Esaminiamo nuovamente la figura 131: confrontando l’andamento del fotosegnale VL(t), ottenuto dall’ideale
equivalenza circuitale, con quello reale, rilevato sperimentalmente (l’impulso “s”, ovvero la risposta del SiPM ad un singolo evento luminoso, possibilmente un singolo pixel), si nota che in quest’ultimo sono presenti importanti fluttuazioni. Abbiamo già esaminato e modellizzato alcune delle principali sorgenti di rumore nei fotorivelatori. Va detto, tuttavia, che l’elevato guadagno di una microcella Geiger consente di estrarre assai efficacemente il fotosegnale da alcuni rumori, quali ad esempio la corrente dovuta all’estrazione di minoritari termici, in virtù della polarizzazione inversa (corrente di dark bulk), oppure la corrente dovuta all’impattazione ionica, di questi ultimi portatori, all’interno della regione di moltiplicazione (corrente di ionizzazione), ecc… Queste correnti di rumore risultano di scarsa importanza, se confrontate con il fotosegnale VL(t), e ciò costituisce il principale
vantaggio della modalità di funzionamento Geiger. Tuttavia il pixel non è esente da disturbi: infatti risulta affetto da fluttuazioni stocastiche, di natura termica, note come “dark count rate” (frequenza di eventi di buio), tanto più importanti quanto maggiori sono la temperatura del Si ed il voltaggio inverso |V| a cui il SiPM è soggetto. All’interno della regione p a campo elevato, della singola microcella, avvengono, nell’unit{ di volume e di tempo, un certo numero di generazioni e ricombinazioni di coppie di portatori. Come sappiamo un elettrone, per motivi termici, ha una certa probabilità di attraversare la barriera di potenziale costituita dal gap e di andare in BC, lasciando una lacuna in BV. La termogenerazione di questo elettrone non è distinguibile da una fotogenerazione che avviene nello stesso istante, dal momento che entrambi gli elettroni, andando in BC, forniscono al Si una corrente impulsiva a delta di Dirac, la quale viene “filtrata” dal semiconduttore del pixel e proposta, in uscita,
sulla griglia di Al. Quest’ultimo segnale ha la nota forma h(t). Dunque l’impulso h(t) derivante da un reale evento
di fotoni è indistinguibile da quello dovuto ad una generazione termica, ed è tale simultanea sovrapposizione a costituire le fluttuazioni osservabili nella misura sperimentale di VL(t), riportata in figura 131, soprattutto
durante la scarica Geiger. L’ampiezza del disturbo h(t), ovvero Dk, è una grandezza statistica e dipende dal kesimo
evento termico e moltiplicativo.
Fig. 133
Rappresentazione del processo stocastico di generazione termica granulare (G) di elettroni in BC (il cui tempo caratteristico è pari a τe0),
all’interno della regione di moltiplicazione (p) di una singola microcella GM – APD. La termogenerazione di portatori, indistinguibile dalla fotogenerazione dovuta alla luce che irradia il SiPM, non è inibita dal fatto che il silicio, con cui è realizzato il SiPM, ha gap indiretto: i deep levels possono provvedere a mediare il processo G, rendendolo più probabile.
Ciascun pixel, al buio, può essere visto come un sistema lineare che riceve in ingresso un certo numero di
termogenerazioni elettroniche al secondo, ovvero di funzioni delta, ciascuna in un istante poissoniano tk, e che
emette sulla griglia quello stesso numero di impulsi di buio Dkh(t – tk) al secondo, i quali si sommano fra loro,
producendo una corrente Idarkpix(t). La somma di tutte le Idarkpix(t) costituisce una Idark(t) che, attraversando RL,
produce la Vdark(t) che si sovrappone alla VL(t) ed il cui effetto è ben visibile sul display dell’oscilloscopio, come
mostrato in figura 131. Il fatto che il gap del Si sia indiretto non costituisce un serio motivo di attenuazione del dark count rate, che può arrivare ad alcuni MHz, dal momento che la termogenerazione può essere intermediata, dunque incentivata, dalla presenza dei deep levels, i quali catturano un portatore e, successivamente, lo liberano, facilitandone il superamento del gap.
Con riferimento alla figura 133 possiamo affermare che il rate di generazione granulare termica netta per gli
elettroni, indicato con G, è formato da un rate di assorbimento elettronico da parte delle impurezze (rae) e da un
rate di emissione elettronica da parte delle stesse (ree). rae indica appunto il numero di elettroni di valenza
sull’unit{ di volume e di tempo, all’interno della regione di moltiplicazione (p) della singola microcella GM – APD, che vengono catturati dai deep levels, supponendo che questi si trovino tutti sullo stesso livello energetico ET.
L’assorbimento di un elettrone da parte di una trappola equivale all’emissione di una lacuna, verso la BV, da
parte della stessa trappola, per cui rae può essere espresso come:
r
ae= P
hN
T[1 – f(E
T)] [cm
-3s
-1]
Ph rappresenta la probabilità di emissione delle lacune in BV, ossia di cattura degli elettroni di valenza nei centri
intrappolatori all’interno del gap, mentre NT [1 - f(ET)] corrisponde alla concentrazione di trappole, sul livello ET,
libere da elettroni (f è ovviamente la distribuzione di Fermi – Dirac).
ree indica il numero di elettroni, in un primo momento catturati dei deep levels, all’interno della regione di
moltiplicazione (p) della singola microcella GM – APD, che vengono rilasciati dalle impurezze sull’unit{ di volume e di tempo, supponendo che questi centri di intrappolamento si trovino tutti sullo stesso livello energetico ET. ree può essere espresso come:
r
ee= P
nN
Tf(E
T) [cm
-3s
-1]
Pn rappresenta la probabilità di rilascio degli elettroni in BC (può essere interpretata anche come la probabilità
con cui la trappola cattura una lacuna proveniente dalla BC), mentre NTf(ET) corrisponde alla concentrazione di
trappole, sul livello ET, occupate da elettroni.
È evidente che l’analisi fin qui condotta riferita agli elettroni vale, in modo del tutto analogo, anche per le lacune.
L’espresione del rate netto di generazione termica G, al quale contribuiscono rae e ree, è riportata di seguito ed è
nota come “equazione di Shockley – Read – Hall”:
G =
[cm
-3s
-1]
È immediato osservare come questo tasso di generazione sia tanto maggiore quanto più il semiconduttore è fuori
dall’equilibrio, ossia quanto più np , e quindi quanto più la polarizzazione inversa |V| è forte, e quanto più i
centri di intrappolamento, supposti tutti sul livello energetico ET, sono collocati vicino al centro del gap: infatti se
ET EFi (livello di Fermi intrinseco), il coseno iperbolico tende ad 1, ovvero al suo valor minimo, e quindi G tende
al suo valor massimo (a parità di tutte le altre condizioni). vth è la velocità termica degli elettroni e delle lacune e
ς ( ςn ςp) è la sezione d’urto di cattura, caratteristica delle trappole, per gli elettroni e per le lacune.
Se fissiamo |V| e aumentiamo la temperatura, assistiamo ad un aumento del rate relativo ai processi di generazione e ricombinazione termiche: abbiamo, nell’unit{ di volume e di tempo, un maggior numero di elettroni che vanno in BC e quindi un maggior numero di delta di Dirac in ingresso al pixel, ovvero un maggior numero di impulsi Dkh(t – tk); pertanto Idarkpix(t) è più elevata, e di conseguenza lo è anche la Vdark(t) che si
sovrappone al fotosegnale utile VL(t). Infatti se definiamo τe0 e τh0 come i tempi caratteristici dei procesi di
cattura e rilascio da parte delle trappole, rispettivamente, degli elettroni e delle lacune, secondo le seguenti espressioni:
τ
e0
τ
h0possiamo notare che all’aumentare della temperatura vth aumenta, e quindi τe0 e τh0 diminuiscono, i processi di
cattura e rilascio suddetti diventano più frequenti ed il dark count rate risulta più alto (Vdark(t) è più importante).
ni = ni(T) è una funzione crescente della temperatura (per T abbastanza alte è, in pratica, una funzione
esponenziale), secondo la nota relazione:
n
i(T) =
dove NC ed NV sono le ben note densità di stati equivalenti in BC e in BV (citate nel paragrafo 4.1).
Se fissiamo la temperatura T e aumentiamo l’overvoltage ΔV, assistiamo ad un incremento lineare della concentrazione, al secondo, di impulsi di buio, oltre ad un aumento di < Dk >. Ciò comporta un incremento di
Vdark(t). Da qui si comprende l’inopportunit{ di polarizzare un SiPM con |V| troppo alta: esiste un valore ottimale
VPL che consente, anche in modalità Geiger, di massimizzare il SNR di microcella. Le proporzionalità del dark
count rate con T e ΔV sono illustrate graficamente in figura 134.
Fig. 134
Grafico semilogaritmico, ottenuto da misure in laboratorio, della dipendenza del dark count rate di un tipico SiPM dall’overvoltage ΔV, alla cui scala quotata è associata quella del guadagno, dovuto alla polarizzazione inversa |V| = VBD + ΔV. Le caratteristiche del dark count rate
sono parametrizzate dalla temperatuta T e risultano lineari rispetto all’overvoltage.