Per stimare il rate di decadimento degli elettroni dalla BC alla BV è necessario applicare la regola d’oro di Fermi, riportata nella [e28], al caso particolare di transizione elettronica BC BV. Riscriviamo quindi la regola d’oro di Fermi nel caso di decadimento elettronico radiativo BC BV, senza specificarne il carattere spontaneo oppure stimolato:
W
EM(|i>) = W
EMsp(|i>) + W
EMst(|i>) =
δ(|E
f– E
i| + ђω) [e34]
WEM(|i>) rappresenta il rate (cm-3s-1) di decadimento elettronico radiativo totale BC BV, ovvero la somma fra
il rate WEMsp( |i>) di decadimento elettronico radiativo spontaneo ed il rate WEMst( |i> ) di decadimento
elettronico radiativo stimolato. Sappiamo inoltre che:
=
HF, come spiegato nel paragrafo 4.3, è il termine hamiltoniano fotoperturbativo. Come già osservato il potenziale
vettore è dato da:
= A
0dove A0 è il modulo del potenziale vettore. Nella teoria quantistica dei campi A0 può essere altresì visto come
un’applicazione lineare matriciale esprimibile nella forma seguente, nel caso di emissione ottica da parte del cristallo semiconduttore:
A
0=
V è l’elemento di volume, all’interno dell’intero cristallo semiconduttore, nel quale avviene lo scattering tra i fotoni e gli elettroni atomici che si trovano in BC; in altri termini V è il volume della regione del cristallo soggetta ad illuminazione. rappresenta “l’operatore quantistico di creazione” per i fotoni (che sono bosoni, da cui la lettera “b” con la quale solitamente si indica tale operatore) all’interno di un cristallo semiconduttore, il quale è stato “pompato” da una corrente elettrica imposta dall’esterno, come avviene per i LASERs a semicoduttore (LASERs “a quattro livelli”) e per quelli non a stato solido (ad esempio costruiti con un tubo a vuoto riempito con una miscela costituita per il 15% di elio e per l’85% di neon), oppure da un una sorgente ottica esterna, come per
i LASERs al rubino e per quelli in fibra di silice drogata con erbio (LASERs “a tre livelli”), oppure ancora da una
sorgente termica. L’operatore quantistico di creazione è uno strumento matematico che implementa, nella
regola d’oro di Fermi applicata all’emissione ottica, il fenomeno di creazione di un fotone in seguito ad una transizione che porta un elettrone dalla BC alla BV spontaneamente oppure in seguito ad una sollecitazione
(stimolazione) fotonica incidente. Se | > = | > rappresenta lo stato fotonico corrispondente alla situazione di
assenza di luce nel cristallo, cioè assenza di fotoni, il fenomeno dell’emissione di un fotone in seguito ad una
ricombinazione spontanea elettrone/lacuna (in un semiconduttore) è implementato dall’applicazione di sullo
stato “di buio” | > = | >, la quale fornisce, come risultato, lo stato fotonico | > = | > corrispondente alla
presenza di un fotone emesso spontaneamente.
|
> = |
>
|
> = |
>
In generale se | > = | > rappresenta lo stato fotonico corrispondente alla propagazione, attraverso il
cristallo, di un fascio di luce formato da n fotoni, il fenomeno dell’emissione di un ulteriore fotone, causata da una ricombinazione spontanea elettrone/lacuna oppure da una stimolata, è implementato dall’applicazione di sullo stato iniziale | > = | >, la quale fornisce, come risultato, lo stato fotonico finale | > = | >. In
altre parole l’azione dell’operatore di creazione su uno stato quantistico | > incrementa di un’unit{ il numero di
particelle di | >.
|
> = |
>
|
> = | >
Lo stato fotonico | >, la cui norma aumenta al susseguirsi delle emissioni ottiche spontanee e/o stimolate
attraverso il materiale, può essere espresso, come è ben noto, attraverso una funzione d’onda simmetrica (tipica dei bosoni, così come quella antisimmetrica è caratteristica dei fermioni) oppure, utilizzando la notazione di
Heisemberg, con un vettore colonna sviluppato su un’opportuna base ortonormale. Quindi l’operatore di
creazione è esprimibile con una matrice ; tale matrice costituisce un’applicazione lineare che ha come
dominio lo stato fotonico | > e come immagine lo stato fotonico | >, il quale consta di un fotone in più
rispetto a | >, ragion per cui abbiamo che > . Proponiamo di seguito la matrice di creazione
fotonica :
=
Abbiamo tutti gli elementi per esprimere la [e34] in una forma più esplicita:
W
EM(|i>) =
δ(|E
f– E
i| + ђω) [e35]
dove l’operatore di creazione trasforma lo stato totale iniziale | > nello stato totale finale | >.
Svolgendo alcuni calcoli nella [e35] otteniamo la seguente espressione:
W
EM(|i>) =
δ(|E
f– E
i| + ђω) [e36]
dove è lo stato dell’elettrone quando questo si trova in BC, ovvero prima dell’emissione ottica prodotta dal
fotonica avvenuta. Il termine exp rappresenta l’onda piana, di numero d’onda kγ, associata al fotone
generato dalla ricombinazione elettrone/lacuna, mentre il termine compreso tra parentesi graffe, al numeratore della [e36], indica il subentramento di un ulteriore fotone nel fascio luminoso che inizialmente (cioè prima della
ricombinazione elettrone/lacuna) constava di fotoni propaganti. Lo stesso termine tra parentesi graffe
consente di separare, nel rate totale WEM(|i>) di emissione ottica, la componente WEMsp(|i> ) dovuta alla
ricombinazione spontanea elettrone/lacuna da quella WEMst( |i> ) dovuta alla ricombinazione stimolata. In
formule:
W
EMsp(|i>) =
δ(|E
f– E
i| + ђω) [e37]
W
EMst(|i>) =
δ(|E
f– E
i| + ђω) [e38]
Nella [e37], rispetto alla [e38], manca il numero di fotoni propaganti nel cristallo prima dell’emissione ottica
spontanea, poiché quest’ultima non dipende dalla luce che attraversa il semiconduttore (la luce infatti non funge da stimolo per il decadimento spontaneo radiativo). Questo è il motivo per cui nella [e37] manca, sempre rispetto alla [e38], anche l’overlap tra il vettore unitario di polarizzazione della luce incidente (la quale, infatti, è come se non ci fosse, dato che il cristallo può emettere spontaneamente fotoni anche partendo da una
condizione di buio, cioè con = 0) ed il vettore impulso dell’elettrone in BC. La [e38] dipende invece sia dal
numero totale di fotoni “potenziali stimolatori” che dalla regola di selezione ; quest’ultima infatti
seleziona quali fotoni, tra gli complessivi, presentano una probabilità non nulla ( > 0) di stimolare il
decadimento di un elettrone di conduzione, avente impulso , verso la BV.
Osservando la [e38] si evince che maggiore è il pompaggio al quale è sottoposto il semiconduttore con cui è realizzato un LASER e maggiore è il numero di stati elettronici | i > pieni in BC (occupati dagli elettroni minoritari iniettati) e di stati elettronici | f > vuoti in BV (stati finali permessi agli elettroni, ovvero occupati dalle lacune minoritarie iniettate); questi ultimi possono essere occupati dagli elettroni che decadono dalla BC alla BV. Dunque maggiore è il pompaggio e maggiore è la sommatoria sugli stati di arrivo | f > degli elettroni che sono in procinto di essere stimolati a decadere in BV. Osservando la [e37] si evince altresì che maggiore è l’iniezione di portatori minoritari all’interno della zds di un LED e maggiore è il numero di stati elettronici | f > vuoti in BV (sono sempre stati finali permessi), che possono essere riempiti dagli elettroni che decadono spontaneamente dalla BC alla BV, cioè stati che consentono la transizione elettronica spontanea | i > | f >. Quindi maggiore è la
corrente d’iniezione IBIAS di elettroni in BC e di lacune in BV (che può andare da qualche mA a qualche decina di
mA), a cui sottoponiamo un semiconduttore, e maggiore è WEMsp(|i>), cioè minore è il tempo di vita medio τR
radiativo (“radiative lifetime”) degli elettroni in BC e delle lacune in BV, come si può notare dal grafico sperimentale mostrato in figura 33, dove riportiamo l’andamento di τR in funzione della concentrazione n = p
Fig. 33
Grafico sperimentale del tempo di vita medio τR radiativo (“radiative lifetime”) degli elettroni in BC e delle lacune in BV in funzione della
concentrazione n = p delle coppie elettrone/lacuna, iniettate nella zds di un LED costruito con GaAs. Per correnti d’iniezione IBIAS molto deboli
(qualche mA, come ordine di grandezza), cioè per n = p cm-3, siamo in presenza di bassa iniezione di minoritari, pertanto il
tempo di vita medio degli elettroni in BC e delle lacune in BV è alto (dell’ordine dei μs). Per correnti d’iniezione IBIAS adeguate (qualche decina
di mA, come ordine di grandezza), cioè per n = p cm-3, siamo in presenza di alta iniezione di minoritari, pertanto il tempo di
vita medio degli elettroni in BC e delle lacune in BV è piccolo (dell’ordine dei ns).
Per stimare il rate di assorbimento dei fotoni è necessario applicare sempre la regola d’oro di Fermi, però stavolta al caso particolare di transizione elettronica BV BC. Riscriviamo quindi la regola d’oro di Fermi nel caso di assorbimento ottico:
W
ABS(|i>) =
δ(|E
f– E
i| – ђω) [e39]
sempre con:
=
= A
0Nella teoria quantistica dei campi A0 può essere visto come un’applicazione lineare matriciale esprimibile nella
forma seguente, nel caso di assorbimento fotonico da parte del cristallo semiconduttore:
A
0=
V è l’elemento di volume, all’interno dell’intero cristallo semiconduttore, nel quale avviene lo scattering tra i fotoni e gli elettroni atomici che si trovano in BV; V è sempre il volume della regione del cristallo soggetta ad illuminazione. rappresenta “l’operatore quantistico di distruzione” per i fotoni all’interno di un cristallo semiconduttore. La fotorivelazione basata su dispositivi (giunzioni) a semiconduttore sfrutta il trascinamento, imposto da una polarizzazione inversa applicata dall’esterno, di coppie elettrone/lacuna la cui generazione è causata proprio dall’assorbimento dell’energia luminosa da parte degli elettroni atomici in BV; tale assorbimento comporta la distruzione dei fotoni stessi. L’operatore quantistico di distruzione è uno strumento matematico
che implementa, nella regola d’oro di Fermi applicata all’assorbimento ottico, il fenomeno di distruzione di un fotone grazie al quale un elettrone passa dalla BV alla BC. In generale se | > = | > rappresenta lo stato
fotonico corrispondente alla propagazione, attraverso il cristallo, di un fascio di luce formato da n fotoni, il
fenomeno dell’assorbimento di uno degli n fotoni è implementato dall’applicazione di sullo stato iniziale | >
= | >; questa applicazione fornisce, come risultato, lo stato fotonico finale | – > = | – >. In altre parole
l’azione dell’operatore di distruzione su uno stato quantistico | > decrementa di un’unit{ il numero di particelle
di | >.
|
> = |
–>
|
> = | – >
Lo stato fotonico | >, la cui norma si depaupera al susseguirsi degli assorbimenti di fotoni, può essere
espresso attraverso una funzione d’onda simmetrica oppure con l’utilizzo di un vettore colonna , secondo la
notazione di Heisemberg, sviluppato su un’opportuna base ortonormale. Utilizzando la notazione di Heisemberg
l’operatore di distruzione è esprimibile da una matrice ; tale matrice costituisce un’applicazione lineare
che ha come dominio lo stato fotonico | > e come immagine lo stato fotonico | >, il quale consta di un fotone
in meno rispetto a | >, ragion per cui abbiamo che < . Proponiamo di seguito la matrice di
distruzione fotonica :
=
=
Abbiamo tutti gli elementi per scrivere la [e39] in una forma più esplicita:
W
ABS(|i>) =
–
δ(|E
f– E
i| – ђω) [e40]
dove l’operatore di distruzione trasforma lo stato totale iniziale | > nello stato totale finale | – >.
Svolgendo alcuni calcoli nella [e40] otteniamo la seguente espressione:
W
ABS(|i>) =
δ(|E
f– E
i| – ђω) [e41]
dove è lo stato dell’elettrone quando questo si trova in BV, ovvero prima dell’assorbimento ottico, è
lo stato dell’elettrone dopo che questo è stato promosso in BC, cioè ad assorbimento avvenuto. Il termine
exp rappresenta l’onda piana associata al fotone assorbito dall’elettrone atomico. Maggiore è il
numero nph di fotoni che attraversano il cristallo e maggiore è il rate WABS(|i>) di assorbimento, cioè maggiore è