di confusione sull’ordine della matrice identica
considerata. M
6.2 Matrice inversa
Ora che abbiamo dato un senso alla nozione di elemento neutro rispetto al prodotto di matrici, possiamo chiederci se esista una propriet`a corrispondente all’esistenza dell’inverso. Pi`u precisamente consideriamo l’insieme delle matrici quadrate di un dato ordine n: data una matrice A ∈ M(n, n, R) ci chiediamo se esista una matrice B ∈ M(n, n, R) tale che AB = I e BA = I. Osserviamo che, poich´e la moltiplicazione tra matrici non `e commutativa, dobbiamo richiedere separatamente che AB e BA siano uguali a I perch´e, a priori, potrebbe essere verificata una sola delle due relazioni (in realt`a si potrebbe dimostrare che se A e B sono due matrici quadrate dello stesso ordine tali che AB = I allora necessariamente anche BA = I). Come nel caso del prodotto di numeri reali dobbiamo quantomeno richiedere che A non sia la matrice nulla, altrimenti, qualunque sia B, avremmo AB = 0 e BA = 0: in nessun caso possiamo ottenere la matrice identica. Ci chiediamo se la condizione che A 6= 0 sia, oltre che necessaria, anche sufficiente. Per rispondere a questa domanda notiamo innanzitutto che:
det I = 1.
Esercizio di base6.5 Dimostrare quest’ultima affermazione.
Geometria - versione 1 89
6. Matrice inversa
Dunque, se det A = 0, non esiste alcuna matrice B tale che AB = I, perch´e, altrimenti, per il teorema di Binet (vedere5.21) avremmo:
det I = det(AB) = det A det B = 0 det B = 0.
Per assicurare l’esistenza dell’inversa di A non `e allora sufficiente richiedere che la matrice A sia non nulla. Dunque esisteranno matrici dotate di inversa e matrici non dotate di inversa. Ci`o ci porta a dare la:
Definizione 6.6 Una matrice quadrata A si dice invertibile se esiste una matrice quadrata B dello stesso ordine di A tale che AB = BA = I. Indichiamo con GL(n, R) l’insieme delle matrici invertibili di ordine n. La notazione deriva dal fatto che questo insieme viene chiamato gruppo lineare. M Possiamo allora dire che le matrici con determinante nullo non sono invertibili, ma al momento non sappiamo stabilire se una matrice con determinante non nullo sia invertibile o meno (pi`u avanti vedremo che le matrici con determinante non nullo sono tutte invertibili).
Vorremmo ora introdurre il concetto di matrice inversa di una matrice invertibile A: analogamente a quanto fatto per i numeri reali ci verrebbe spontaneo dire che l’inversa di A `e la matrice B tale che AB = BA = I. Se per`o esistesse un’altra matrice C tale che AC = CA = I, quale matrice chiameremmo inversa di A, la matrice B o la matrice C? Fortunatamente questo caso non pu`o sussistere:
Proposizione 6.7 Se A `e una matrice invertibile e B e C sono due matrici tali che AB = BA = I e AC = CA = I, allora B = C.
Dimostrazione Sappiamo che AB = BA = I e AC = CA = I. Calcoliamo ora il prodotto CAB:
CAB = (CA)B = IB = B.
D’altra parte:
CAB = C(AB) = CI = C.
Dunque CAB `e uguale sia a B che a C: ma allora B e C sono la stessa matrice. Grazie alla proposizione6.7possiamo allora dare la:
Definizione 6.8 Data una matrice invertibile A si chiama inversa di A l’unica matrice B tale che AB = BA = I. Tale matrice viene indicata con il simbolo
A−1. M
Diamo ora un risultato che permette di stabilire se una matrice `e invertibile e, in caso affermativo, permette di calcolarne esplicitamente l’inversa. Abbiamo infatti il:
Teorema 6.9 Una matrice quadrata A `e invertibile se e solo se det A 6= 0.
In tal caso, detto n l’ordine di A, la matrice inversa di A si calcola nel modo seguente:
• se n = 1 e A := a11 si ha A−1= a−111;
6.2. Matrice inversa
• se n > 1 l’elemento bij di posto (i, j) della matrice A−1 `e dato dalla formula:
bij = (−1)i+jdet Aji
det A .
La dimostrazione di questo teorema `e data nel paragrafoA.6.
Quindi, se n > 1, per calcolare l’elemento di posto (i, j) di A−1, consideriamo il determinante dell’aggiunta dell’elemento di posto (j, i) di A (attenzione all’inversione degli indici), lo dividiamo per il determinante di A (che `e non nullo) e moltiplichiamo il risultato per −1 elevato alla somma degli indici.
Notiamo che il fattore (−1)i+j vale +1 o −1 a seconda che la somma degli indici sia pari o dispari. Questo `e forse reso pi`u chiaro dallo schema a scacchiera:
+ − + · · ·
− + − · · · + − + · · · ... ... ... . ..
Esempio 6.10 Consideriamo la matrice A :=1 2
0 3
.
Abbiamo det A = 3. La matrice `e quindi invertibile. Per determinare l’inversa utilizziamo le formule che abbiamo appena dato. Otteniamo:
b11= (−1)1+1det A11 det A =3
3 = 1, b12= (−1)1+2det A21
det A = −2 3, b21= (−1)2+1det A12
det A = −0 3 = 0, b22= (−1)2+2det A22
det A =1 3. Quindi
A−1 =1 −23 0 13
. M
Esercizio di base6.11 Verificare, nel caso particolare dell’esempio 6.10, che si ha effettivamente AA−1= A−1A = I.
Esempio 6.12 Cerchiamo ora, se esiste, l’inversa della matrice
A :=
1 2 0
−1 3 1
1 2 1
.
Geometria - versione 1 91
6. Matrice inversa
Svolgendo i calcoli otteniamo det A = 5. La matrice A `e quindi invertibile.
Abbiamo:
Esercizio di base 6.13 Completare i calcoli dell’esempio6.12.