EB.1.1 Ogni equazione
ax = b
`
e determinata da due numeri: il coefficiente a della x e il termine noto b. Poich´e i numeri sono infiniti, le equazioni sono infinite.
EB.1.3
a. Moltiplicando ambo i membri dell’equazione per l’inverso di −3, che `e −13, otteniamo l’unica soluzione dell’equazione:
x = −5 3. b. Moltiplicando ambo i membri per −73, otteniamo:
x = −7 3·4
9= −28 27.
1.6. Soluzioni degli esercizi di base
c. Moltiplicando ambo i membri per 13 otteniamo:
x = 1 3· 9,12.
Le notazioni frazionarie e decimali dei numeri non vengono, di solito utilizzate contemporaneamente. Dividiamo allora 9,12 per 3. Otteniamo x = 3,04.
d. Moltiplicando ambo i membri per 13, otteniamo:
x = 1 3· 1,1.
Dividiamo 1,1 per 3. Otteniamo il numero periodico x = 0,3¯6 = 0,36666 . . .. Possiamo scrivere ci`o anche in forma frazionaria:
x = 1 3·11
10 =11 30.
Possiamo anche approssimare la soluzione. Per approssimare alla prima cifra decimale, scriviamo x ∼= 0,4, alla seconda x ∼= 0,37, alla terza x ∼= 0,367, alla quarta x ∼= 0,3667 e cos`ı via.
e. Moltiplicando ambo i membri per l’inverso di√
2, otteniamo:
x = 6
√2.
Se vogliamo evitare di scrivere il radicale al denominatore, razionalizziamo:
x = 6√
√ 2 2√
2= 6√ 2 2 = 3√
2.
Si potrebbe essere tentati dall’approssimare la soluzione. Ricordiamo che si ha:
√
2 = 1,4142135 . . . che non `e un numero periodico poich´e√
2 `e un numero irrazionale. Se approssimiamo
√2 alla seconda cifra decimale, otteniamo 1,41 che moltiplicato per 3 d`a:
3 · 1,41 = 4,23.
Se approssimiamo√
2 alla terza cifra decimale, otteniamo 1,414 che moltiplicato per 3 d`a:
3 · 1,414 = 4,242.
Apparentemente abbiamo trovato che se approssimiamo la soluzione alla seconda cifra decimale otteniamo 4,23, se l’approssimiamo alla terza otteniamo 4,242. Ovviamente c’`e qualcosa che non va. Non si pu`o quindi operare in questo modo con i numeri approssimati. Il modo corretto per lavorare con i numeri approssimati `e oggetto di studio dell’analisi numerica ed `e, quindi, estraneo agli argomenti di questo corso.
Per tale motivo all’interno del nostro corso non approssimeremo mai i numeri che troviamo.
f. Moltiplicando ambo i membri per l’inverso di√
2, otteniamo:
x =
√3
√2. Volendo, possiamo razionalizzare:
x =
√6 2 .
Geometria - versione 1 15
1. Equazioni lineari e numeri
g. Moltiplicando ambo i membri per l’inverso di√
3, otteniamo:
x = 7
√12
√3.
Sfruttando le propriet`a dei radicali, otteniamo:
x = 7
√4√
√ 3
3 = 14.
EB.1.6 Cerchiamo le eventuali soluzioni del sistema utilizzando il procedimento visto nell’esempio1.5. In esso abbiamo sostituito il sistema di partenza con un sistema ad esso equivalente tale che nella seconda equazione non compaia la x.
Facciamo la stessa cosa nel nostro caso. Sommiamo alla seconda equazione la prima moltiplicata per −32. Otteniamo il sistema:
S0:
2x + 2y = 3 2y = −7
2 .
Il sistema S0`e equivalente al sistema S. Dalla seconda equazione otteniamo:
y = −7 4.
Sostituendo nella prima equazione il valore di y cos`ı ottenuto, abbiamo:
x = 13 4. Il sistema ha quindi una e una sola soluzione:
13 4, −7
4
.
EB.1.9
a. Poich´e nella seconda equazione compare la sola incognita x, ci conviene determinare da essa la x. Abbiamo:
x = 5 2.
Sostituiamo la x cos`ı ottenuta nella prima equazione e determiniamo la y. Otteniamo:
y = −13 2. Il sistema ha quindi una e una sola soluzione:
5 2, −13
2
.
b. Sommando alla seconda equazione la prima moltiplicata per −23, otteniamo il sistema equivalente:
3x + 3y = 1 0 = −2
3 Il sistema non ha quindi soluzioni.
1.6. Soluzioni degli esercizi di base
c. Sommando alla seconda equazione la prima moltiplicata per −23, otteniamo il sistema equivalente:
(3x + 3y = 1 0 = 0 Il sistema ha quindi infinite soluzioni date da:
1 3− t, t
.
dove t `e un qualsiasi numero reale.
EB.1.11 La matrice associata al sistema dato nell’esempio1.7`e:
A =1 2 2 4
.
La matrice associata al sistema dell’esempio1.8`e uguale alla matrice associata al sistema dell’esempio1.7. Notiamo che i sistemi dati negli esempi1.7e1.8, pur avendo la stessa matrice associata, sono estremamente differenti tra loro. Uno non ha soluzioni, l’altro ne ha infinite.
Tutto ci`o ci dice che il numero delle soluzioni di un sistema non dipende solamente dalla matrice associata al sistema.
EB.1.19 Vediamo cosa succede per ciascun tipo di operazione elementare.
Se S0 si ottiene da S sommando alla i-esima equazione la j-esima equazione di S moltiplicata per k, allora sommando alla i-esima equazione di S0 la sua j-esima equazione (che `e rimasta inalterata) moltiplicata per −k, ritorniamo al sistema originale.
Se S0 si ottiene da S moltiplicando una sua equazione per un numero k diverso da 0, moltiplicando l’equazione cos`ı ottenuta per 1k si riottiene il sistema di partenza.
Se S0si ottiene da S scambiando tra loro due equazioni, scambiandole nuovamente si torna ovviamente al sistema di partenza.
Infine, se cancelliamo un’identit`a, possiamo tornare indietro inserendola e viceversa.
EB.1.20 Dobbiamo mostrare che possiamo passare da S a S0per mezzo di operazioni elementari. Supponiamo che la i-esima equazione sia uguale alla j-esima moltiplicata per k. Come prima cosa sommiamo alla i-esima equazione la j-esima moltiplicata per k. Otteniamo cos`ı un sistema la cui i-esima equazione `e un’identit`a. Scartiamo ora quest’identit`a e otteniamo esattamente il sistema S0.
EB.1.24 Sommando ad ambo i membri di:
a + c = c il numero −c, otteniamo:
a + c − c = c − c.
Poich´e c − c = 0 si ottiene allora
a = 0.
Il viceversa `e ovvio.
EB.1.27 Il numero c `e diverso da 0, esiste quindi il suo inverso c−1. Moltiplicando ambo i membri di:
a · c = c
Geometria - versione 1 17
1. Equazioni lineari e numeri
per il numero c−1 otteniamo:
a · c · c−1= c · c−1. Poich´e c · c−1= 1, da ci`o segue:
a = 1.
Abbiamo dimostrato:
se a · c = c allora a = 1.
Il viceversa `e ovvio.
EB.1.28 No. Consideriamo, per esempio, l’equazione:
2x = 1.
Si ha ovviamente 2 ∈ N e 1 ∈ N. Ma la soluzione dell’equazione `e x = 1
2 che non appartiene a N.
EB.1.29 No. L’esempio dato nella soluzione dell’esercizio di base 1.28pu`o essere utilizzato anche in questo caso.
EB.1.30 S`ı. La soluzione dell’equazione `e data da:
x = b · a−1.
Sappiamo che l’inverso di un numero razionale non nullo `e un numero razionale.
Quindi, poich´e a ∈ Q, si ha che a−1 ∈ Q. Sappiamo pure che il prodotto di due numeri razionali `e un numero razionale. Quindi, poich´e b ∈ Q e a−1∈ Q, si ha che b · a−1∈ Q.
1.7 Sunto
Insiemi
Un insieme `e una collezione di oggetti. Scrivendo, per esempio:
A = {1, 2, 3, 4, 7, 10}
intendiamo che l’insieme A `e formato dai numeri 1, 2, 3, 4, 7 e 10. Per indicare che un oggetto a appartiene a un insieme A usiamo il simbolo
a ∈ A.
Per esempio, nel caso dell’insieme A visto sopra abbiamo:
1 ∈ A, 2 ∈ A, etc.
Per indicare che un elemento b non appartiene a un insieme A usiamo il simbolo:
b /∈ A.
Per esempio, il numero 35 non appartiene all’insieme A visto sopra. Scriviamo allora:
35 /∈ A.
1.7. Sunto
Definizione Se tutti gli elementi di un insieme A sono elementi di un insieme B, diciamo che l’insieme A `e contenuto nell’insieme B o anche che A `e un sottoinsieme di B. Indichiamo ci`o con i simboli:
A ⊆ B. M
Per esempio, l’insieme A visto sopra `e contenuto nell’insieme B = {−5, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 12}.
Definizione Dati due insiemi A e B si chiama insieme differenza di A e B l’insieme, che indichiamo con il simbolo A − B, formato dagli elementi di A che
non appartengono a B. M
Per esempio, dati gli insiemi A = {1, 2, 3, 4, 7, 10} e B = {0, −3, 2, 4, 7} si ha:
A − B = {1, 3, 10}.
q scriviamo
Insiemi numerici
Sono definiti i seguenti insiemi numerici:
• N = {1, 2, 3, 4, . . . }. Gli elementi di N si dicono numeri naturali.
• Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . }. Gli elementi di Z si dicono numeri interi.
• Q = {mn con m ∈ Z, n ∈ Z − {0}}. Gli elementi di Q si dicono razionali.
• R `e l’insieme dei numeri reali. Non diamo la definizione di numero reale.
Ricordiamo solamente che vi sono numeri reali che non sono razionali. Sono i numeri irrazionali. Sono, per esempio, irrazionali i numeri√
2,√ 3, π.
Si ha:
N ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R.
Valgono inoltre le propriet`a:
se a ∈ N e b ∈ N allora a + b ∈ N e a · b ∈ N se a ∈ Z e b ∈ Z allora a + b ∈ Z e a · b ∈ Z se a ∈ Q e b ∈ Q allora a + b ∈ Q e a · b ∈ Q
se a ∈ R e b ∈ R allora a + b ∈ R e a · b ∈ R Si hanno le leggi di semplificazione:
Proposizione
1. Legge di semplificazione per l’addizione:
Dati a ∈ R, b ∈ R, c ∈ R:
a + c = b + c se e solo se a = b.
2. Legge di semplificazione per la moltiplicazione:
Dati a ∈ R, b ∈ R e c ∈ R − {0}:
a · c = b · c se e solo se a = b.
Geometria - versione 1 19
1. Equazioni lineari e numeri
Equazioni lineari
Un’equazione lineare in un’incognita a coefficienti reali `e un’ equazione del tipo:
ax = b dove a e b sono numeri reali e x `e un’incognita.
Proposizione Data un’equazione lineare:
ax = b, si ha:
a 6= 0 una e una sola soluzione, a = 0
(b 6= 0 nessuna soluzione, b = 0 infinite soluzioni.
Nel paragrafo1.1`e spiegato come determinare le eventuali soluzioni.
Un sistema di due equazioni lineari in due incognite a coefficienti reali `e dato da:
S :
(ax + by = c dx + ey = f
dove a, b, c, d, e, f sono numeri reali e x e y sono le incognite. Vi sono sistemi che hanno una soluzione (vedere esempio1.5), sistemi che non hanno soluzioni (vedere esempio 1.7) e sistemi che hanno infinite soluzioni (vedere esempio1.8). Nel paragrafo 1.2 abbiamo descritto un metodo per trovare le eventuali soluzioni.
Dati dei numeri interi p e q, un sistema di p equazioni lineari in q incognite a coefficienti reali `e dato da:
S :
a11x1+ a12x2+ · · · + a1qxq = b1
a21x1+ a22x2+ · · · + a2qxq = b2
...
ap1x1+ ap2x2+ · · · + apqxq = bp
dove, per ogni i e j, si ha che aij `e un numero reale, per ogni i si ha che bi`e un numero reale e x1, . . . , xq sono le incognite.
Una soluzione del sistema S `e una q-upla di numeri reali (¯x1, ¯x2, . . . , ¯xq) che, sostituiti nelle equazioni del sistema alle incognite (x1, x2, . . . , xq), danno delle identit`a.
La tabella di p righe e q colonne:
A =
a11 a12 . . . a1q
a21 a22 . . . a2q ... ... . .. ... ap1 ap2 . . . apq
si dice matrice dei coefficienti del sistema.
1.8. Esercizi
Sistemi equivalenti
Definizione Dati due sistemi lineari S e S0 nelle medesime incognite x1, x2, . . . , xq, diciamo che S `e equivalente a S0 se si pu`o passare da S a S0 per mezzo di un numero finito di operazioni elementari di uno di questi tipi
• sommare a un’equazione un’altra moltiplicata per un numero;
• moltiplicare un’equazione per un numero diverso da 0;
• scambiare di posto tra loro due equazioni;
• eliminare un’identit`a;
• aggiungere un’identit`a. M
Proposizione Se un sistema S `e equivalente a un sistema S0 allora i due sistemi hanno le stesse soluzioni (in particolare se uno dei due non ha soluzioni anche l’altro non ne ha).
Proposizione L’equivalenza tra sistemi `e una relazione di equivalenza, cio`e soddisfa le propriet`a:
1. Propriet`a riflessiva Ogni sistema S `e equivalente a s´e stesso.
2. Propriet`a simmetrica Se un sistema S `e equivalente a un sistema S0 allora S0 `e equivalente a S.
3. Propriet`a transitiva Se un sistema S `e equivalente a un sistema S0 e se S0 `e equivalente a un sistema S00 allora S `e equivalente a S00.
1.8 Esercizi
E.1.1 Determinare le eventuali soluzioni delle equazioni:
a. 4x = 8; b. −4x = 9; c. −12x = 0; d. −x = 7;
e. 49x = 8; f. −45x = 5; g. 34x = 34; h. 34x = 75; i. 5x = 10, 2; j. 4x = 12, 4; k. −4,2x = 8,02; l. 3x = 1,1.
E.1.2 Determinare le eventuali soluzioni delle equazioni:
a. 7,3x = 8,4; b. −0,02x = 7,3; c. −√ 3x =√
7; d. 2√ 2x =√
8;
e. √
2x = 15; f. 37√
3x = 4√
2; g. −√
3x = 41,5; h. −7,5x =√ 13.
E.1.3 Determinare le eventuali soluzioni dei sistemi:
a.
( x + y = 2
x + 7y = 2; b.
( x + y = 2,7 3x + y = 1,5; c.
( x + y = 7 2x + y = 1; d.
( 2x + y = 1
−x + 4y = 5; e.
( x + y = 27 2x + 2y = 0 ; f.
( x + y = 27 2x + 2y = 54; g.
x + y =√ 2
√ 3x +√
2y =√ 7
.
Geometria - versione 1 21
1. Equazioni lineari e numeri
E.1.4 Sono vere le seguenti affermazioni?
a. se a + b ∈ N allora a ∈ N e b ∈ N;
b. se a · b ∈ N allora a ∈ N e b ∈ N;
c. se a + b ∈ Z allora a ∈ Z e b ∈ Z;
d. se a · b ∈ Z allora a ∈ Z e b ∈ Z;
e. se a + b ∈ Q allora a ∈ Q e b ∈ Q;
f. se a · b ∈ Q allora a ∈ Q e b ∈ Q.
E.1.5 Scrivere le matrici dei coefficienti dei sistemi dati nell’esercizioE.1.3.
E.1.6 Dato un sistema:
(ax + by = c dx + ey = f
con a, b, c, d, e, f numeri naturali, `e vero che le eventuali soluzioni del sistema sono coppie di numeri naturali?
E.1.7 Dato un sistema:
(ax + by = c dx + ey = f
con a, b, c, d, e, f numeri interi, `e vero che le eventuali soluzioni del sistema sono coppie di numeri interi?
E.1.8 Dato un sistema:
(ax + by = c dx + ey = f
con a, b, c, d, e, f numeri razionali, `e vero che le eventuali soluzioni del sistema sono coppie di numeri razionali?