Per capire l’utilit{, nonché i limiti, del fotorivelatore PIN è necessario prima discutere le modalità con le quali la potenza ottica incidente viene assorbita dal materiale costituente un generico fotodiodo ed individuare le zone del dispositivo in cui l’assorbimento fotonico è vantaggioso e quelle in cui lo è meno. Prima ancora è opportuno ricordare le quattro modalità principali con le quali la luce interagisce con la materia (un semiconduttore, nel nostro caso), ovvero le quattro possibili interazioni (scatterings) tra i fotoni e gli elettroni atomici del cristallo investito dalla radiazione luminosa; tali interazioni comportano, come già visto genericamente nel paragrafo 4.3, delle transizioni elettroniche fra stati diversi (| i > | f >). Due di queste transizioni elettroniche sono spontanee, puramente quantistiche, ossia avvengono in assenza di perturbazioni luminose provenienti dall’esterno, mentre le altre avvengono solo in seguito ad una “stimolazione” da parte della luce incidente.
Fig. 31
Rappresentazione, mediante un sistema energetico a due livelli facilmente adattabile al più complesso modello a bande E(k) valido per i semiconduttori, delle quattro interazioni possibili fra luce e materia: 1) decadimento spontaneo non radiativo, 2) decadimento spontaneo radiativo, 3) decadimento stimolato radiativo, 4) assorbimento fotonico.
1) Decadimento spontaneo non radiativo
Gli elettroni che si trovano su un livello energetico E2 (E2 è un livello appartenente alla BC, nel caso in cui
il materiale sia un semiconduttore) hanno un tempo di vita medio τNR (NR = non radiativo), per cui gli
elettroni stazionano su quel livello energetico, ovvero possiedono quel valore di energia totale, mediamente per un intervallo di tempo pari a τNR, durante il quale gli elettroni rappresentano le N2
particelle che popolano il livello E2 (nel nostro modello N2 ed N1 costituiscono delle concentrazioni di
elettroni). Al termine di τNR gli elettroni decadono spontaneamente ad un livello energetico inferiore E1,
più stabile di E2. Gli elettroni non raggiungono il livello stabile E1 direttamente, ossia con un unico salto
energetico, cioè con un’unica transizione | i > | f >, bensì attraverso processi di “cattura (C) e rilascio (R)” da parte di stati energetici profondi (“deep levels”), ovvero trappole di varia natura, alle quali gli elettroni cedono progressivamente la differenza di energia E2 – E1. La differenza di energia viene
dissipata non mediante emissione di fotoni, bensì attraverso dei processi termici, quali ad esempio le vibrazioni modali delle impurezze (ad esempio le vibrazioni di metalli pesanti come Au, Cu, Fe, Cr, Cd e Co, posizionati nel cristallo semiconduttore in modo interstiziale) e dei vari difetti reticolari (di punto o di linea) che determinano le trappole energetiche profonde, ovvero stati permessi all’inteno del gap. Nel caso dei semiconduttori si parla di “ricombinazione (elettrone/lacuna) non radiativa banda → trappole
→ banda” o anche di “ricombinazione SRH (Shockley – Read – Hall)”. Nel caso in cui ci sia un solo “livello
energetico intrappolatore” ET a mediare il decadimento degli elettroni da E2 a E1, è possibile scrivere la
seguente formula per il rate di cattura (RC) di elettroni da parte delle trappole:
R
C= N
2ς
Tv
thN
T(1 − f(E
T)) [cm
-3s
-1]
Si noti come la probabilità con cui le trappole catturano gli elettroni è proporzionale:
alla concentrazione N2 di elettroni sul livello energetico instabile E2, che nei semiconduttori
coincide con la concentrazione di elettroni in BC
alla sezione di cattura ςT, per gli elettroni, dei centri di intrappolamento
alla velocità termica vth degli elettroni (più questi sono veloci, maggiore è il numero di trappole
“viste”, “visitate”, da ciascun elettrone nell’unit{ di tempo)
alla concentrazione di trappole libere NT(1 − f(ET)): NT è la concentrazione totale di trappole,
ipotizzando che siano tutte equienergetiche, mentre f(ET) è il valore assunto dalla funzione di
distribuzione di Fermi – Dirac all’energia del livello intrappolatore ET.
In modo del tutto analogo è possibile scrivere la seguente formula per il rate di rilascio (RR) di elettroni
da parte delle trappole, assumendo sempre che ci sia un solo livello energetico intrappolatore ET a
mediare il decadimento. Tuttavia è preferibile pensare al rilascio di elettroni come all’intrappolamento
di lacune provenienti da E1 (dalla BV), pertanto:
R
R= p ς
T’ v
thN
Tf(E
T) [cm
-3s
-1]
Si noti come la probabilità con cui le trappole catturano le lacune, ovvero rilasciano gli elettroni, è proporzionale:
alla concentrazione p di lacune sul livello energetico E1, ossia in BV
alla sezione di cattura ςT’, per le lacune, dei centri di intrappolamento
alla velocità termica vth delle lacune del livello energetico E1, ovvero della BV (più le lacune sono
veloci, ossia più gli N1 elettroni di E1 sono veloci, maggiore è il numero di trappole “visitate” da
ciascuna lacuna nell’unit{ di tempo)
alla concentrazione di trappole occupate (da elettroni) NT f(ET): NT è la concentrazione totale di
trappole, sempre ipotizzando che siano tutte equienergetiche, mentre f(ET) è il valore assunto
dalla Fermi – Dirac all’energia del livello intrappolatore ET.
Il decadimento spontaneo non radiativo, fin qui descritto, è molto più frequente nei semiconduttori a gap indiretto piuttosto che in quelli a gap diretto. Ad esempio per valori standard delle concentrazioni di elettroni iniettati in BC e di lacune iniettate in BV ( < n = p < ), all’interno della zona di
svuotamento zds di molti tipi di LEDs, abbiamo che mediamente nel silicio (gap indiretto) solo una coppia elettrone/lacuna su centomila da luogo, ricombinandosi, ad emissione spontanea (tutte le altre si ricombinano in modo non radiativo), mentre nell’arseniuro di gallio (gap diretto) mediamente una coppia su due decade spontaneamente in modo radiativo. Quando la transizione (non radiativa) di un
elettrone da E2 a E1 è conclusa, la popolazione N2 è decrementata di un’unit{, mentre la popolazione N1 è
incrementata di un’unit{. È intuitivo scrivere il contributo della transizione 1) all’equazione di continuit{ del sistema, a due livelli energetici, da noi utilizzato:
= − C
21= −
[cm
-3
s
-1]
dove C21 è uno dei noti “coefficienti di Einstein”. La ricombinazione elettrone/lacuna spontanea non
luce, quali LEDs e LASERs. Un LED, almeno in condizioni normali (ad esempio a temperatura ambiente), non può funzionare se costruito con un semiconduttore a gap indiretto: le ricombinazioni non radiative banda → trappole → banda, molto più frequenti di quelle radiative (come già detto di un fattore pari a circa 105, nel caso del silicio e di transizioni EC → EV), fra elettroni in BC e lacune in BV iniettati, nella zds
della giunzione pn, dalla corrente di polarizzazione diretta, non produrebbero fotoni, dunque la
giunzione non emetterebbe luce con intensità Iν sufficiente per poter essere percepita dall’occhio umano.
Il decadimento spontaneo non radiativo va dunque ad incidere negativamente sull’efficienza interna int
di un LED. Le ricombinazioni non radiative sono altresì una delle cause principali della bassa efficienza di emissione (in genere < 50%) che può interessare un LASER realizzato con delle tecniche non efficaci nel minimizzare la concentrazione d’impurezze all’interno della zona attiva appartenente al “core” (nucleo) del dispositivo. I decadimenti SRH implicano, infatti, un inutile consumo di inversione di popolazione, ovvero uno “spreco” del pompaggio elettronico, a cui deve essere sottoposto un LASER a semiconduttore, per poter “guadagnare” in termini di intensit{ luminosa e quindi emettere luce coerente apprezzabile all’esterno.
Esiste un’altra forma di decadimento spontaneo non radiativo, abbastanza rara, nota come “ricombinazione Auger” elettrone/lacuna; per descriverla è opportuno richiamare brevemente il seguente concetto di fisica dei semiconduttori. Per prima cosa consideriamo un volume macroscopico di semiconduttore a gap indiretto (silicio, ad esempio), le cui dimensioni sono Lx = aNx, Ly = aNy ed Lz = a
Nz. a rappresenta la costante reticolare del semiconduttore scelto (pari a qualche A°), mentre Nj (j = x, y,
z) è il numero di celle fondamentali di cui consta la lunghezza del cristallo semiconduttore lungo l’asse j
considerato (Nj determina la lunghezza del cristallo lungo l’asse j). Come noto la prima zona di Brillouin
lungo gli assi kx, ky e kz del reticolo reciproco di Fourier (si veda il glossario), ovvero lungo le direzioni
[100], [010] e [001], per un semiconduttore avente struttura cristallina diamantata (semiconduttori elementari) oppure a zincoblenda (semiconduttori composti III – V), ha un’estensione pari a 2π/a. Quindi l’estensione della prima zona di Brillouin nello spazio dei vettori d’onda è una caratteristica intrinseca di ciascun semiconduttore, poiché lo è la costante reticolare a del cristallo. Il passo di quantizzazione Δkqj (= 2π/Lj) all’interno del reticolo reciproco è, invece, determinato dalle dimensioni
macroscopiche Lx, Ly ed Lz del cristallo in cui sono confinati gli elettroni, pertanto la sagomatura del
cristallo determina la concentrazione degli stati elettronici permessi lungo le linee E(k) del diagramma a bande, come mostrato qualitativamente in figura 32 (gli stati permessi in BC sono indicati con dei punti neri). La quantizzazione dei numeri d’onda lungo uno dei tre assi è ricavabile imponendo le note condizioni periodiche al contorno di Born – Von Karman, e ciò è possibile in virtù della natura non scatterante degli elettroni, all’interno di un cristallo “perfetto” (non realmente esistente); questa considerazione è una diretta conseguenza del teorema di Bloch, che nella teoria garantisce assenza di scattering, cioè elevata mobilità (cioè la delocalizzazione degli stati elettronici lungo tutto il volume del cristallo), per i portatori di carica all’interno di una matrice cristallina periodica perfettamente ordinata. Supponiamo quindi di aver sagomato il cristallo di silicio in modo che questo abbia una lunghezza, lungo l’asse x, pari a Lx. In tal modo abbiamo fissato anche la distanza Δkqx, lungo l’asse kx, tra due stati
elettronici contigui (Δkqx = 2π/Lx).
La ricombinazione Auger prevede la partecipazione di tre corpi, ad esempio due elettroni ed una lacuna oppure un elettrone e due lacune. Supponiamo di avere due elettroni in BC ed una lacuna in BV: se la
posizione degli elettroni sulla curva E(k) lo consente, esiste la possibilità che uno dei due elettroni (e1)
ceda all’altro (e2) una certa quantit{ di energia ΔE ed una certa quantit{ di moto ΔP = ђΔk, raggiungendo
così un nuovo punto della curva E(k); questo punto individua uno stato elettronico dal quale è possibile
la ricombinazione (generalmente non radiativa) con la lacuna che si trova in BV. L’elettrone e2 raggiunge
un nuovo punto di E(k) individuato dagli incrementi ΔE e Δk. La particolare situazione energetica ed impulsiva in cui devono trovarsi simultaneamente e1 ed e2, nonché la quantizzazione Δkqj del numero
d’onda kj (i diagrammi E – k sono disegnati con tratti continui solo per semplicità grafica), rendono di
Fig. 32
Rappresentazione del processo, molto poco probabile, di ricombinazione Auger in un semiconduttore a gap indiretto. Si noti la dinamica energetico – impulsiva che coinvolge i tre corpi, nonché la quantizzazione Δkqx del vettore d’onda k (= kx) presso la prima zona di Brillouin
lungo l’asse kx. a è la costante reticolare del semiconduttore.
2) Decadimento spontaneo radiativo
Gli elettroni che si trovano sul livello energetico E2 hanno un tempo di vita medio τR (R = radiativo), per
cui questi stazionano su quel livello mediamente per un intervallo di tempo pari a τR, durante il quale gli
elettroni sono le N2 particelle che popolano il livello energetico E2. Al termine di τR gli elettroni decadono
spontaneamente ad un livello energetico inferiore E1. Gli elettroni raggiungono il livello stabile E1
direttamente, ovvero con un unico salto energetico, cedendo l’energia E2 – E1 sotto forma di un fotone γ,
la cui energia è proprio hνγ = E2 – E1. Il fotone, emesso spontaneamente, si allontana dal punto in cui è
avvenuta la ricombinazione elettrone/lacuna. La sua frequenza νγ è nota, almeno teoricamente, con una
certa accuratezza, in virtù della conservazione dell’energia, ma lo stesso non si può dire per la fase, la polarizzazione, la direzione ed il verso di propagazione dell’onda elettromagnetica associata al fotone (c’è una grande incertezza sul valore dei numeri quantici assunti dal fotone emesso spontaneamente), motivo per cui la luce prodotta dal decadimento spontaneo radiativo è ritenuta di una forma “poco pregiata” (questa è la luce prodotta dai LEDs, ad esempio, dispositivi molto più economici dei LASERs). La ricombinazione radiativa, nota anche come “ricombinazione banda → banda”, è molto più frequente nei semiconduttori a gap diretto: in quelli a gap indiretto è necessaria l’intermediazione di un modo vibrazionale fononico, per la conservazione della quantità di moto. È intuitivo scrivere il contributo della transizione 2) all’equazione di continuit{ del sistema, a due livelli, da noi utilizzato:
= − A
21= −
[cm
-3s
-1]
dove A21 è uno dei noti “coefficienti di Einstein”. Nei semiconduttori a gap indiretto τNR << τR, mentre in
quelli a gap diretto τNR >> τR. Il tempo medio di decadimento spontaneo radiativo τR, per molti dei
materiali (semiconduttori e non) usati in ambito optoelettronico, è abbastanza lungo, se confrontato con i tempi di commutazione caratteristici degli attuali sistemi di comunicazione ottici, per i quali il
“modulation rate” elettronico può raggiungere l’ordine dei GHz. Quindi un valore abbastanza alto di τR
LASER al rubino Al2O3, drogato con una concentrazione di cromo pari a circa 1.58 1019 cm-3, è di circa
3ms, che è un tempo medio di decadimento spontaneo assolutamente incompatibile con il modulation rate sopra citato. Per il InGaAsP, che costituisce il core dei LASERs più utilizzati, attualmente, nell’ambito
delle comunicazioni ottiche su grande distanza (terza finestra di trasmissione su fibra ottica di silice), τR
è generalmente compreso fra 1 e 5 ns.
3) Emissione stimolata (Decadimento stimolato radiativo)
Se un fotone γ di energia hνγ = E2 – E1, nell’attraversare il materiale cristallino, entra all’interno della
sezione di cattura di un elettrone atomico che si trova sul livello energetico eccitato E2, questo elettrone
può essere stimolato a decadere sul livello stabile E1, cedendo l’energia E2 – E1 sotto forma di un fotone
γg. Come già osservato nel paragrafo 4.3 la probabilità di tale decadimento fotostimolato è legata al
prodotto scalare fra il versore di polarizzazione del fotone incidente γ ed il vettore della quantità di
moto dell’elettrone che si trova, prima dello scattering, sul livello energetico E2 (in BC). In altri termini,
indicando con lo stato elettronico prima del decadimento stimolato radiativo e con lo stato
elettronico dopo il decadimento, l’elemento di matrice costituisce una “selection rule” (regola di selezione, discussa nel paragrafo 4.3) per l’emissione stimolata, ovvero una regola di
“coupling” (accoppiamento) fotonico fra lo stato elettronico iniziale e lo stato elettronico finale . γg
è un fotone “gemello” di γ, poiché i due bosoni hanno non solo la stessa frequenza, ma anche la stessa
fase, la stessa polarizzazione, la stessa direzione e lo stesso verso di propagazione: γ e γg sono “identici”.
Alla fine del decadimento stimolato l’elettrone si trova sul livello E1 (la popolazione N2 è decrementata,
quella N1 è incrementata), mentre i due fotoni γ e γg, che formano un fascio di luce coerente, si
allontanano. γ e γg costituiscono una forma “pregiata” di energia luminosa (la luce emessa dai LASERs si
basa su questo fenomeno). Il contributo della transizione 3) all’equazione di continuit{ è:
= − B
21ρ(ν) [cm
-3s
-1]
dove B21 è uno dei noti “coefficienti di Einstein”, mentre ρ(ν) [J/m3Hz] è la densità spettrale volumetrica
di energia, legata alla presenza dei fotoni che attraversano il cristallo (semiconduttore). In prima approssimazione possiamo pensare di associare ρ(ν) alla densità spettrale volumetrica di energia di corpo nero:
ρ(ν) =
dove k è la costante di Boltzmann, mentre n (più precisamente n(ν)) rappresenta l’indice di rifrazione del materiale investito da una radiazione di frequenza ν; ancora più esattamente n costituisce la parte
reale nr’(ν) dell’indice di rifrazione complesso nr(ν) (come spiegato nel paragrafo 4.3). Va puntualizzato
che associare ρ(ν) alla densità spettrale volumetrica di energia di corpo nero non è completamente corretto: infatti un corpo nero possiede uno spettro di emissione di fatto dipendente unicamente dalla temperatura T al suo interno, e decisamente largo in frequenza, mentre lo spettro di emissione di un semiconduttore, oltre a dipendere dalla propria struttura a bande (la quale dipende da T, ma anche da altri fattori), è in genere molto più selettivo in frequenza. Tale associazione è finalizzata unicamente al calcolo del coefficiente B21.
4) Assorbimento fotonico
Un fotone di energia hνγ = E2 – E1, se assorbito, consente ad un elettrone del livello stabile E1 (ovvero la
BV) di superare la barriera di potenziale dovuta al gap energetico, promuovendolo al livello E2 (ossia in
BC). Questa transizione, stimolata dal fotone incidente γ, causa un depauperamento della popolazione elettronica N1 ed un arricchimento di quella N2. La probabilità di assorbimento è legata al prodotto
scalare fra il versore di polarizzazione del fotone incidente γ ed il vettore della quantità di moto dell’elettrone che si trova, prima dello scattering, sul livello energetico stabile E1 (in BV). In altri termini,
l’elemento di matrice costituisce una regola di selezione per l’assorbimento dei fotoni γ, discussa nel paragrafo 4.3, ovvero una regola di accoppiamento ottico fra lo stato elettronico iniziale e lo stato elettronico finale . Il contributo della transizione 4) all’equazione di continuit{ del sistema a due livelli è:
= −
= B
12ρ(ν) [cm
-3s
-1]
dove B12 è uno dei noti “coefficienti di Einstein”. Nel caso particolare dei semiconduttori abbiamo che B12
=B21: ciò è vero in quanto i numeri degli stati disponibili sia su un generico livello di energia della BV sia
su un generico livello di energia della BC sono talmente alti che possono essere ritenuti uguali fra loro. In
altre parole il numero di degenerazione g1,relativo al livello energetico appartenente alla BV, è uguale al
numero di degenerazione g2, relativo al livello energetico appartenente alla BC. ρ(ν) è sempre la densità
spettrale volumetrica di energia di corpo nero. Anche adesso va puntualizzato che non è completamente corretto modellizzare l’assorbimento dei fotoni, da parte di un semiconduttore, attraverso l’analogia con il corpo nero, poiché il corpo nero è, per definizione, un assorbitore perfetto di energia elettromagnetica, ovvero il suo spettro di assorbimento è costante per qualunque frequenza ν, mentre un semiconduttore, così come qualunque altro materiale in natura, possiede uno spettro di assorbimento ben limitato in frequenza e dipendente dalla struttura dei suoi livelli energetici (dalla struttura a bande, nel caso dei
semiconduttori). L’analogia col corpo nero è finalizzata unicamente al calcolo del coefficiente B12.