Rango di una matrice
7.2 Calcolo del rango
Notazione 7.5 Per indicare che una matrice A ha rango uguale a n scriviamo rk A = n (dall’inglese “rank”, cio`e rango). In alcuni testi si trova la notazione
Car A = n. M
Esercizio di base7.6 Dimostrare che una matrice A ha rango 0 se e solo se
`e la matrice nulla.
Esercizio di base7.7 Dimostrare che rk A = rktA per ogni matrice A.
Esempio 7.8 Riprendiamo la matrice A dell’esempio 7.2 e calcoliamone il rango:
A :=
1 2 3 4
2 0 1 2
3 2 4 6
.
Dovremmo calcolare i determinanti di tutti i minori di A. Nel calcolare i determinanti dei minori di ordine 2 ne troveremo alcuni che sono invertibili e altri che non lo sono. Ad esempio il minore
1 2 2 0
formato dalle prime due righe e prime due colonne di A `e invertibile. Il rango della matrice A `e quindi maggiore o uguale a 2. Svolgendo i calcoli si vede che tutti i quattro minori di A di ordine 3 non sono invertibili. Si ha quindi
rk A = 2. M
Se nell’esempio precedente abbiamo calcolato i determinanti di tutti i minori abbiamo dovuto fare molti calcoli. Vorremmo evitare di farne cos`ı tanti. Per cominciare possiamo notare che una volta che abbiamo trovato un minore di ordine 2 invertibile `e inutile calcolare esplicitamente i determinanti degli altri minori di ordine 2, perch´e sappiamo che il rango `e almeno 2 e per stabilire se `e 2 o 3 `e sufficiente calcolare i determinanti dei minori di ordine 3. Torneremo con pi`u precisione pi`u avanti su questo aspetto.
7.2 Calcolo del rango
Per determinare il rango di una matrice cercando di fare il minor numero di calcoli possibile `e utile la:
Proposizione 7.9 Sia A una matrice. Se tutti i minori estratti da A di un certo ordine fissato n hanno determinante nullo, allora tutti i minori estratti da A di ordine pi`u grande di n hanno determinante nullo. In particolare rk A < n.
Dimostrazione Vogliamo innanzitutto mostrare che i minori di ordine n + 1 hanno determinante nullo. Sia B uno qualsiasi di questi minori e calcoliamo il suo determinante. Ricordiamo che per far ci`o occorre calcolare i determinanti di matrici aggiunte di elementi di B. Ma che cos’`e una matrice aggiunta di un elemento di B? `E un minore di ordine n estratto da B e, dunque, `e anche un minore di ordine n di A. Per ipotesi i minori di ordine n di A hanno
Geometria - versione 1 109
7. Rango di una matrice
determinante nullo: se guardiamo la formula per il calcolo del determinante vediamo allora facilmente che anche il determinante di B `e nullo. Abbiamo cos`ı provato che tutti i minori di ordine n + 1 hanno determinante nullo. Ripetendo questo ragionamento possiamo dimostrare che i minori di ordine n + 2 hanno
determinante nullo e cos`ı via.
Vi sono vari metodi per calcolare il rango di una matrice di tipo (p, q). Si pu`o essere ottimisti oppure pessimisti. Se si `e ottimisti si pensa che il rango sia alto, se si `e pessimisti si pensa che il rango sia basso.
L’ottimista inizia a considerare i minori di ordine massimo: ovviamente l’ordine massimo dei minori `e uguale a n, dove n `e uguale al pi`u piccolo tra i numeri p e q.
• L’ottimista calcola i determinanti dei minori di ordine n. Possono succedere due cose:
– trova un minore con determinante diverso da 0. Il procedimento `e allora finito e non `e necessario calcolare i determinanti dei rimanenti minori di ordine n: il rango della matrice `e n;
– tutti i minori di ordine n hanno determinante nullo. Si procede.
• L’ottimista calcola allora i determinanti dei minori di ordine n − 1 e ripete quanto fatto per i minori di ordine n: se ce n’`e uno con determinante non nullo allora il rango `e n − 1 e il procedimento `e finito, altrimenti si procede esaminando i determinanti dei minori di ordine n − 2 e cos`ı via.
Il pessimista esamina invece innanzitutto i minori di ordine 1:
• Se la matrice A `e nulla il rango `e uguale a 0 e il procedimento `e finito.
Altrimenti il rango di A `e almeno 1 ed esamina i minori di ordine 2.
• Il pessimista calcola allora i determinanti dei minori di ordine 2. Possono succedere due cose:
– tutti i minori di ordine 2 hanno determinante nullo. Il procedimento `e finito e la matrice ha rango 1;
– trova un minore con determinante diverso da 0. Non `e necessario calcolare i determinanti dei rimanenti minori di ordine 2: il rango di A `e almeno 2 e procede al passo successivo;
• Il pessimista calcola ora i determinanti dei minori di ordine 3 e procede come prima: se sono tutti nulli si pu`o fermare e la matrice ha rango 2, se trova un minore con determinante non nullo passa ad esaminare i minori di ordine superiore e cos`ı via.
Esempio 7.10 Calcoliamo il rango della matrice:
A :=
2 1 1 3
2 1 2 3
4 2 3 6
8 4 6 12
,
utilizzando sia il metodo ottimista che il metodo pessimista.
7.2. Calcolo del rango
• Metodo ottimista. Vediamo se rk A = 4. L’unico minore di ordine 4 `e la matrice A stessa. Svolgendo i calcoli si nota che det A = 0. Quindi rk A < 4.
Calcolando i determinanti di tutti i minori di ordine 3 (sono ben 16) si trova che sono tutti nulli. Quindi rk A < 3.
Iniziamo a calcolare i determinanti dei minori di ordine 2. Quello formato dalle prime due righe e dalle prime due colonne di A:
2 1 2 1
ha (come `e facile vedere) determinante nullo. Consideriamo allora un altro minore di ordine 2. Prendiamo quello formato dalle prime due righe e dalla prima e terza colonna di A:
2 1 2 2
.
Questo minore ha determinante diverso 0. Possiamo fermarci: non `e necessario calcolare il determinante dei rimanenti minori di ordine 2 di A. Il rango di A `e 2.
• Metodo pessimista. Si ha ovviamente rk A ≥ 1, perch´e la matrice A `e non nulla. Iniziamo a calcolare i determinanti dei minori di ordine 2. Come nel metodo ottimista troviamo un minore con determinante non nullo. Dunque rk A ≥ 2 e non `e pi`u necessario calcolare i determinanti dei rimanenti minori di ordine 2. Passiamo a calcolare i determinanti dei minori di ordine 3: poich´e sono tutti nulli possiamo fermarci e affermare che rk A = 2. M Nell’esempio precedente il metodo pessimista `e risultato leggermente pi`u conve-niente perch´e ci ha permesso di evitare il calcolo del determinante della matrice A. Se per`o A avesse avuto determinante non nullo il metodo ottimista sarebbe stato pi`u conveniente: avremmo potuto affermare subito che rk A = 4 senza calcolare ulteriori determinanti.
In generale non c’`e un metodo a priori pi`u conveniente dell’altro: dipende caso per caso. Entrambi i metodi non sono per`o del tutto soddisfacenti, perch´e richiedono spesso molti calcoli: nell’esempio7.10`e stato necessario calcolare i determinanti di ben 16 matrici di ordine 3 sia utilizzando il metodo pessimista, sia utilizzando quello ottimista.
Per nostra fortuna c’`e una propriet`a che ci permette di evitare molti calcoli.
Per poter enunciare questa propriet`a dobbiamo spiegare cosa significhi orlare un minore di una matrice:
Definizione 7.11 Dato un minore B di ordine n di una matrice A, un minore C di A di ordine n + 1 `e detto orlato di B se B `e un minore di C. In altre parole, il minore C `e ottenuto dal minore B aggiungendo ad esso un’altra riga
e un’altra colonna di A. M
Esempio 7.12 Riprendiamo la matrice A dell’esempio7.10e consideriamo il minore B formato dalle prime due righe e dalla prima e terza colonna:
A :=
2 1 1 3
2 1 2 3
4 2 3 6
8 4 6 12
.
Geometria - versione 1 111
7. Rango di una matrice
Quali sono gli orlati di B? Per ottenere ciascuno di essi dobbiamo aggiungere una riga scelta tra la terza e la quarta (cio`e tra quelle che non concorrono a formare B) e una colonna scelta tra la seconda e la quarta. Ad esempio scegliendo la quarta riga e la quarta colonna:
Analogamente otteniamo gli altri orlati di B
Che utilit`a ha il concetto di orlato? Abbiamo il seguente teorema che non dimostriamo:
Teorema 7.13 (dell’orlare) Sia A una matrice e sia B un suo minore con determinante non nullo. Se tutti gli orlati di B hanno determinante nullo allora il rango della matrice A `e uguale all’ordine del minore B.
Il teorema dell’orlare permette di calcolare pi`u velocemente il rango di una matrice. Vediamolo con un esempio:
Esempio 7.14 Calcoliamo di nuovo il rango della matrice A dell’esempio7.10.
A :=
Troviamo subito un minore di ordine 1 con determinante non nullo: ad esempio quello formato dalla prima riga e dalla prima colonna. Passiamo ora a consi-derare i minori di ordine 2. Se non avessimo il teorema dell’orlare dovremmo considerare a uno a uno tutti questi minori fino eventualmente a trovarne uno con determinante non nullo. Grazie al teorema dell’orlare possiamo limitare la nostra analisi agli orlati del minore di ordine 1 fissato in precedenza. Con qualche calcolo troviamo un minore di ordine 2 con determinante non nullo, ad esempio quello evidenziato che chiamiamo B:
Sappiamo allora che il rango di A `e almeno 2. Possiamo ora considerare i minori di ordine 3. Invece di calcolare i minori di tutti i 16 minori di ordine 3, possiamo
7.2. Calcolo del rango
limitarci a considerare solo gli orlati di B che sono 4. Facendo i calcoli vediamo che hanno tutti determinante nullo: possiamo fermarci e affermare che rk A = 2:
non `e necessario calcolare i determinanti degli altri minori di ordine 3. M Dunque, utilizzando il teorema dell’orlare per il calcolo del rango di una matrice non nulla A, ci conviene partire da un minore B1di ordine 1 non nullo, quindi con determinante non nullo. Lo orliamo in tutti i modi possibili. Se tutti questi minori hanno determinante 0, allora rk A = 1. Altrimenti, non appena troviamo un minore B2 con determinante diverso da 0, passiamo a considerare gli orlati di B2. E cos`ı via.
Esempio 7.15 Calcoliamo il rango della matrice:
A :=
Consideriamo il minore B1 formato dalla prima riga e dalla prima colonna.
Ovviamente il suo determinante `e diverso da 0. Consideriamo ora gli orlati di B1. Cominciamo a orlare B1 con la seconda riga e la seconda colonna di A:
Questo minore ha determinante nullo: dobbiamo proseguire. Orliamo B1 con la seconda riga e la terza colonna:
Anche il minore cos`ı ottenuto ha determinante nullo. Lo stesso succede se orliamo A1 con la seconda riga e la quarta colonna, con la terza riga e la seconda colonna, con la terza riga e la terza colonna. Rimane solo un orlato di A1da considerare, quello ottenuto orlando A1 con la terza riga e la quarta colonna:
Questo minore (che chiameremo B2) ha determinante non nullo: il rango di A
`e almeno 2 e dobbiamo passare a considerare gli orlati di B2. Se orliamo B2
con la seconda riga e la seconda colonna:
otteniamo un minore che ha determinante uguale a 0. Dobbiamo allora con-siderare un altro orlato di B2. Orliamo B2 con la seconda riga e la terza colonna:
Geometria - versione 1 113
7. Rango di una matrice
Anche questo orlato ha determinante nullo. Poich´e B2 non ha altri orlati,
possiamo concludere che rk A = 2. M
Nota 7.16 Quando si utilizza il teorema dell’orlare `e importante ricordare
che il minore da orlare deve avere determinante diverso da 0. Prendere gli orlati di un minore con determinante nullo pu`o condurre a errori nel calcolo del
determinante. M
Esercizio di base 7.17 Consideriamo la matrice:
A := Abbiamo gi`a calcolato il rango di questa matrice nell’esempio7.8. Calcolarlo di nuovo sfruttando il teorema dell’orlare.
7.3 Soluzioni degli esercizi di base
EB.7.3 I minori ottenuti scegliendo la seconda e la terza riga sono:
2 0
EB.7.6 Se A = 0 allora tutti i minori di qualsiasi ordine estratti da A sono nulli e hanno quindi determinante nullo: dunque A ha rango 0. Viceversa, se A ha rango 0, tutti i minori estratti da A hanno determinante nullo: in particolare ci`o `e vero per i minori di ordine 1. Poich´e il determinante di una matrice di ordine 1 `e uguale all’unico elemento della matrice si ha che tutti i minori di ordine 1 sono nulli, cio`e tutti gli elementi di A sono nulli.
EB.7.7 I minori ditA sono, ovviamente, tutte e sole le matrici trasposte dei minori di A. Poich´e una matrice quadrata e la sua trasposta hanno lo stesso determinante, si trova facilmente il risultato voluto.
EB.7.17 Dobbiamo determinare il rango della matrice:
A :=
Il minore B1 formato dalla prima riga e dalla prima colonna `e invertibile. Quindi rk A ≥ 1. Calcoliamo il determinante degli orlati di B1: troviamo subito che orlando B1con la seconda riga e la seconda colonna otteniamo un minore B2con determinante non nullo:
Consideriamo gli orlati di B2. Se orliamo B2 con la terza riga e la terza colonna:
7.4. Sunto
otteniamo un minore con determinante nullo. Dobbiamo quindi considerare un altro orlato di B2. Se orliamo B2 con la terza riga e la quarta colonna:
1 2 3 4
2 0 1 2
3 2 4 6
,
otteniamo un altro minore con determinante nullo. Poich´e B2 non ha altri minori, possiamo dire che rk A = 2.
7.4 Sunto
Rango di una matrice
Definizione Sia A una matrice di tipo (p, q). Sia n un numero intero positivo tale che n ≤ p e n ≤ q. Un minore di ordine n di A `e una matrice che si ottiene scegliendo n righe e n colonne di A e prendendo gli elementi di A che si trovano sia sulle righe che sulle colonne scelte. M In generale una matrice A ha pi`u di un minore di ordine n: per questo abbiamo detto un minore di ordine n e non il minore di ordine n.
Definizione Una matrice A ha rango (o caratteristica) uguale a n se:
1. esiste almeno un minore di A di ordine n con determinante diverso da 0;
2. tutti i minori di A di ordine maggiore di n hanno determinante nullo.
Se tutti i minori di A hanno determinante nullo diciamo che A ha rango uguale
a 0. M
Osservazione Una matrice ha rango 0 se e solo se `e la matrice nulla. M
Propriet`a del rango
Osservazione Per ogni matrice A si ha rk A = rktA. M Proposizione Se una matrice A ha almeno un minore di ordine n con deter-minante non nullo e tutti i minori di ordine n + 1 hanno deterdeter-minante nullo, allora rk A = n.
Definizione Dato un minore B di ordine n di una matrice A, un minore C di A di ordine n + 1 `e detto orlato di B se B `e un minore di C. In altre parole, il minore C `e ottenuto dal minore B aggiungendo ad esso un’altra riga e un’altra
colonna di A. M
Teorema (dell’orlare) Sia A una matrice e sia B un suo minore con deter-minante non nullo. Se tutti gli orlati di B hanno deterdeter-minante nullo allora il rango della matrice A `e uguale all’ordine del minore B.
Geometria - versione 1 115
7. Rango di una matrice
7.5 Esercizi
E.7.1 Calcolare il rango delle matrici:
A :=2 1
E.7.2 Calcolare il rango delle matrici:
A :=
E.7.3 Calcolare il rango della matrice:
A :=
E.7.4 Calcolare il rango della matrice:
A :=
E.7.5 Calcolare il rango delle matrici diagonali:
A :=
E.7.6 Calcolare il rango delle matrici diagonali:
A :=
E.7.7 Calcolare il rango delle matrici triangolari:
A :=
7.6. Soluzioni degli esercizi
E.7.8 Calcolare il rango delle matrici triangolari:
A :=
E.7.9 Calcolare il rango della matrice triangolare:
A :=
E.7.10 Calcolare il rango della matrice:
A :=
E.7.11 Siano date le matrici:
A :=
b. Dato un minore di A di ordine 3 quanti sono i suoi minori orlati? Rispondere alla stessa domanda per un minore di ordine 3 di B.
c. Quanti sono i minori di ordine 4 di A? E quanti sono i minori di ordine 4 di B?
E.7.12 Sia data una matrice A ∈ M(p, q, R) e un minore M di A di ordine s.
Quanti sono gli orlati di M ?
7.6 Soluzioni degli esercizi
E.7.1 Si ha:
rk A = 2, rk B = 2, rk C = 1, rk D = 1.
E.7.2 Si ha:
rk A = 1, rk B = 2, rk C = 2.
E.7.3 Il minore B formato dalle prime due righe e due colonne ha determinante non nullo. Quindi rk A ≥ 2. I tre minori ottenuti orlando B hanno tutti determinante nullo. quindi rk A = 2.
E.7.4 Il rango della matrice A `e uguale a 2.
Geometria - versione 1 117
7. Rango di una matrice
E.7.5 Si ha:
rk A = 3, rk B = 2, rk C = 1.
Notare che, in tutti e tre i casi, il rango delle matrici diagonali A, B e C `e uguale al numero di elementi non nulli della diagonale principale.
E.7.6 Si ha:
rk A = 4, rk B = 3, rk C = 2, rk D = 1.
Anche in questo caso il rango delle matrici diagonali A, B, C e D `e uguale al numero di elementi non nulli della diagonale principale.
E.7.7 Si ha:
rk A = 3, rk B = 2, rk C = 2,
rk D = 2, rk E = 2, rk F = 1.
Notare che, nel caso di matrici triangolari, il rango di una matrice non `e necessariamente uguale al numero di elementi non nulli della diagonale principale.
E.7.8 Si ha:
rk A = 3, rk B = 3.
E.7.9 Il rango della matrice A `e uguale a 4.
E.7.10 Il rango della matrice `e uguale a 3.
E.7.11
a. Calcoliamo il rango di A utilizzando il teorema dell’orlare. Determiniamo allora un minore di ordine 1 di A con determinante non nullo (ad esempio quello formato dalla prima riga e prima colonna) e calcoliamo i determinanti dei suoi minori orlati finch´e ne troviamo uno con determinante diverso da 0, ad esempio quello evidenziato:
A :=
Calcoliamo ora i determinanti dei minori orlati del minore evidenziato M2 finch´e ne troviamo uno con determinante diverso da 0. Si ha
(questi sono gli orlati ottenuti utilizzando la terza riga e una della colonne). Orlando poi con la quarta riga e la terza colonna troviamo invece:
A questo punto non `e pi`u necessario calcolare i determinanti degli altri orlati di M2. Chiamiamo M3 il minore cos`ı determinato e calcoliamo i determinanti dei suoi orlati.
Il minore M3 ha 4 orlati, calcolandone i determinanti, troviamo:
7.6. Soluzioni degli esercizi
Dunque si ha rk A = 3.
Calcoliamo ora il rango di B. Determiniamo allora un minore di ordine 1 di A con determinante non nullo (ad esempio quello formato dalla prima riga e prima colonna) e calcoliamo i determinanti dei suoi minori orlati finch´e ne troviamo uno con determinante diverso da 0, ad esempio quello evidenziato:
B :=
Calcoliamo ora i determinanti dei minori orlati del minore evidenziato N2finch´e ne troviamo uno con determinante diverso da 0. Si ha
(questi sono gli orlati ottenuti utilizzando la terza riga e una della colonne). Orlando poi con la quarta riga e la terza colonna troviamo invece:
A questo punto non `e pi`u necessario calcolare i determinanti degli altri orlati di N2. Chiamiamo N3 il minore cos`ı determinato e calcoliamo i determinanti dei suoi orlati.
Si vede che N3 ha 6 orlati e questi hanno tutti hanno determinante nullo e quindi si ha rk B = 3.
Si sarebbe potuto osservare che la prima e la terza riga di B sono uguali e, quindi, tutti i minori che coinvolgono tali righe hanno, necessariamente, determinante nullo, grazie alla proposizione5.13. Si pu`o infatti dimostrare in generale che una matrice quadrata con due righe uguali (o due colonne uguali) ha determinante nullo.
b. Per orlare un minore dobbiamo aggiungervi una riga tra quelle che non sono coinvolte nel minore e una colonna tra quelle che non sono coinvolte nel minore.
Se dobbiamo allora orlare un minore di ordine 3 di A possiamo scegliere la riga da aggiungere in 2 modi e la colonna da aggiungere in 2 modi. Dunque il minore ha 4 = 2 · 2 orlati. Se invece dobbiamo orlare un minore di ordine 3 di B possiamo scegliere la riga da aggiungere in 2 modi e la colonna da aggiungere in 3 modi. Dunque il minore ha 6 = 2 · 3 orlati.
c. Per determinare un minore di ordine 4 di A dobbiamo scegliere 4 righe e 4 colonne di A. Scegliere 4 righe di A `e lo stesso che cancellare una riga di A: possiamo operare questa scelta in 5 modi diversi. Analogamente possiamo scegliere 4 colonne di A in 5 modi diversi. Dunque A ha 25 = 5 · 5 minori di ordine 4.
Per determinare un minore di ordine 4 di B dobbiamo scegliere 4 righe e 4 colonne di B. Come per A posso scegliere le 4 righe in 5 modi differenti. Scegliere invece 4 colonne di B `e lo stesso che cancellare 2 colonne. Posso allora scegliere la prima colonna da cancellare in 6 modi differenti, la seconda colonna da cancellare andr`a scelta tra le rimanenti 5 colonne e quindi posso operare 5 differenti scelte. In tutto ho 30 = 6 · 5 scelte, ma occorre notare che a due a due queste scelte sono uguali:
per esempio, cancellare prima la terza colonna e poi la quinta `e ovviamente uguale a cancellare prima la quinta colonna e poi la terza. Dunque posso scegliere le due colonne da cancellare in 15 = 302 modi diversi. Riassumendo possiamo scegliere le 4 righe in 5 modi diversi e le 4 colonne in 15 modi diversi: in tutto ho 75 = 15 · 5 minori di ordine 4.
Geometria - versione 1 119
7. Rango di una matrice
Notiamo che, per calcolare il rango della matrice A, grazie al teorema dell’orlare abbiamo calcolato i determinanti di 4 minori di ordine 4. Se non avessimo usato il teorema dell’orlare avremmo dovuto calcolare i determinanti di tutti e 25 i minori di ordine 4. Analoga osservazione vale per B.
E.7.12 Per orlare M dobbiamo aggiungere una riga e una colonna di A scelte tra quelle non coinvolte in M . Le righe di A non coinvolte in M sono p − s, le colonne di A non coinvolte in M sono q − s. Dunque M ha (p − s)(q − s) orlati.