Sistemi di equazioni lineari
8.3 Procedimento di Rouch´ e-Capelli
contenuti in A: dobbiamo cio`e orlare B sempre con la colonna dei termini noti.
Orlando B con la terza riga e la quinta colonna otteniamo:
1 1 −1 1 1
2 1 −3 2 0
3 2 −4 3 1
5 3 −7 5 3
.
Svolgendo i calcoli vediamo che il minore cos`ı ottenuto ha determinante nullo.
Orliamo allora B con la quarta riga e la quinta colonna:
1 1 −1 1 1
2 1 −3 2 0
3 2 −4 3 1
5 3 −7 5 3
.
Facendo i calcoli vediamo che il minore cos`ı ottenuto ha determinante diverso da 0. Dovremmo allora proseguire con il calcolo del rango di A0 ma non
`e necessario: abbiamo mostrato infatti che il rango di A0 `e almeno 3, cio`e rk A 6= rk A0. Pertanto il sistema non `e risolubile. M Osservazione 8.10 Nell’esempio 8.9 non abbiamo calcolato il rango della matrice completa del sistema ma ci siamo limitati a constatare che questo rango era maggiore del rango della matrice del sistema e, pertanto, il sistema non era risolubile. Si potrebbe dimostrare facilmente (ma noi non lo faremo) che se A e A0 sono rispettivamente la matrice e la matrice completa di un sistema allora il rango di A0 o `e uguale a rk A o `e uguale a 1 + rk A. M
8.3 Procedimento di Rouch´ e-Capelli
Nel paragrafo precedente abbiamo visto che il teorema di Rouch´e-Capelli ci permette di stabilire se un sistema lineare `e risolubile oppure no, ma non siamo ancora in grado di determinare esplicitamente tutte le soluzioni di un sistema risolubile. Diamo allora, senza dimostrazione, il:
Teorema 8.11 Sia S un sistema lineare risolubile, e siano A e A0 rispettiva-mente la matrice dei coefficienti di S e la matrice completa di S. Sia n il rango di A (e anche di A0, dato che S `e risolubile) e sia B un minore invertibile di A di ordine n. Allora il sistema S `e equivalente al sistema ridotto SR che si ottiene considerando solo le n equazioni di S corrispondenti alle righe di B.
Dunque:
Sol(S) = Sol(SR).
Il teorema8.11ci dice che, scelte in modo opportuno n equazioni di S, le altre sono conseguenza di queste n.
Qualche esempio pu`o aiutare a chiarire meglio:
Esempio 8.12 Riprendiamo il sistema S dell’esempio8.7:
S :
2x + 3y − 2z − 3w = 1 4x + 6y + z + w = 2 6x + 9y − z − 2w = 3
Geometria - versione 1 127
8. Sistemi di equazioni lineari
Abbiamo visto che S `e risolubile, che la sua matrice dei coefficienti A ha rango 2 e che un minore di ordine 2 con determinante non nullo `e, ad esempio, il minore B formato dalla prima e seconda riga e dalla prima e terza colonna:
2 3 −2 −3
4 6 1 1
6 9 −1 −2
.
Per formare B abbiamo utilizzato la prima e seconda riga di A: dunque S `e equivalente al sistema ridotto:
SR :
(2x + 3y − 2z − 3w = 1 4x + 6y + z + w = 2 formato dalla prima e seconda equazione di S.
Bene, essere passati da un sistema risolubile a un sistema ridotto ad esso equivalente ha semplificato un po’ le cose ma ancora non si vede come sia possibile trovare le soluzioni del sistema. Notiamo che la matrice dei coefficienti del sistema ridotto SR `e:
A :=¯
2 3 −2 −3
4 6 1 1
.
Abbiamo evidenziato il minore B di ordine 2 con determinante diverso da 0 gi`a trovato in precedenza. Proviamo ora a riscrivere il sistema SR nel modo seguente:
(2x − 2z = 1 − 3y + 3w 4x + z = 2 − 6y − w
Non abbiamo fatto altro che portare a secondo membro le incognite y e w i cui coefficienti non concorrono a formare il minore B. Se osserviamo il sistema scritto in questo modo e dimentichiamo per un istante ci`o che c’`e a secondo membro, potrebbe sembrare un sistema lineare di due equazioni nelle due incognite x e z la cui matrice dei coefficienti `e il minore B, dunque invertibile.
Sembra quindi un sistema Crameriano ma non lo `e, perch´e a secondo membro non abbiamo dei termini noti ma delle incognite. Assegnando ora a y e w dei valori arbitrari, ad esempio ponendo y = 1 e w = −2, otteniamo il sistema:
(2x − 2z = −8 4x + z = −2
Questo `e un sistema Crameriano in x e z, la cui unica soluzione `e (svolgendo i calcoli) x = −65, z = 145. Abbiamo dunque trovato una soluzione del sistema ridotto SR e quindi anche del sistema S, precisamente:
x = −6 5 y = 1 z = 14
5 w = −2
8.3. Procedimento di Rouch´e-Capelli
Volendo potremmo verificare che effettivamente questi valori risolvono il sistema, sostituendoli nelle equazioni di S:
S :
Abbiamo ottenuto delle identit`a e quindi la soluzione trovata `e corretta. Po-trebbero per`o esserci altre soluzioni. Se infatti assegniamo a y e w altri valori arbitrari, troviamo un sistema Crameriano in x e z dalla cui soluzione otteniamo una soluzione per il sistema SR. `E chiaro che non possiamo sostituire a uno a uno tutti i valori possibili (sono infiniti), per`o possiamo trattare y e w come fossero dei parametri e risolvere il sistema in x e w cos`ı ottenuto. Se poniamo allora y = h e w = k otteniamo il sistema:
(2x − 2z = 1 − 3h + 3k 4x + z = 2 − 6h − k
Risolvendo questo sistema con la regola di Cramer troviamo:
x =
Le soluzioni del sistema SR e, quindi di S, sono date da:
al variare di h e k in R. Abbiamo finalmente risolto il nostro sistema.
Ogni qual volta si determinano le soluzioni di un sistema `e buona norma controllare se si `e fatto qualche errore di calcolo. Possiamo verificare che le soluzioni cos`ı trovate sono corrette sostituendo le espressioni trovate nelle equazioni del sistema S. Sostituendo ad esempio nella prima equazione di S troviamo:
Abbiamo quindi un’identit`a. Con analoghi calcoli possiamo verificare che le soluzioni trovate soddisfano anche le altre equazioni. M
Geometria - versione 1 129
8. Sistemi di equazioni lineari
Osservazione 8.13 Nell’esempio precedente abbiamo verificato che le soluzio-ni trovate soddisfacessero effettivamente le equaziosoluzio-ni del sistema. Questo `e solitamente un buon metodo per verificare di non aver fatto errori concettuali o di calcolo: se infatti una delle equazioni non fosse stata verificata, potevamo affermare che da qualche parte avevamo fatto un errore e cercare un errore.
Se per`o la verifica va a buon fine ci`o non significa che sicuramente abbiamo risolto correttamente il sistema. Se, ad esempio, avessimo trovato come soluzioni del sistema S:
x = −3 2h y = h z = 7 w = −5
al variare di h in R, avremmo potuto verificare facilmente che sostituendo queste espressioni nelle equazioni del sistema S si ottengono delle identit`a. Questo per`o non `e sufficiente ad assicurarci di non avere fatto errori: infatti sappiamo che ci sono anche altre soluzioni oltre a quelle che stiamo considerando, ad esempio le soluzioni per cui si ha z 6= 7.
In effetti sostituendo le soluzioni che abbiamo trovato nelle equazioni del sistema, verifichiamo solo che quelle che abbiamo trovato siano effettivamente soluzioni, ma non stiamo verificando che siano tutte le soluzioni. Tuttavia questo tipo di verifica, anche se non pu`o garantire di avere risolto correttamente il sistema, `e comunque utile perch´e permette spesso di individuare la presenza di errori. Questa verifica perde ovviamente senso se arriviamo a stabilire che un certo sistema non `e risolubile: in tal caso infatti, non determiniamo nessuna soluzione che pu`o essere sostituita nelle equazioni. M Ci rendiamo conto facilmente che il procedimento risolutivo utilizzato nell’e-sempio8.12pu`o essere generalizzato a un qualsiasi sistema. Vediamo qualche altro esempio per chiarirci le idee:
Esempio 8.14 Consideriamo il sistema:
S :
x1+ x2− x3+ x4= 1 2x1+ x2− 3x3+ 2x4= 0 3x1+ 2x2− 4x3+ 3x4= 1 5x1+ 3x2− 7x3+ 5x4= 1
Notiamo che questo sistema differisce dal sistema dato nell’esempio8.9solo per il termine noto dell’ultima equazione. In particolare sappiamo che la matrice A dei coefficienti ha rango 2 e che un minore di A di ordine 2 con determinante non nullo `e, ad esempio, il minore B evidenziato:
1 1 −1 1 2 1 −3 2 3 2 −4 3 5 3 −7 5
.
Svolgendo i calcoli si vede che anche la matrice completa del sistema ha rango 2 e, pertanto, il sistema `e risolubile (come al solito, per calcolare il rango della
8.3. Procedimento di Rouch´e-Capelli
matrice completa del sistema `e sufficiente considerare gli orlati di B con ogni possibile riga e con la colonna dei termini noti). Poich´e per formare il minore B abbiamo utilizzato le prime due righe di A, possiamo dire che il sistema S `e equivalente al sistema SR formato dalle prime due equazioni di S:
SR :
( x1+ x2− x3+ x4= 1 2x1+ x2− 3x3+ 2x4= 0
Per formare il minore B abbiamo utilizzato le prime due colonne di A, cio`e quelle corrispondenti ai coefficienti di x1 e x2. Portiamo allora a secondo membro le altre incognite, cio`e x3 e x4:
( x1+ x2= 1 + x3− x4
2x1+ x2= 3x3− 2x4
Ora poniamo x3= h e x4= k e otteniamo il sistema:
( x1+ x2= 1 + h − k 2x1+ x2= 3h − 2k
Risolvendo questo sistema in x1 e x2con la regola di Cramer troviamo:
(x1= −1 + 2h − k x2= 2 −h
Le soluzioni del sistema SR e, quindi di S, sono date da:
x1= −1 + 2h − k x2= 2 − h
x3= h
x4= k
al variare di h e k in R. M
Esempio 8.15 Vogliamo determinare le eventuali soluzioni del sistema:
S :
2x + 2y + 4z = 2 x + y + 2z = 1 x + y + z = 3
Calcoliamo la matrice A dei coefficienti di S e la matrice completa A0 del sistema. Abbiamo:
A :=
2 2 4 1 1 2 1 1 1
e A0:=
2 2 4 2
1 1 2 1
1 1 1 3
.
Svolgendo i calcoli si nota che si ha:
rk A = rk A0 = 2.
Geometria - versione 1 131
8. Sistemi di equazioni lineari
Il sistema ammette quindi soluzioni. Un minore invertibile di A di ordine 2 `e il minore:
B :=2 4 1 1
formato dalla prima e terza riga di A e dalla prima e terza colonna di A.
Consideriamo il sistema ridotto formato dalle equazioni che servono a formare il minore B:
SR :
(2x + 2y + 4z = 2 x + y + z = 3
Portiamo a secondo membro l’incognita i cui coefficienti non concorrono a formare il minore B (cio`e y) e poniamo tale incognita uguale a un parametro reale h:
(2x + 4z = 2 − 2h x + z = 3 − h
Ora risolviamo il sistema Crameriano in x e z cos`ı ottenuto:
(x = 5 − h z = −2
Le soluzioni del sistema SR e, quindi di S, sono date da:
x = 5 − h y = h z = −2
al variare di h in R. M
Notiamo che il metodo di Rouch´e-Capelli si basa sulla scelta di un minore invertibile di ordine uguale al rango della matrice del sistema. In generale di minori di tal tipo ve ne `e pi`u di uno.
Esercizio di base 8.16 Risolvere il sistema dell’esempio8.15 utilizzando il minore invertibile C di A formato dalle ultime due righe e ultime due colonne.
Se avete risolto l’esercizio di base8.16avrete trovato le soluzioni:
x = h y = 5 − h z = −2
al variare di h in R. Queste soluzioni sembrano diverse da quelle determinate nell’esempio8.15. In effetti non `e cos`ı.
Esercizio di base 8.17 Spiegare perch´e non vi `e contraddizione.
In generale, dunque, le soluzioni di un medesimo sistema possono essere espresse per mezzo di parametrizzazioni alquanto diverse. Quello che senz’altro non cambia `e il numero di parametri. Notiamo infatti che teniamo a primo membro un numero di incognite uguale al rango della matrice del sistema mentre le altre incognite vengono trattate come parametri e portate a secondo membro: dunque il numero di parametri `e dato dalla differenza tra il numero delle incognite e il rango della matrice del sistema. Pi`u precisamente:
8.3. Procedimento di Rouch´e-Capelli
Osservazione 8.18 Sia S un sistema risolubile di p equazioni in q incognite.
Sia n il rango della matrice del sistema. Allora le soluzioni di S dipendono da
q − n parametri. M
Esercizio di base8.19 Sia S un sistema risolubile di p equazioni in q inco-gnite. Sia n il rango della matrice del sistema. Cosa significa che n = p? Cosa significa che n = q?
Esempio 8.20 Vogliamo determinare le eventuali soluzioni del sistema:
S :
2x − 2y = 4 x + y = 1 x − 3y = 3
Consideriamo la matrice A dei coefficienti di S e la matrice completa A0 del sistema. Abbiamo:
A :=
2 −2
1 1
1 −3
e A0:=
2 −2 4
1 1 1
1 −3 3
. Svolgendo i calcoli si nota che si ha:
rk A = rk A0 = 2.
Il sistema ammette quindi soluzioni. Poich´e il rango della matrice del sistema `e uguale al numero delle incognite possiamo affermare che il sistema ha un’unica soluzione. Un minore invertibile di A di ordine 2 `e il minore:
B :=2 −2
1 1
formato dalle prime due righe (e da entrambe le colonne) di A. Consideriamo il sistema ridotto formato dalle equazioni che servono a formare il minore B:
SR :
(2x − 2y = 4 x + y = 1
Questo `e un sistema Crameriano: non dobbiamo portare a secondo membro alcuna incognita. Possiamo risolvere il sistema con la regola di Cramer e trovare l’unica soluzione di S:
x = 3
2 y = −1
2 M
Esercizio di base8.21 Determinare le eventuali soluzioni del sistema:
S :
x2+ x3+ x4= 1 x1+ 2x2+ x3+ x4= 1
−x1+ 2x2+ 2x3+ 2x4= 1
5x2+ 4x3+ 4x4= 3 M
Geometria - versione 1 133
8. Sistemi di equazioni lineari
Esempio 8.22 Vogliamo determinare le eventuali soluzioni del sistema:
S : Consideriamo la matrice dei coefficienti del sistema
A :=
Vediamo che il minore B2 formato dalle prime due righe e dalla seconda e terza colonna ha determinante diverso da 0.
Dobbiamo ora considerare gli orlati di B fino a che eventualmente ne troviamo uno con determinante non nullo. Facendo i calcoli (sono 6 orlati) vediamo che hanno tutti determinante 0, dunque A ha rango 2. Consideriamo ora la matrice completa del sistema:
Per calcolare il rango di A0 consideriamo gli orlati di B con la colonna dei termini noti e con ogni possibile riga e ne calcoliamo i determinanti fino a che eventualmente ne troviamo uno con determinante non nullo, nel qual caso il sistema non sarebbe risolubile. Nel nostro caso invece tutti questi orlati (sono 2) hanno determinante nullo: pertanto A0 ha rango 2 e il sistema `e risolubile.
Poich´e per formare il minore B abbiamo utilizzato le prime due righe di A, possiamo dire che il sistema S `e equivalente al sistema SR formato dalle prime due equazioni di S:
SR :
( x1+ x2+ x3+ 2x4 = 5 2x1+ 2x2+ x3+ 3x4+ x5= 7
Per formare il minore B abbiamo utilizzato la prima e terza colonna di A, cio`e quelle corrispondenti ai coefficienti di x1 e x3. Portiamo allora a secondo membro le altre incognite, cio`e x2, x4 e x5:
( x1+ x3= 5 − x2− 2x4
2x1+ x3= 7 − 2x2− 3x4− x5
8.4. Soluzioni degli esercizi di base
Ora poniamo x2= h1, x4= h2 e x5= h3 e otteniamo il sistema:
( x1+ x3= 5 − h1− 2h2
2x1+ x3= 7 − 2h1− 3h2− h3
Risolvendo questo sistema Crameriano in x1 e x2 troviamo:
(x1= 2 − h1− h2− h3 x3= 3 − h2+ h3
Le soluzioni del sistema SR e, quindi di S, sono date da:
x1= 2 − h1− h2− h3
x2= h1
x3= 3 − h2+ h3
x4= h2
x5= h3
al variare di h1, h2 e h3 in R. M
8.4 Soluzioni degli esercizi di base
EB.8.8 Sia r il rango di A: allora A possiede almeno un minore di ordine r con determinante non nullo. Sia B un tal minore. Ovviamente B `e un minore anche di A0 che ha, pertanto, rango almeno r.
EB.8.16 Il sistema S `e equivalente al sistema ridotto formato dalla seconda e terza equazione di S
SR :
(x + y + 2z = 1 x + y + z = 3
Portiamo a secondo membro l’incognita i cui coefficienti non concorrono a formare il minore C (cio`e x) e poniamo tale incognita uguale a un parametro reale h:
(y + 2z = 1 − h y + z = 3 − h
Ora risolviamo il sistema Crameriano in y e z cos`ı ottenuto:
(y = 5 − h z = −2
Le soluzioni del sistema SR e, quindi di S, sono date da:
x = h y = 5 − h z = −2 al variare di h in R.
Geometria - versione 1 135
8. Sistemi di equazioni lineari
EB.8.17 Scegliendo un minore abbiamo determinato le soluzioni:
Scegliendo un altro minore abbiamo determinato le soluzioni:
Se nella seconda forma cambiamo il nome al parametro otteniamo:
Ponendo in quest’ultime k = 5 − h, otteniamo le soluzioni determinate con il primo metodo. Non vi `e quindi alcuna contraddizione.
EB.8.19 Se n = p, quando consideriamo il sistema ridotto dobbiamo prendere n equazioni, quindi tutte le equazioni di S. Pertanto tutte le equazioni di S sono necessarie e nessuna `e conseguenza delle altre.
Se n = q quando consideriamo il sistema ridotto abbiamo un sistema di n equazioni in q incognite (quindi in questo caso con un numero di equazioni e di incognite uguali) e la matrice del sistema ridotto contiene un minore di ordine n invertibile (dunque la matrice del sistema ridotto `e essa stessa invertibile). Il sistema ridotto `e pertanto Crameriano. Ci`o significa che il sistema S ha un’unica soluzione.
EB.8.21 Abbiamo il sistema:
S :
Vediamo innanzitutto se il sistema ha soluzioni. Per il teorema di Rouch´e-Capelli dobbiamo calcolare i ranghi della matrice A dei coefficienti e della matrice completa A0. Abbiamo:
Calcoliamo innanzitutto il rango della matrice A. Notiamo che il minore B2 di A ottenuto scegliendo le prime due righe e le prime due colonne `e invertibile:
8.4. Soluzioni degli esercizi di base
Dunque rk A ≥ 2. Dobbiamo considerare gli orlati i B. Iniziamo a orlare B2 con la terza riga e la terza colonna di A:
Il minore B3 cos`ı ottenuto ha determinante diverso da 0. Otteniamo un minore C invertibile. non `e necessario calcolare il determinante degli altri orlati di B2. Sappiamo quindi che rk A ≥ 3. Dobbiamo ora orlare B3. L’unico orlato di B3`e la matrice A stessa. Svolgendo i calcoli si verifica che il determinante di A `e uguale a 0. Quindi rk A = 3. Calcoliamo ora il rango della matrice A0. Come al solito, non partiamo da zero ma consideriamo il minore B3 con determinante non nullo e ne prendiamo gli orlati in A0 che non stanno in A, cio`e orliamo B3 con la colonna dei termini noti. Si ottiene cos`ı un unico possibile minore:
Facendo i calcoli si vede che il minore cos`ı ottenuto ha determinante nullo. Dunque rk A0= 3, e il sistema ha soluzioni.
Sappiamo che possiamo eliminare le equazioni che non servono a formare il minore B3. Otteniamo il sistema ridotto:
SR : equivalente al sistema S.
Portiamo adesso a secondo membro le incognite i cui coefficienti non concorrono a formare il minore B3 (in questo caso dunque dobbiamo portare a secondo membro solo x4):
Assegniamo ora a x4 il valore di un parametro h:
e risolviamo il sistema Crameriano parametrico in x1, x2 e x3 cos`ı ottenuto. Facendo i calcoli si ottiene:
Geometria - versione 1 137
8. Sistemi di equazioni lineari
8.5 Sunto
Definizioni
Sia dato un sistema di p equazioni lineari a coefficienti reali in q incognite:
S : vengono dette rispettivamente matrice dei coefficienti del sistema e ma-trice completa del sistema. Le matrici:
B :=
vengono dette rispettivamente matrice colonna dei termini noti e matrice colonna delle incognite.
Una soluzione del sistema S `e una q-upla di numeri reali (¯x1, ¯x2, . . . , ¯xq) che, sostituiti nelle equazioni del sistema alle incognite (x1, x2, . . . , xq), danno delle identit`a. Indichiamo con il simbolo Sol(S) l’insieme delle soluzioni del sistema S. Quindi Sol(S) ⊆ Rq.
Un sistema si dice risolubile se `e dotato di soluzioni.
Il sistema S pu`o essere scritto nella forma:
AX = B.
In tal caso di solito si preferisce indicare le soluzioni sotto forma di matrici a una colonna. L’insieme delle eventuali soluzioni viene quindi considerato come un sottoinsieme di M(q, 1, R).
Teorema di Rouch´e-Capelli
Teorema (Rouch´e-Capelli) Sia S un sistema lineare. Sia A la matrice dei coefficienti del sistema S e sia A0 la matrice completa del sistema.
Il sistema S `e risolubile se e solo se rk A = rk A0. Procedimento di Rouch´e-Capelli
Teorema Sia S un sistema lineare risolubile, e siano A e A0 rispettivamente la matrice dei coefficienti di S e la matrice completa di S. Sia n il rango di
8.5. Sunto
A (e anche di A0, dato che S `e risolubile) e sia B un minore invertibile di A di ordine n. Allora il sistema S `e equivalente al sistema ridotto SR che si ottiene considerando solo le n equazioni di S corrispondenti alle righe di B.
Dunque:
Sol(S) = Sol(SR).
Diamo ora un procedimento per la risoluzione di un sistema lineare S di p equazioni in q incognite. Sia A la matrice del sistema S e sia A0 la matrice completa del sistema.
1. Calcoliamo il rango della matrice A (sia n questo rango) e scegliamo un minore B di A di ordine n con determinante non nullo;
2. calcoliamo il rango della matrice A0: per far questo basta calcolare i deter-minanti degli orlati di B con l’ultima colonna di A0 (cio`e con la colonna dei termini noti) e con tutte le possibili righe:
• se anche uno solo degli orlati cos`ı determinati ha determinante non nullo, il rango di A0`e diverso dal rango di A (`e anzi esattamente uguale a 1 + rk A): il sistema non `e risolubile e ci fermiamo;
• se tutti gli orlati cos`ı determinati hanno determinante nullo allora rk A = rk A0 e per il teorema di Rouch´e-Capelli il sistema `e risolubile: possiamo passare al punto successivo;
3. consideriamo il sistema ridotto SR formato dalle n equazioni i cui coefficienti concorrono a formare il minore B. Il sistema ridotto SR `e equivalente al sistema S;
4. portiamo a secondo membro (nel sistema SR) le q − n incognite i cui coefficienti non concorrono a formare il minore B;
5. poniamo le incognite portate a secondo membro uguali a dei parametri h1, h2, . . . , hq−n (ovviamente se q = n a secondo membro non c’`e alcuna incognita e quindi non occorre assegnare alcun parametro);
6. risolviamo il sistema parametrico Crameriano (di matrice B) nelle incognite rimaste a primo membro: otteniamo queste incognite in funzione dei parametri h1, h2, . . . , hq−ne possiamo cos`ı scrivere le soluzioni del sistema S combinando le espressioni cos`ı ottenute con le assegnazioni dei parametri fatte al punto precedente.
Il procedimento precedente dipende dal minore B che scegliamo. Cambiando B otterremo ovviamente le stesse soluzioni ma parametrizzate in forma diversa.
Osservazione Sia S un sistema risolubile di p equazioni in q incognite. Sia n il rango della matrice del sistema. Allora le soluzioni di S dipendono da q − n parametri. In particolare se q = n allora il sistema ha un’unica soluzione. M
Geometria - versione 1 139
8. Sistemi di equazioni lineari
8.6 Esercizi
E.8.1 Determinare le eventuali soluzioni dei sistemi:
S1: E.8.2 Determinare le eventuali soluzioni dei sistemi:
S1: E.8.3 Determinare le eventuali soluzioni dei sistemi:
S1:
8.7 Soluzioni degli esercizi
E.8.1