5.3.3.2) Calcolo del profilo spettrale del coefficiente di assorbimento ottico specifico α 0 (ђω)

Adesso ricaviamo lo spettro del coefficiente di assorbimento ottico specifico α0(ђω), riferendoci alla figura 37.

Fig. 37

Adattamento del modello a bande, valido per un semiconduttore (ad esempio a gap diretto, come il GaAs), ad un sistema energetico a quattro livelli, indicati con E0, E1, E2 ed E3. E0 è il livello fondamentale, E1 è un livello instabile, E2 è il livello metastabile, E3 è un altro livello instabile.

Rpomp costituisce il rate (cm-3s-1) del pompaggio termico (da E0 a E3) a cui il dispositivo è sottoposto, poiché quest’ultimo si trova a

temperatura ambiente. DBC(E) e DBV(E) sono, rispettivamente, la densità di stati tridimensionale (cm-3eV-1) in BC ed in BV. Djoint(E) è la densità

di stati tridimensionale “congiunta” nel caso in cui il dispositivo sia di tipo bulk. L’utilità di Djoint(E) consiste nel simmetrizzare una

distribuzione di stati asimmetrica fra BC e BV, quindi nel semplificare la modellizzazione del profilo spettrale di α0(ђω). ђω è l’energia

fotonica assorbita che provoca una transizione verticale (approssimazione a dipolo elettrico) di un elettrone atomico dalla BV alla BC. In seguito a tale assorbimento ottico Ee è l’energia cinetica dell’elettrone in BC, mentre Eh è l’energia cinetica della lacuna in BV.

È possibile adattare il modello a bande, valido per un semiconduttore, ad un sistema energetico (di elettroni) a quattro livelli, indicati con E0, E1, E2 ed E3, come mostrato in figura 37. E0 è il livello fondamentale, E1 (= EV) è un

livello instabile, E2 (= EC) è il livello metastabile, E3 è un altro livello instabile. Rpomp rappresenta il rate (cm-3s-1)

del pompaggio termico (da E0 a E3), cioè il rate di generazione termica di coppie elettrone/lacuna a cui il

dispositivo è sottoposto, trovandosi a temperatura ambiente. DBC(E) e DBV(E) sono, rispettivamente, la densità di

stati tridimensionale (cm-3_eV-1_{) in BC ed in BV. f(E) è la distribuzione statistica quantistica di Fermi – Dirac.}

Djoint(E) rappresenta la ben nota densit{ di stati tridimensionale “congiunta” (“joint”) per un dispositivo di tipo

bulk; l’utilit{ di Djoint(E) consiste nel simmetrizzare una distribuzione di stati permessi asimmetrica fra BC e BV.

L’asimmetria è dovuta alla diseguaglianza fra la massa efficace dell’elettrone per la densit{ di stati in BC (me*) e la

massa efficace della lacuna per la densità di stati in BV (mh*), ovvero è dovuta alla diseguaglianza fra la densità di

stati equivalenti in BC (NC) e la densità di stati equivalenti in BV (NV). Pertanto Djoint(E) è utile nel semplificare la

Prima di tutto riprendiamo il rate di assorbimento riportato nella [e41] e applichiamolo al caso specifico di fotorivelatore a semiconduttore di tipo bulk:

W

ABS

(|i>) =

δ(|E

– E

| – ђω)

dove è lo stato elettronico iniziale, nell’esempio di figura 36 posizionato sulla sottobanda di valenza HH, di

energia Ei, è lo stato elettronico finale di energia Ef, è l’impulso dell’elettrone prima dell’assorbimento,

cioè quando si trova ancora nello stato , è il versore di polarizzazione del fotone incidente γ (il quale fa

parte di un fascio coerente di fotoni). Considerando di utilizzare un fotorivelatore di tipo bulk, sappiamo che

i due stati e sono funzioni di Bloch, ovvero:

=

up(r) è la “central cell function” avente simmetria di tipo p, essendo lo stato elettronico iniziale (di pre –

assorbimento) appartenente alla BV; up(r) è un’opportuna combinazione lineare delle funzioni del sistema

completo di Clebsch – Gordan. kh è il vettore d’onda della lacuna fotogenerata, ovvero dell’elettrone nel suo stato

iniziale. us(r) è la “central cell function” avente simmetria di tipo s (poiché il gap è diretto), essendo lo stato

elettronico finale (di post – assorbimento) appartenente alla BC; us(r) è un’opportuna combinazione

lineare delle funzioni |ς > e |ς >. ke è il vettore d’onda dell’elettrone fotogenerato, ovvero dell’elettrone nel suo

stato finale. Utilizzando l’approssimazione di dipolo elettrico abbiamo che:

k

k >> k

0

ovvero la transizione ottica di assorbimento è di fatto verticale nel diagramma E – k. Ciò consente di esprimere il rate di assorbimento fotonico nel modo seguente:

W

ABS

(|i>) =

δ(|E

– E

| – ђω) [e54]

dove:

= <

| |

> [e55]

è l’elemento di matrice dell’impulso dell’elettrone, ovvero una regola di selezione, che determina (quantifica) l’accoppiamento ottico, in questo caso di assorbimento, fra la “central cell function p – like” dello stato iniziale in BV e la “central cell function s – like” dello stato finale in BC. Nei fotorivelatori comprendenti nanostrutture attive (di cui non ci occupiamo), come “quantum wells”, “quantum wires” e “quantum dots”, nelle quali avviene la fotogenerazioni di portatori di carica, le regole di selezione sono più complicate di quella mostrata in [e55], che ribadiamo vale solo per un fotorivelatore di tipo bulk.

Valgono inoltre le seguenti relazioni, assumendo valida l’approssimazione parabolica per la dispersione E(k) intorno ai “bandedges” EC ed EV:

ђω – E

gap

= E

+ E

=

+

=

dove è la “massa efficace ridotta”, definita nel modo seguente:

=

è quindi leggermente inferiore a : ad esempio per il GaAs , nella valle Γ, vale circa 0.067m0, mentre

, nella stessa valle, vale circa 0.058m0. Pertanto abbiamo che:

E

| i >

= E

–

La densità di stati tridimensionale congiunta Djoint(E), per un fotorivelatore di tipo bulk, ha la stessa forma delle

densità di stati tridimensionali in BC ed in BV, ad eccezione della la massa efficace: troviamo infatti, al posto delle masse efficaci degli elettroni e delle lacune rispettivamente, la massa efficace ridotta.

D

joint

(E – E

gap

) = 2π

–

(eV

-1

cm

-3

)

dove E è riferita all’energia fotonica Eγ = ђω che investe il semiconduttore e che consente l’accoppiamento ottico

fra stati in BC e stati in BV; i primi sono separati dai secondi, nel diagramma E – k, di un’energia pari proprio ad ђω, la quale è rappresentata dalla lunghezza del dipolo elettrico che ha come cariche i portatori fotogenerati, come si può notare nella figura 37. Pertanto è opportuno esprimere la densità di stati tridimensionale congiunta nel modo seguente:

D

joint

(ђω – E

gap

) = 2π

–

[e56]

Supponiamo, come mostrato sempre in figura 37, che un fotone di energia Eγ = ђω incida sul semiconduttore a

gap diretto, ad esempio GaAs, con cui è costruito il fotorivelatore. Se ђω < Egap il fotone non ha energia sufficiente

per essere assorbito dal materiale, quindi lo attraversa senza interagire con questo: si parla di “trasparenza passiva” del materiale nei confronti del fotone. In altre parole la sommatoria Σ| f > sugli stati elettronici finali | f >

(di arrivo), cioè la sommatoria sugli stati che possono ospitare un elettrone dopo che questo ha assorbito un fotone di energia ђω, è nulla: infatti nel gap non ci sono, almeno nella teoria, stati permessi che possono consentire assorbimenti al di sotto dell’Egap. Pertanto il rate di assorbimento WABS(|i>) nel caso di ђω < Egap è

nullo (Σ| f > 0). Se ђω = Egap siamo sempre in presenza di trasparenza passiva, dal momento che lo stato

individuato sul massimo della BV (ad energia EV) è sicuramente vuoto, privo di elettrone: infatti è altamente

improbabile, in condizioni normali, che ci sia un elettrone atomico di valenza avente velocità nulla (quindi quantit{ di moto nulla, quindi numero d’onda nullo) lungo le tre direzioni del cristallo semiconduttore (nel punto

di simmetria Γ abbiamo (kx, ky, kz ) = (0, 0, 0)). Inoltre anche lo stato localizzato presso il minimo della BC (ad

energia EC) deve rimanere vuoto (nessun elettrone proveniente dalla BV può occuparlo), dato che è impossibile

trovare un elettrone di conduzione avente velocità nulla lungo le tre direzioni suddette. Anche nel caso di ђω = Egap la sommatoria Σ| f > è di fatto nulla, rendendo nullo il rate WABS(|i>). Se ђω > Egap abbiamo, in BV, un certo

numero di elettroni “candidati” ad essere promossi in BC, a causa dell’assorbimento del fotone di energia Eγ =

ђω, ed un certo numero di stati liberi in BC, che costituiscono dei possibili stati accettori di elettroni provenienti dalla BV. Stavolta Σ| f > 0 e quindi WABS(|i>) > 0: l’assorbimento ottico è possibile e soggetto alla regola di

selezione riportata nella [e55]. Se ђω aumenta abbiamo che il numero di elettroni atomici di valenza “candidati” alla promozione in BC aumenta, ed aumenta anche il numero di stati liberi, in BC, potenziali accettori di elettroni,

dato che aumenta, secondo la radice quadrata di E = ђω, la densità di stati congiunta Djoint(E); infatti aumentano,

congiuntamente, la densità di stati in BV e quella in BC. Più ђω diventa maggiore di Egap e più la presenza di

elettroni in BV e la “capacità di accettazione elettronica” degli stati in BC aumentano, ovvero aumenta la sommatoria Σ| f > e quindi il rate WABS(|i>). Adesso risulta evidente che nella [e54] la sommatoria Σ| f > sugli stati

finali | f > può essere sostituita con la densità di stati congiunta espressa nella [e56]:

W

ABS

(|i>) =

[e57]

Il 2 è aggiunto, ovviamente, per tenere conto della degenerazione di spin. Dalla [e57] è immediato definire il coefficiente di assorbimento ottico specifico per piccoli segnali α0(ђω): è sufficiente dividere il rate WABS(|i>)di

assorbimento per il numero di fotoni che possono essere coinvolti dalla transizione ottica di assorbimento e

per la velocità = c/nr’’(ω) con la quale i fotoni viaggiano nel cristallo semiconduttore, dove nr’’(ω) è la parte

immaginaria dell’indice di rifrazione del semiconduttore. In altri termini al numeratore della [e57] troviamo la

parte immaginaria (ω) della costante dielettrica relativa del mezzo permeato dalla luce, mentre al

denominatore troviamo la sua parte reale (ω). In formule:

α

(ђω) =

Va tenuto presente che il rate di assorbimento ottico WABS(|i>) definisce rigorosamente l’assorbimento α0(ђω)

per piccoli segnali, e non per qualunque potenza ottica incidente, poiché l’espressione [e57] è stata calcolata

partendo dalla regola d’oro di Fermi, nella quale il termine hamiltoniano HF fotoperturbativo ha una forma che è

diretta conseguenza sia delle gauges di Lorentz e di Coulomb che del piccolo modulo A0 del potenziale vettore :

affinchè quest’ultima condizione risulti verificata è necessario che la potenza ottica propagante attraverso il cristallo sia sufficientemente bassa (condizione di piccoli segnali ottici). Tuttavia la presenza della parte reale

della costante dielettrica relativa del semiconduttore ci consente di osservare che effettivamente, come

mostrato dalla formula riportata nella [e51], all’aumentare del flusso fotonico propagante si ha un decremento del coefficiente di assorbimento ottico. Infatti maggiore è la potenza ottica incidente, maggiore è il numero di

transizioni elettroniche BV BC, maggiore è la parte reale nr’(ω) dell’indice di rifrazione, cioè maggiore è ,

e minore è il coefficiente di assorbimento α(ђω).

Sempre dalla [e58] si può evincere un altro risultato di grande importanza pratica: un fotorivelatore presenta un

coefficiente di assorbimento ottico specifico α0(ђω) che varia in funzione della polarizzazione della luce

incidente. Ciò è dovuto alla fluttuazione, nel tempo, della direzione sulla quale giace il versore di polarizzazione

della luce incidente, che comporta la fluttuazione, nel tempo, del valore dell’elemento di matrice

. Più precisamente, ipotizziamo che una luce incidente polarizzata linearmente lungo un ipotetico asse j

(= x, y, z) consenta, se assorbita, il salto energetico del gap unicamente ad elettroni atomici localizzati presso gli

orbitali di tipo pj, ovvero un fotone polarizzato lungo x può, se assorbito, promuovere un elettrone di valenza da

uno stato iniziale in BV, la cui “central cell function” è di tipo px, ad uno stato finale in BC, la cui “central cell

function” è di tipo s. Allo stesso modo un fotone polarizzato lungo y può, se assorbito, promuovere un elettrone di valenza da uno stato iniziale in BV, la cui “central cell function” è di tipo py, ad uno stato finale in BC, la cui

“central cell function” è di tipo s; inoltre un fotone polarizzato lungo z può, sempre se assorbito, promuovere un

elettrone di valenza da uno stato iniziale in BV, la cui “central cell function” è di tipo pz, ad uno stato finale in BC,

la cui “central cell function” è sempre di tipo s. Inoltre ipotizziamo che la probabilit{ che un fotone assorbito,

polarizzato lungo x, consenta la transizione elettronica è pari alla probabilità che un fotone assorbito,

polarizzato lungo y, consenta la transizione elettronica , la quale è pari alla probabilità che un fotone

assorbito, polarizzato lungo z, consenta la transizione elettronica . In formule:

p

=

[e59]

Ipotizziamo pertanto che qualunque altro accoppiamento ottico sia trascurabile, ovvero:

= 0 i j [e60]

pcv è un elemento di matrice il cui valore cambia sensibilmente da semiconduttore a semiconduttore;

generalmente non si trovano tabulati i valori di pcv, bensì quelli di una quantità legata univocamente a pcv, ovvero

l’energia EP (“momentum matrix element energy” – energia dell’elemento di matrice della quantit{ di moto p),

che abbiamo già citato in riferimento alla [e15]. Ricordiamo a titolo di esempio che per il GaAs si ha che:

E

(GaAs) =

25.7 eV

Utilizzando la [e59] e la [e60] possiamo calcolare i momenti di matrice dei seguenti assorbimenti ottici:



accoppiamento ottico fra la sottobanda di valenza HH e la banda di conduzione dovuto ai tre differenti

stati di polarizzazione (lineare) della luce incidente sul fotorivelatore:

=



accoppiamento ottico fra la sottobanda di valenza LH e la banda di conduzione dovuto ai tre differenti

=

= 2

dove e sono due “central cell functions” date da opportune combinazioni lineari degli stati ortonormali

di Clebsch – Gordan |J; JZ >, come qualitativamente mostrato qui di seguito (α, β, η, δ ):

= α|3/2; 3/2

> + β|3/2; – 3/2

>

= η|3/2; 1/2

> + δ|3/2; – 1/2

>

Dai sei momenti di matrice precedenti si evince in modo formale la dipendenza del coefficiente di assorbimento ottico specifico α0(ђω) dalla polarizzazione della luce. Fissato un opportuno sistema di riferimento cartesiano,

solidale con il fotorivelatore, abbiamo che se la luce incidente sulla finestra antiriflettente del fotorivelatore è un’onda piana polarizzata linearmente lungo il piano xy, l’accoppiamento ottico fra la sottobanda di valenza HH e la banda di conduzione è tre volte maggiore dell’accoppiamento ottico fra la sottobanda di valenza LH e la stessa banda di conduzione. In altri termini con polarizzazione ottica lungo il piano xy il numero di elettroni atomici, promossi in BC a causa dell’assorbimento fotonico, provenienti dalla sottobanda di valenza HH è tre volte maggiore del numero di elettroni atomici, promossi in BC dall’assorbimento, provenienti dalla sottobanda di valenza LH. Pertanto la sottobanda di valenza HH contribuisce tre volte di più, rispetto a quella LH, nel fornire i fotoelettroni e quindi la fotocorrente uscente dal fotorivelatore irradiato. Tuttavia se la polarizzazione della luce incidente subisce variazioni (nelle fibre ottiche ciò avviene, benchè non rapidissimamente) anche α0(ђω)

varia, e ciò comporta una fluttuazione della fotocorrente in uscita dal fotodiodo. Questa fluttuazione potrebbe essere interpretata come una variazione dell’intensit{ ottica incidente e non come una rotazione del versore di polarizzazione del segnale ottico assorbito dal semicoduttore, pertanto le fluttuazioni della polarizzazione ottica costituiscono una sorgente di rumore. Se poi il versore di polarizzazione assume, in un certo intervallo di tempo Δt, la direzione individuata dall’asse z, la sottobanda di valenza HH e la banda di conduzione risultano totalmente disaccoppiate, dal punto di vista ottico. Ciò significa che se la luce incidente è polarizzata lungo l’asse z i fotoni non possono essere assorbiti da elettroni localizzati su HH: la sottobanda di valenza HH non contribuisce, durante il lasso di tempo Δt, alla fotocorrente. Questa è formata unicamente dagli elettroni atomici provenienti dalla sottobanda di valenza LH: con polarizzazione ottica lungo z il contributo di LH alla fotocorrente è raddoppiato, rispetto al suo contributo nel caso di polarizzazione ottica lungo il piano xy. Quindi è grazie agli stati elettronici posizionati lungo la curva E(k) della sottobanda di valenza LH che il fotorivelatore di tipo bulk risponde alla luce incidente, con una fotocorrente rilevabile dal circuito esterno di polarizzazione (inversa) e lettura, anche se la radiazione è polarizzata completamente lungo z.

In molti semiconduttori a gap diretto l’energia di split – off ΔSO è piuttosto alta (nel GaAs è di circa 0.35 eV),

pertanto un qualunque stato elettronico dato dalla combinazione lineare delle funzioni di Clebsch – Gordan |

1/2; 1/2 > e |1/2; – 1/2 > è, approssimativamente, ortogonale rispetto agli stati elettronici appartenenti alle sottobande di valenza HH ed LH, e a maggior ragione rispetto agli stati elettronici appartenenti alla banda di conduzione. Pertanto l’accoppiamento ottico fra la sottobanda di valenza SO (“split – off subband” – sottobanda di valenza splittata) e la BC è di fatto nullo: gli elettroni della sottobanda SO non sono promuovibili in BC dallo scattering con i fotoni, qualunque polarizzazione questi abbiano. In formule:

j

In figura 38 mostriamo lo spettro qualitativo del coefficiente di assorbimento ottico specifico α0(ђω), la cui

espressione analitica è riportata nella [e58]. Si noti che la famiglia di curve α0(ђω) è parametrizzata dalla

temperatura T alla quale si trova il fotorivelatore. Fissata una certa energia ottica incidente ђω > Egap, si verifica

che maggiore è T e minore è la concentrazione di elettroni in BV (cioè di stati iniziali | i >) e di stati accettori liberi in BC, ovvero minore è la sommatoria Σ| f >, nella [e54], sugli stati elettronici finali e quindi minore è la

Fig. 38

Spettro qualitativo del coefficiente di assorbimento ottico specifico α0(ђω) per un fotorivelatore di tipo bulk. Per ђω Egap i fotoni incidenti

sul fotorivelatore non interagiscono con gli elettroni atomici di valenza del semiconduttore, per cui il coefficiente di assorbimento è nullo (i fotoni non hanno energia sufficiente per essere assorbiti): si parla di “trasparenza passiva” del materiale nei confronti della luce incidente. Per ђω Egap i fotoni possono essere assorbiti, e la probabilit{ di assorbimento degli stessi aumenta all’aumentare della loro energia ђω

rispetto ad Egap: l’incremento di α0(ђω) è proporzionale, fissato un certo valore di T (temperatura del fotorivelatore), alla densità di stati

congiunta tridimensionale 2Djoint(E). Fissata una certa energia ottica incidente ђω > Egap, si verifica che maggiore è T e minore è la

concentrazione di elettroni in BV e di stati accettori liberi in BC, quindi minore è la probabilità di assorbimento dei fotoni aventi energia Eγ =

ђω. Ciò spiega la parametrizzazione della famiglia di curve α0(ђω) rispetto a T.

5.3.3.3) Stima delle variazioni spettrali del coefficiente di assorbimento ottico specifico α

(ђω)

Nel documento Tecnologia della fotorivelazione basata su dispositivi a semiconduttore - Matematicamente (pagine 75-80)