Supponiamo adesso di avere un dispositivo costruito con un semiconduttore a gap indiretto, drogato oppure intrinseco, e di rompere l’equilibrio termico inviando su di esso una radiazione luminosa pluricromatica.
Fig. 34
Diagramma a bande qualitativo di un semiconduttore a gap indiretto (drogato oppure intrinseco), con il quale può essere realizzato un fotorivelatore. L’equilibrio termico è alterato da una radiazione luminosa pluricromatica. Si noti l’adattamento del modello a bande a quello, più semplice, costituito da due livelli energetici (E1 ed E2), ciascuno visto come il livello medio di un ristretto range di livelli energetici (ΔE1 e
ΔE2). N1 è la popolazione di ΔE1, N2 quella di ΔE2 (più precisamente sono concentrazioni di popolazioni). Le funzioni di probabilità di
occupazione f1(E) ed f2(E) indicano che i livelli medi hanno la maggiore probabilità di essere popolati dagli elettroni. Sui range energetici ΔE1
e ΔE2 sono distribuiti elettroni che supponiamo di poter trattare come particelle classiche (fBZ(E) indica la distribuzione statistica di Maxwell
– Boltzman).
Riferiamoci alla figura 34: gli elettroni in BC, così come le lacune in BV, sono riconducibili sia all’attivit{ ordinaria di generazione e ricombinazione termiche, sia all’eventuale drogaggio. Supponiamo di poter trattare il sistema di elettroni come un insieme di particelle classiche, ovvero non interagenti fra loro: stiamo quindi ipotizzando che la lunghezza d’onda λ di De Broglie degli elettroni in BV sia abbastanza più piccola della distanza media di separazione degli elettroni, ovvero della costante reticolare “a” del semiconduttore, e che gli elettroni in BC siano pochi (temperature e livelli di drogaggio ordinari), così che la precedente relazione fra λ ed “a” sia verificata. In altre parole stiamo ipotizzando che dato l’insieme degli elettroni in BV ed in BC, cioè l’insieme di tutti gli elettroni atomici di valenza del cristallo, gli operatori hamiltoniani k commutano fra loro, dove ciascun k è
l’hamiltoniano che descrive l’energia totale del singolo elettrone . Ciascun elettrone risulta distinguibile dagli altri elettroni del sistema sia nello spazio reale delle coordinate x, y, z, poiché λ << “a”, pertanto la densit{ di
probabilità dell’elettrone non si sovrappone a quella degli altri elettroni atomici in modo significativo,
sia nello spazio reciproco dei vettori d’onda k, poiché lo spettro di Fourier F dell’elettrone , in quanto approssimabile con una delta di Dirac, non si sovrappone agli spettri degli altri elettroni. Assumiamo pertanto
che tutti gli elettroni, sia in BV che in BC, obbediscano alla statistica classica di Maxwell – Boltzman fBZ(E) = C
.
Adattiamo il modello a bande a quello, più semplice, costituito dai due livelli energetici E1 ed E2. E1 è un livello
appena al di sotto del massimo EV della BV, intorno al quale è distribuita la funzione f1(E) di probabilità di
occupazione (da parte degli elettroni) dei livelli. E1 può essere visto come il valor medio di un certo intervallo di
livelli energetici ΔE1, tutti collocati ad di sotto del massimo della BV: al valor medio E1 è associata la massima
probabilità di occupazione, mentre allontanandosi da E1 la probabilità diminuisce. ς1 è la deviazione standard di
f1(E). N1 è la popolazione di ΔE1. E2 è un livello appena al di sopra del minimo EC della BC, intorno al quale è
distribuita la funzione f2(E) di probabilità di occupazione (sempre da parte degli elettroni) dei livelli. E2 può
essere visto come il valor medio di un certo intervallo di livelli energetici ΔE2, tutti collocati ad di sopra del
minimo della BC: al valor medio E2 è associata la massima probabilità di occupazione, mentre allontanandosi da
E2 la probabilità diminuisce. ς2 è la deviazione standard di f2(E). N2 è la popolazione di ΔE2. In base a quanto
detto finora possiamo scrivere:
E
gapE
2– E
1= hν
0dove ν0 è la frequenza della luce incidente in corrispondenza della quale si ha la massima probabilità di
assorbimento fotonico, così come la massima probabilità di emissione di fotoni, mediante la ricombinazione dei
portatori. Spostandosi da ν0 lungo l’asse delle frequenze ν osserviamo una diminuzione della probabilità di
transizione degli elettroni fra ΔE1 e ΔE2. Possiamo definire una funzione di “probabilit{ di transizione” g(ν)
(misurata in secondi), nota come “Line Shape”, che per un insieme di elettroni riconducibile ad un sistema a due livelli energetici è approssimabile con una funzione gaussiana.
g(ν) N(ν
0,
)
g(ν) =
Fig. 35
Grafico qualitativo della distribuzione di “probabilit{ di transizione” g(ν), nota come “Line Shape”: si noti che per un insieme di elettroni, riconducibile ad un semplice sistema a due livelli energetici, g(ν) è approssimabile con una funzione gaussiana. ν0 è il “centro banda” della
ν è una “variabile aleatoria gaussiana”, la frequenza ν0 è nota come “centro banda” della Line Shape e costituisce
il valor medio (detto anche “intensit{”, oppure “valore atteso”) della distribuzione gaussiana, mentre ςg
(= ) è la sua deviazione standard; ςg2 è la varianza di ν. Avendo ipotizzato che il semiconduttore ha
gap indiretto è ragionevole attendersi che la ricombinazione spontanea radiativa banda → banda sia decisamente improbabile, in quanto tale transizione spontanea necessiterebbe dell’intervento di un modo vibrazionale fononico “favorevole”, al fine della conservazione della quantit{ di moto. Inoltre ipotizziamo che le
concentrazioni di trappole energetiche all’interno del gap siano trascurabili e che la popolazione elettronica N2
non sia trascurabile rispetto a quella N1. Pertanto la ricombinazione banda → trappole → banda è trascurabile
rispetto a quella stimolata. Possiamo altresì affermare che le uniche transizioni ottiche significative sono quelle relative all’assorbimento fotonico e all’emissione stimolata. Dunque l’equazione di continuit{ diventa:
= − B
12]ρ
col(ν)
Si noti la correzione apportata al termine che costituisce lo spettro di assorbimento e di emissione stimolata dei fotoni da parte del semiconduttore, che è assolutamente diverso dagli spettri di assorbimento e di emissione di corpo nero. ρcol(ν) è infatti una densit{ spettrale volumetrica di energia “colorata”, ovvero uno spettro che
“concentra” la densit{ volumetrica di energia di corpo nero (µ) presso quelle sole frequenze ν per le quali si ha, effettivamente, una probabilità di transizione (assorbimento/emissione stimolata) non nulla, ovvero in quelle frequenze presso le quali si ha un valore non nullo della Line Shape g(ν). In formule:
ρ
col(ν) = g(ν)µ = g(ν)
ρ [J/m
3Hz]
Ricordando che, all’interno di un fascio di luce pluricromatica incidente, è possibile definire l’intensit{ luminosa Iν come il numero di fotoni Nφ, tutti aventi energia hν, che attraversano una superficie unitaria nell’unit{ di
tempo, è immediato esprimere lo spettro di assorbimento e di emissione stimolata del semiconduttore come:
ρ
col(ν) =
g(ν)
da cui si ha che:
= − B
12]
g(ν) [e43]
N2(t) − N1(t) è la ben nota “inversione di popolazione”, che è negativa nel caso dei materiali con cui sono costruiti
i fotorivelatori (N2 < N1, come è logico aspettarsi per un sistema a temperature ordinarie e all’equilibrio termico,
e come è indicato anche dalla statistica di Maxwell – Boltzman). Il fatto che N2 < N1 comporta il prevalere del rate
di assorbimento di fotoni, da parte del materiale, rispetto al rate di emissione stimolata, e infatti il segno positivo
del differenziale di N2(t) indica proprio l’incremento, nel tempo, della popolazione del livello energetico E2, ossia
l’aumento della concentrazione di elettroni in BC (elettroni promossi in BC dall’assorbimento fotonico netto). La Line Shape g(ν) rappresenta, qualitativamente, lo spettro di assorbimento e di emissione stimolata, dipendente dal semiconduttore che viene irradiato dalla luce, dal suo drogaggio e dalla sua temperatura.