Nel grafico della compatibilità reticolare fra semiconduttori, mostrato in figura 58, possiamo notare che l’energia di gap Egap è inversamente proporzionale alla parte reale nr’(ω) = Re dell’indice di rifrazione ). È
interessante spiegarne brevemente il motivo. Ammettiamo, per semplicità espositiva, di avere un sistema
elettronico che consta unicamente di due livelli energetici EC ed EV, come mostrato nella parte sinistra di figura
80. Abbiamo quindi un materiale, ovviamente solo teorico (non esistente in natura), in cui il complesso sistema energetico a bande E(k), tipico dei cristalli reali, è rappresentato, qualitativamente, da un livello energetico
fondamentale EV, dove gli elettroni sono stabili, cioè il loro tempo di vita medio è infinito, ed un livello energetico
metastabile EC, dove gli elettroni sono stabili solo per breve tempo, cioè il loro tempo di vita medio è finito. I due
livelli sono separati da un gap di energia pari a Egap = ђω0, analogamente a quanto accade nei semiconduttori,
dove il minimo della BC ed il massimo della BV sono appunto separati da un gap Egap caratteristico di ciascun
semiconduttore. Supponiamo di inviare, sul materiale energeticamente rappresentato dal semplice sistema a due
livelli EC ed EV, un fotone di energia ђω ђω0. È evidente che non esiste alcuno stato elettronico permesso in cui
è localizzato un elettrone atomico in grado di assorbire l’energia ottica ђω e altresì non esiste alcuno stato elettronico permesso che può accogliere l’elettrone atomico, dopo che questo ha scatterato con il fotone incidente. In altre parole non esiste nessuna coppia di stati elettronici permessi | i > e | f > separati da un’energia pari a ђω, ovvero l’energia fotonica incidente ђω non può accoppiare nessuno stato iniziale | i >, avente energia E, con nessuno stato finale | f >, avente energia E + ђω. Quindi il materiale presenta, nei confronti del fotone, una trasparenza passiva che consente a quest’ultimo di attraversare l’intero cristallo senza interagire con gli elettroni
atomici. Il materiale, per qualunque pulsazione ottica incidente ω ω0, è trasparente, ovvero non assorbente, ed
i suoi elettroni non scatterano in alcun modo con i fotoni di energia ђω ђω0, come del resto risulta evidente
applicando rigorosamente la regola d’oro di Fermi. In altri termini il materiale non si oppone in alcun modo al suo attraversamento da parte della suddetta radiazione luminosa. Se invece irradiamo il materiale con un fotone di energia ђω ђω0 e polarizzato secondo il versore , la probabilità che un elettrone, posizionato sul livello
energetico fondamentale (stabile) EV, avente quantità di moto , scatteri con il fotone e venga promosso sul ivello
energetico metastabile EC = EV + ђω0, cioè la probabilità che il cristallo assorba il fotone, non è nulla. Tale
probabilità dipende dall’overlap fra e , cioè dall’elemento di matrice P della quantit{ di moto dell’elettrone, la cui espressione è, come noto, la seguente:
P =
=
Pertanto lo spettro di assorbimento ottico specifico α(ω) del materiale è costituito da una delta di Dirac δ(ω –
ω0), posizionata appunto presso la pulsazione ottica ω0, mentre risulta nullo per qualunque valore di ω diverso
da ω0. Ciò significa che per ω ω0 il materiale non è assorbente, ovvero non si oppone in alcun modo al flusso
fotonico che lo attraversa (α(ω ω0) = 0, opposizione alla luce incidente nulla per ω ω0), mentre per ω = ω0 il
materiale è assorbente e pertanto si oppone in modo perfetto alla luce incidente, “distruggendo” appunto il
fotone (α(ω = ω0) = δ(ω = ω0) , opposizione alla luce incidente infinita, perfetta, per ω = ω0). Lo spettro di
assorbimento ottico specifico α(ω) del materiale, in osservanza alla formula riportata nella [e25], è
proporzionale alla parte immaginaria nr’’(ω) = Im dell’indice di rifrazione ) del mezzo, e
conseguentemente alla parte immaginaria ε2(ω) = Im della costante dielettrica relativa del mezzo, come si
può osservare nella parte destra di figura 81.
Per calcolare lo spettro della parte reale ε1(ω) = Re della costante dielettrica relativa del materiale,
anch’essa riportata nella parte destra di figura 81, dove ε1(ω) è proporzionale alla parte reale nr’(ω) = Re
dell’indice di rifrazione ) del cristallo, è necessario invocare l’espressione di Kramers – Kronig che lega, dato
un certo materiale, per noi un semiconduttore, lo spettro di nr’(ω) con quello dell’assorbimento ottico specifico
α(ω). In formule:
n
r’(ω
0) – 1 =
P
[e74]
dove c è la velocit{ della luce e P è l’elemento di matrice della quantit{ di moto dell’elettrone in procinto di scatterare con il fotone incidente, il quale possiede energia pari ad ђω. La struttura energetica a due livelli del materiale preso in esame impone, come gi{ spiegato, che lo spettro dell’assorbimento ottico specifico α(ω)
assuma l’andamento a delta di Dirac, colorato in blu nella parte destra di figura 81. Pertanto la [e74] assume la seguente forma:
n
r’(ω
0) – 1 =
P
da cui:
ε
1(ω) = Re n
r’(ω) = Re
1 +
Lo spettro di ε1(ω) assume pertanto l’andamento approssimato a forma di ramo di iperbole equilatera, colorato
in rosso nella parte destra di figura 81.
Fig. 81
A sinistra è mostrata la semplice struttura energetica a due livelli (uno inferiore, stabile, ed uno superiore, metastabile) di un ipotetico materiale irradiato da un fotone di energia ђω. Il fotone è polarizzato secondo un versore di polarizzazione , mentre l’elettrone, in procinto di scatterare con il fotone, possiede un impulso . A destra sono mostrati gli spettri della parte reale ε1(ω) e della parte immaginaria ε2(ω)
della costante dielettrica relativa ε(ω) dell’ipotetico materiale in esame. Adattando il modello elettronico a due livelli di energia a quello, molto più complesso, del diagramma a bande E – k di un semiconduttore, si evince chiaramente la proporzionalità inversa che sussiste fra Egap = ђω0 e la parte reale nr’(ω) dell’indice di rifrazione nr(ω) di un qualunque semiconduttore.
Il divario energetico ђω0 fra i due livelli EC ed EV, come già accennato, può assumere il significato fisico di gap di
energia Egap caratteristico del diagramma a bande E – k in un semiconduttore. Pertanto per materiali cristallini
aventi un gap Egap = ђω0 molto grande, cioè una pulsazione ottica di assorbimento (in generale di transizione
ottica) ω0 molto grande, la parte reale ε1(ω) = Re della costante dielettrica relativa del materiale tende ad
1, ovvero al suo valore minimo, pertanto la parte reale nr’(ω) = Re dell’indice di rifrazione del materiale
tende ad 1, che rappresenta, come noto, il suo valore minimo. Il valore di ε1(ω), e quindi di nr’(ω), è esattamente
pari ad 1 solo nel caso in cui Egap = ђω0 tende all’infinito (ω0 ), e ciò accade in un ambiente privo di stati
elettronici permessi, ovvero nel vuoto. Viceversa più ω0 è piccola, ovvero più l’energia di gap Egap = ђω0 del
materiale è piccola, e più ε1(ω), e quindi nr’(ω), è grande. Dunque la proporzionalità inversa fra Egap e nr’(ω) =