Applicazioni del metodo di Gauss
10.2 Calcolo del determinante
2. Propriet`a simmetrica Se una matrice A `e equivalente per riga a una matrice A0 allora A `e equivalente a A0.
Basta infatti ripercorre a ritroso ciascun passaggio: in maniera analoga a quanto fatto per i sistemi nell’esercizio di base 1.19, si vede facilmente che ciascun passaggio a ritroso `e, a sua volta, un’operazione elementare.
3. Propriet`a transitiva Se una matrice A `e equivalente per riga a una matrice A0 e se A0 `e equivalente per riga a una matrice A00 allora A `e equivalente a A00. Se passiamo prima da A a A0 e poi da A0 a A00 per mezzo di operazioni elementari, siamo, di fatto, passati da A a A00per mezzo di operazioni elementari.
10.2 Calcolo del determinante
Supponiamo ora di avere due matrici quadrate A e A0 equivalenti per riga. Ci chiediamo in che relazione sia il loro determinante. Poich´e possiamo passare da A ad A0per mezzo di operazioni elementari di riga dobbiamo allora chiederci come cambia il determinante dopo ciascuna di tali operazioni. Sappiamo gi`a (si veda la proposizione5.18) che scambiando tra loro due righe, si ottiene una matrice di determinante opposto a quella di partenza. Per quanto riguarda l’altro tipo di operazione elementare abbiamo la proposizione la cui dimostrazione riportiamo nel paragrafoA.10
Proposizione 10.4 Sia A una matrice quadrata e sia A0 la matrice ottenuta da A sommando alla riga i-esima la riga j-esima moltiplicata per k. Allora det A = det A0.
Ora sappiamo come varia il determinante quando applichiamo a una matrice una operazione elementare di riga. Se A e A0 sono matrici quadrate equivalenti per riga, allora quando nei vari passaggi applichiamo un’operazione di somma a una riga di un multiplo di un’altra riga il determinante non cambia, quando invece applichiamo uno scambio di righe il determinante cambia di segno. Pertanto dobbiamo contare il numero di operazioni di scambio di righe necessari per passare da A ad A0: se `e pari il determinante di A e di A0 coincidono, se `e dispari il determinante di A e di A0 sono opposti. In entrambi i casi possiamo dedurre il determinante di A dal determinante di A0. Riassumiamo tutto ci`o nella:
Proposizione 10.5 Se A e A0 sono matrici quadrate equivalenti per riga, consideriamo le operazioni elementari necessarie per passare da A ad A0: tra queste ci saranno un certo numero di operazioni di somma a una riga di un’altra riga moltiplicata per un fattore e un certo numero m di operazioni di scambio di righe. Si ha allora:
det A0 = (−1)mdet A.
Utilizzando il metodo di Gauss possiamo ottenere da una matrice quadrata A una matrice quadrata a scalini ad essa equivalente per righe. `E facile vedere che una matrice quadrata a scalini `e triangolare superiore e, quindi, il suo determinante `e uguale al prodotto degli elementi della sua diagonale principale.
Tutto ci`o ci suggerisce un metodo per il calcolo del determinante di una matrice quadrata.
Geometria - versione 1 161
10. Applicazioni del metodo di Gauss
Metodo 10.6 (di Gauss per il calcolo del determinante) Calcoliamo il determinante di una matrice quadrata data A nel seguente modo:
1. Determiniamo, con il metodo di Gauss, una matrice a scalini A0 equivalente per righe ad A, e contiamo il numero di scambi di riga che abbiamo operato per far ci`o. Sia m questo numero.
2. Calcoliamo il determinante di A0 semplicemente moltiplicando gli elementi della sua diagonale principale. Notiamo che A0 ha determinante 0 se e solo se almeno uno di questi elementi si annulla.
3. Si ha quindi:
det A = (−1)mdet A0. M
Esempio 10.7 Calcoliamo il determinante della matrice A:
A :=
Abbiamo gi`a determinato nell’esempio 9.12 una matrice a scalini ad essa equivalente:
Il determinante di A0 `e il prodotto degli elementi della sua diagonale principale ed `e, dunque, uguale a 1. Per passare da A ad A0 non abbiamo fatto alcun scambio di righe (cio`e un numero pari di scambi): il determinante di A `e allora uguale al determinante di A0 cio`e:
det A = det A0= 1. M
Esempio 10.8 Calcoliamo il determinante della matrice:
A :=
Cerchiamo una matrice a scalini ad essa equivalente. Scambiamo la seconda riga con la terza:
Sottraiamo alla quarta riga la seconda:
A0 :=
10.3. Calcolo del rango
Abbiamo ottenuto una matrice a scalini, equivalente per righe alla matrice A. La matrice A0 ha determinante uguale al prodotto degli elementi della sua diagonale principale, cio`e 5. Per passare da A ad A0 abbiamo operato un numero dispari di scambi di riga (cio`e uno solo): il determinante di A `e allora uguale all’opposto del determinante di A0 cio`e:
det A = − det A0= −5. M
Esempio 10.9 Vogliamo calcolare il determinante della matrice:
A :=
Scambiamo la quarta riga con la prima:
Scambiamo la seconda riga con la terza:
Sottraiamo alla quarta riga la seconda:
A0:=
A questo punto `e inutile proseguire: anche se la matrice che abbiamo ottenuto non `e a scalini (dovremmo fare un ulteriore passaggio) `e comunque una matrice triangolare. Il suo determinante `e uguale al prodotto degli elementi della sua diagonale principale. Poich´e uno fra essi `e 0, il determinante di A0 `e 0. Pertanto anche A ha determinante 0: infatti il determinante di A `e uguale oppure opposto al determinante di A0. In questo caso non ci interessa quindi contare il numero
di scambi utilizzati per passare da A ad A0. M
10.3 Calcolo del rango
Nel paragrafo precedente abbiamo visto che relazione ci sia tra di determinanti di matrici quadrate equivalenti per riga. Ci chiediamo ora che relazione ci sia tra i ranghi di matrici (anche non quadrate) equivalenti per riga. Non `e difficile dimostrare il:
Geometria - versione 1 163
10. Applicazioni del metodo di Gauss
Teorema 10.10 Se A e A0 sono matrici (non necessariamente quadrate) equivalenti per riga, allora esse hanno ranghi uguali. In formule:
rk A0= rk A.
La dimostrazione richiede un po’ di attenzione: diamo i dettagli nel paragra-foA.10.
Quindi, se dobbiamo calcolare il rango di una matrice possiamo considerare una matrice ad essa equivalente per righe per cui, possibilmente, il calcolo del rango sia facile. In particolare, sappiamo che con il metodo di Gauss `e possibile, data una matrice A, determinare una matrice a scalini equivalente per righe alla matrice A. Ci chiediamo se questo ci aiuta, cio`e se sia facile determinare il rango di una matrice a scalini. Consideriamo allora qualche esempio:
Esempio 10.11 Consideriamo la matrice a scalini:
A :=
1 2 3 4 2
0 0 6 2 0
0 0 0 5 1
0 0 0 0 0
.
La matrice A ha 3 scalini. Consideriamo ora il minore di A formato dalle righe non nulle di A e dalle tre colonne contenenti gli scalini:
1 2 3 4 2
0 0 6 2 0
0 0 0 5 1
0 0 0 0 0
.
Questo minore `e una matrice triangolare superiore:
1 3 4 0 6 2 0 0 5
,
il cui determinante `e uguale al prodotto degli elementi sulla diagonale principale ed `e quindi diverso da 0. Pertanto A ha rango almeno 3. D’altra parte ogni minore di A di ordine 4 deve avere una riga tutta di 0 e ha pertanto determinante nullo. Dunque rk A = 3, cio`e il rango di A `e uguale al numero degli scalini. M Quanto visto nell’esempio10.11non `e un caso. Utilizzando lo stesso approccio si pu`o dimostrare facilmente (anche se noi non lo daremo in dettaglio) che vale la:
Proposizione 10.12 Il rango di una matrice a scalini `e uguale al numero degli scalini (cio`e il numero di righe non nulle) della matrice.
Tutto ci`o ci suggerisce un metodo per il calcolo del rango di una matrice.
Metodo 10.13 (di Gauss per il calcolo del rango) Calcoliamo il rango di una matrice data A nel seguente modo:
1. Determiniamo, con il metodo di Gauss, una matrice a scalini A0 equivalente per righe ad A.
10.3. Calcolo del rango
2. Contiamo il numero di scalini di A0. Siano n. Si ha allora:
rk A = rk A0= n. M
Esempio 10.14 Calcoliamo il rango della matrice:
A :=
Abbiamo gi`a determinato nell’esempio 9.12 una matrice a scalini ad essa equivalente:
Esempio 10.15 Vogliamo determinare il rango della matrice:
A :=
Cominciamo con il sommare alla terza riga la prima e alla quarta riga la prima moltiplicata per −2:
Ora sommiamo alla terza riga della matrice A0 la seconda riga di A0moltiplicata per 2 e alla quarta riga la seconda riga di A0 moltiplicata per −1:
A00:=
Infine scambiamo tra loro la terza e quarta riga della matrice A00ottenendo una matrice a scalini:
La matrice cos`ı ottenuta ha 3 scalini ad ha, quindi, rango 3. Pertanto anche la
matrice A ha rango 3. M
Geometria - versione 1 165
10. Applicazioni del metodo di Gauss
10.4 Soluzioni degli esercizi di base
EB.10.2 Per ottenere la matrice A dalla matrice A00per mezzo di operazioni elemen-tari di riga, facciamo il procedimento a ritroso. Scambiamo tra loro la seconda e la terza riga di A00. Sommiamo poi alla terza riga la prima riga moltiplicata per 2.
10.5 Sunto
Operazioni elementari
Definizione Due matrici A e A0 si dicono equivalenti per riga se `e possibile passare da una all’altra per mezzo di successive operazioni del tipo:
• Sommare alla riga i-esima della matrice la riga j-esima moltiplicata per un numero reale k, con i 6= j.
• Scambiare tra loro due righe della matrice.
Questi due tipi di operazioni si dicono operazioni elementari di riga. M Metodo per il calcolo del determinante di una matrice
Proposizione Se A e A0 sono matrici quadrate equivalenti per riga, conside-riamo le operazioni elementari necessarie per passare da A ad A0: tra queste ci saranno un certo numero di operazioni di somma a una riga di un’altra riga moltiplicata per un fattore e un certo numero m di operazioni di scambio di righe. Si ha allora:
det A0 = (−1)mdet A.
Metodo (di Gauss per il calcolo del determinante) Per calcolare il de-terminante di una matrice quadrata A, operiamo nel seguente modo:
1. Determiniamo, con il metodo di Gauss, una matrice a scalini A0 equivalente per righe ad A, e contiamo il numero di scambi di riga che abbiamo operato per far ci`o. Sia m questo numero.
2. Calcoliamo il determinante di A0 semplicemente moltiplicando gli elementi della sua diagonale principale. Notiamo che A0 ha determinante 0 se e solo se almeno uno di questi elementi si annulla.
3. Si ha quindi:
det A = (−1)mdet A0. M
Metodo per il calcolo del rango di una matrice
Teorema Se A e A0sono matrici equivalenti per riga, allora esse hanno ranghi uguali. In formule:
rk A0= rk A.
Metodo (di Gauss per il calcolo del rango) Data una matrice A, ne cal-coliamo il rango nel seguente modo:
10.6. Esercizi
1. Determiniamo, con il metodo di Gauss, una matrice a scalini A0 equivalente per righe ad A.
2. Contiamo il numero di scalini di A0. Siano n. Si ha allora:
rk A = rk A0= n. M
10.6 Esercizi
E.10.1 Verificare che la matrice:
A :=
`e equivalente per righe alla matrice I.
E.10.2 Calcolare il determinante delle matrici:
A :=
E.10.3 Calcolare il rango della matrice:
A :=
E.10.4 Calcolare il rango della matrice:
A :=
E.10.5 Calcolare il rango della matrice:
A :=
E.10.6 Calcolare il rango delle matrici:
A :=
Geometria - versione 1 167
10. Applicazioni del metodo di Gauss
10.7 Soluzioni degli esercizi
E.10.1 E sufficiente scambiare la prima e la terza riga.`
E.10.2 La seconda riga di A `e uguale alla prima moltiplicata per 2. Quindi A ha determinante 0.
La seconda colonna di B `e uguale alla terza moltiplicata per 2. Quindi B ha determinante 0.
Sommiamo alla seconda riga di C la prima riga moltiplicata per −1 e alla terza riga la prima riga moltiplicata per −32 e otteniamo cos`ı la matrice:
C0:=
Ora scambiamo la seconda riga e la terza e otteniamo la matrice a scalini:
C00:=
Il determinante di C00`e uguale a −8. Per passare da C a C00abbiamo operato un numero dispari di scambi e, pertanto det C = − det C00= 8.
E.10.3 Sommiamo alla seconda riga di A la prima riga moltiplicata per 3 e alla terza riga la prima riga moltiplicata per −3 e otteniamo cos`ı la matrice a scalini:
A0:=
E.10.4 Sommiamo alla seconda riga di A la prima moltiplicata per −32, alla terza la prima moltiplicata per 2 e alla quarta la prima moltiplicata per −4:
A0:=
Ora sommiamo alla terza riga di A0la seconda moltiplicata per −8:
A00:=
Infine sommiamo alla quarta riga di A00la terza moltiplicata per −252 e otteniamo la matrice a scalini:
10.7. Soluzioni degli esercizi
E.10.5 Tramite le seguenti operazioni: scambio della prima e seconda riga, somma alla quarta riga la prima moltiplicata per −1, somma alla terza riga la seconda moltiplicata per −1, somma alla quarta riga la seconda moltiplicata per 32, somma alla quarta riga la terza moltiplicata per 12 otteniamo la matrice a scalini:
A0:=
E.10.6 Applichiamo il metodo di Gauss alla matrice
A :=
Sommiamo alla seconda riga la prima moltiplicata per −3, alla terza riga la prima moltiplicata per −4, alla quarta riga la prima moltiplicata per −1 e alla quinta riga la prima moltiplicata per 2. Otteniamo cos`ı una nuova matrice:
Sommiamo ora alla terza riga la seconda moltiplicata per −1, alla quarta riga la seconda moltiplicata per −13 e alla quinta riga la seconda moltiplicata per 23. Otteniamo cos`ı una nuova matrice:
Ora scambiamo di posto la terza e quarta riga:
e infine sommiamo alla quinta riga la terza moltiplicata per −1:
Abbiamo ottenuto una matrice a scalini con 3 righe non nulle. Il rango di A `e dunque 3.
Geometria - versione 1 169
10. Applicazioni del metodo di Gauss
Consideriamo ora la matrice:
B :=
Sommiamo alla seconda riga la prima moltiplicata per −2, alla terza riga la prima moltiplicata per −1, alla quarta riga la prima moltiplicata per −1 e alla quinta riga la prima. Otteniamo cos`ı una nuova matrice:
Sommiamo ora alla quarta riga la seconda moltiplicata per −12 e alla quinta riga la seconda moltiplicata per 12:
Scambiamo ora terza e quarta riga:
e infine sommiamo alla quinta riga la terza moltiplicata per −1:
Abbiamo ottenuto una matrice a scalini con 3 righe non nulle. Il rango di B `e dunque 3.