4.3) Generalit{ sull’interazione fra luce e semiconduttore

La possibilità di utilizzare una giunzione pn come fotorivelatore si basa sul principio fisico secondo il quale la luce, una volta penetrata all’interno della matrice cristallina del semiconduttore con il quale la giunzione è realizzata, interagisce con gli elettroni atomici del cristallo. L’onda elettromagnetica incidente sul

semiconduttore fornisce agli elettroni atomici, localizzati sugli orbitali leganti ibridi sp3 _{mediante i quali gli atomi}

formano i legami covalenti, l’energia necessaria a promuoverli dalla banda di valenza a quella di conduzione. Gli elettroni così eccitati (fotoeccitati), chiamati anche “fotoelettroni”, possono partecipare alla conduzione elettrica, se trascinati da un campo elettrico di polarizzazione imposto dall’esterno, ovvero ai terminali metallici della giunzione pn. Trattiamo brevemente il problema dell’interazione, detta anche “scattering”, tra i fotoni incidenti su un materiale cristallino (un semiconduttore, nel nostro caso) e gli elettroni atomici; questo fenomeno è alla base delle proprietà ottiche dei materiali utilizzanti nel campo della fotonica, e nella fattispecie per la realizzazione dei fotorivelatori a semiconduttore.

La luce che si propaga all’interno di un cristallo può essere vista, in modo semplificato, come un’onda elettromagnetica piana. Questa è rappresentabile mediante una terna destroza di vettori formata dal vettore del

campo elettrico , dal vettore del campo magnetico e dal versore d’onda , il quale individua direzione e verso

di propagazione. Alla luce propagante, che noi supponiamo monocromatica, è associata una velocità di fase, la cui espressione è la seguente:

v

fase

=

=

=

nr è l’indice di rifrazione del semiconduttore, complesso (nr’ = Re , nr’’ = Im ) in quanto il cristallo è un

mezzo dispersivo (vfase è una funzione di ω) e dissipativo (ς > 0), ω è la pulsazione dell’onda, μ0 è la costante di

permeabilità magnetica del vuoto, εr è la costante dielettrica relativa del mezzo, la quale quantifica l’interazione

fra la luce propagante ed il campo elettrico periodico prodotto dagli atomi nel reticolo cristallino, ς è la conducibilità del semiconduttore. La velocità di fase vfase, a rigore, non coincide con la velocità vprop con cui l’onda

elettromagnetica si propaga all’interno di un generico cristallo; la velocit{ di propagazione, infatti, è definita nel modo seguente:

v

prop

=

dove μr è la costante di permeabilità magnetica relativa del mezzo. La velocità della luce attraverso un cristallo è

decrementata di un fattore pari a : tale rallentamento è dovuto all’interazione fra l’onda elettromagnetica

propagante ed il campo elettrico periodico interno al reticolo. Se il cristallo nel quale si propaga la luce è un

semiconduttore, la velocità di propagazione vprop dell’onda è definita nel modo seguente:

v

prop

poiché nei semiconduttori μr 1. Inoltre un semiconduttore, specialmente se intrinseco o leggermente drogato,

ha una conducibilit{ ς compresa fra 10–8 _{e 10}3 _{S/cm, molto bassa rispetto a quella dei metalli come Ag, Cu, Au ed}

Al, che è dell’ordine di 106 _{S/cm, pertanto ς, nel caso di un cristallo semiconduttore, può essere considerata nulla}

all’interno dell’espressione di vfase, consentendo di scrivere quanto segue:

v

fase

Dunque la velocità di fase Vfase coincide, di fatto, con la velocità vprop con cui la luce attraversa il semiconduttore.

Un’onda elettromagnetica piana è modellizzata univocamente dai vettori , e , ovvero le caratteristiche di questi vettori, come ad esempio la pulsazione, la polarizzazione, l’ampiezza ecc…, descrivono un determinato campo elettromagnetico propagante attraverso una matrice cristallina. In altri termini ad una luce monocromatica che attraversa un cristallo, ovvero ad un segnale ottico, è associabile una sola terna destroza , , . La stessa onda elettromagnetica può essere descritta, inoltre, da molte coppie ( , Φ) di potenziali, dove è il “potenziale vettore” e Φ il “potenziale scalare”. e Φ possono essere trattati come dei meri strumenti matematici adatti a risolvere più agevolmente le equazioni di Maxwell ( , , corrispondono, invece, a reali osservabili fisici). Quindi ad una terna destroza , , corrispondono un certo numero di coppie ( , Φ), ( , ), ( _{, ), ( , ) e così via. Ciascun set di potenziali possiede delle proprietà particolari e delle}

simmetrie, dette “gauges”, e rappresenta compiutamente il campo elettrico , , . Pertanto conviene scegliere

un’opportuna coppia ( , Φ), rappresentativa del campo elettromagnetico, le cui simmetrie consentano di

semplificare la risoluzione del sistema di equazioni di Maxwell, che di seguito riportiamo in forma differenziale:

–

dove rappresenta il rotore, la divergenza, = vettore di induzione magnetica = μ0μr , = vettore di

induzione elettrica = ε0εr , J è la densità superficiale di corrente elettrica, ρ è la concentrazione volumetrica di

carica elettrica. Abbiamo supposto che la densità superficiale di corrente magnetica Jm e la concentrazione

volumetrica di carica magnetica ρm siano nulle.

Per un qualunque set di potenziali ( , Φ) scelto, per definizione di potenziale vettore e potenziale scalare Φ, abbiamo che:

= –

– Φ

=

=

‘

_{– χ}

Φ = Φ

’

₊

dove χ è un funzionale fissato, mentre e sono due potenziali che soddisfano la seguente simmetria, nota

come “gauge di Lorentz”:

‘

₊

= 0

Utilizziamo, oltre alla “gauge di Lorentz”, anche quella di Coulomb, spesso chiamata “radiation gauge”, secondo cui nelle equazioni di Maxwell J e ρ sono nulle: tale scelta comporta che Φ = 0. Inoltre la gauge di Coulomb

prevede che = 0. Tenendo conto degli aspetti fin qui discussi possiamo rielaborare le equazioni di Maxwell

in funzione del potenziale vettore e del potenziale scalare ed arrivare alla forma di D’Alambert per la seconda equazione:

dove 2 _{rappresenta l’operatore laplaciano. Risolvendola otteniamo l’espressione del potenziale vettore:}

A( , t) =

–

[e23]

dove è il vettore posizione all’interno del reticolo diretto di Bravais, mentre A0 è il modulo del potenziale

vettore . Noto il potenziale vettore è immediato calcolare le espressioni dei vettori campo elettrico e campo

magnetico:

= –

= – 2ω

–

=

= –

–

dove indica un prodotto vettoriale, rappresenta il versore che individua la direzione ed il verso del vettore campo elettrico . Quest’ultimo può essere espresso anche nel modo seguente, supponendo che la luce attraversi il semiconduttore lungo una direzione ed un verso individuati da un ipotetico asse x (perpendicolare ad ):

=

–

[e24]

dove:

α(ω) =

_[e25]

è il “coefficiente di assorbimento ottico specifico” (cm-1_{), detto anche “coefficiente di assorbimento dell’energia}

elettromagnetica”, che rappresenta il numero medio di fotoni assorbiti dal materiale in un cm. Dalla [e24] si evince l’evanescenza lungo x della luce quando questa attraversa un cristallo, dispersivo e dissipativo, opaco nei confronti dell’onda elettromagnetica; il tasso di assorbimento dei fotoni, che comporta il passaggio di elettroni dalla BV alla BC, dipende dalla frequenza dell’onda propagante.

Conoscendo le espressioni di ed è possibile calcolare quella del vettore di Poynting ; dal modulo di si può

ricavare l’intensità ottica media < S >time (W/cm2), dove la media è eseguita nel tempo. Se dividiamo < S >time per

la velocità di propagazione vprop della luce nel semiconduttore otteniamo la seguente densità volumetrica di

energia:

=

Dato che la luce propagante è monocromatica per ipotesi, possiamo affermare che:

=

=

dove Vol è il volume unitario di semiconduttore (1cm3_{), nph è il numero di fotoni aventi energia ђω nell’unit{ di}

volume, nγ(ω) è la concentrazione di fotoni di energia ђω e dipende dal valore assunto, presso l’energia ђω, dalla

ben nota probabilità di occupazione di stati per i fotoni (bosoni con spin SZ = +/– ) chiamata “distribuzione

statistica quantistica di Bose – Einstein”. Dall’ultima relazione si ricava che:

A

0

=

[e26]

La [e26] conferma il concetto intuitivo secondo il quale maggiore è il numero di fotoni che condividono lo stesso insieme di numeri quantici, ovvero maggiore è il numero di fotoni coerenti (gemelli, cioè che hanno stessa energia, stessa direzione e verso di propagazione, stessa fase iniziale e stessa polarizzazione), e maggiore è l’intensit{ del campo elettromagnetico ed il modulo del potenziale vettore a questo associato.

Supponiamo che un fascio coerente di nph fotoni, tutti di energia ђω, investano una regione del cristallo di

semiconduttore, e che in questa regione sia presente un elettrone atomico. L’elettrone può trovarsi in BC oppure in BV, per cui è descritto da un’onda di Bloch la cui componente “central cell function” u(r) ha simmetria di tipo s

(oppure s + p) o di tipo p. Il sistema “pre – scattering”, ovvero il sistema formato dall’elettrone e dai nph fotoni

prima dell’interazione luce – materia, può essere descritto dal seguente stato quantistico iniziale di ket:

| i > = |n

ph

, k

i

>

Questo stato iniziale “totale” | i > di pre – scattering consta di un sottostato “fotonico” |nph> di pre – scattering e

di un sottostato “elettronico” |ki> di pre – scattering; ki è il vettore d’onda “iniziale” dell’elettrone, che localizza la

posizione dell’elettrone all’interno del diagramma a bande E – k prima dello scattering con la luce. L’onda elettromagnetica, scatterante con la materia, ha un potenziale vettore = A0 , dove è il versore di

polarizzazione del fascio coerente di fotoni. Ipotizziamo che l’interazione fra l’elettrone e la luce abbia

effettivamente luogo: l’elettrone passer{ dal suo stato iniziale ki ad uno finale kf, passando ad esempio dalla BV

alla BC nel caso di assorbimento di uno degli nph fotoni iniziali, oppure passando dalla BC alla BV nel caso di

emissione stimolata di un fotone, il quale si aggiungerà agli nph fotoni iniziali. Il sistema “post – scattering”,

ovvero il sistema formato dall’elettrone nel nuovo stato kf e dai nph –/+ 1 fotoni dopo l’interazione luce – materia,

può essere descritto dal seguente stato quantistico finale (di ket) “totale” di post – scattering:

| f > = |n

ph –/+ 1, kf

>

L’hamiltoniana dell’elettrone un attino prima dello scattering con la luce (elettrone al buio) può essere espressa nel modo seguente:

H

dark

=

+ U(r)

Durante lo scattering fra la luce e l’elettrone l’hamiltoniana di quest’ultimo si modifica nel modo seguente:

H

light

=

+ U(r) + eΦ [e27]

dove A è l’operatore potenziale vettore associato alla luce che scattera con l’elettrone, e è la carica elementare, Φ è il potenziale scalare associato alla luce. Espandendo la [e27] possiamo scrivere l’equazione di Schrödinger dipendente dal tempo per un elettrone atomico in procinto di scatterare con la luce:

i

=

=

Portando l’operatore della quantità di moto dallo spazio reciproco dei vettori d’onda a quello reale delle coordinate, possiamo scrivere l’equazione di Schrödinger nel modo seguente:

i

=

=

È possibile dimostrare che nell’ipotesi in cui il cristallo del semiconduttore sia attraversato da piccoli segnali ottici (bassa potenza ottica) è concesso scrivere quanto segue:

i

=

=

La terza versione dell’equazione di Schrödinger differisce dalla seconda unicamente per il coefficiente complesso che moltiplica A : al denominatore del coefficiente il 2 è sparito. Avendo adottato la gauge di Coulomb, oltre a quella di Lorentz, abbiamo che A = 0 e che Φ = 0 (J = 0 e ρ = 0); inoltre il potenziale vettore A, associato al

piccolo segnale ottico propagante, ha modulo piccolo, pertanto A2_{, a maggior ragione, rende il termine potenziale}

a cui appartiene del tutto trascurabile rispetto agli altri addendi compresi tra le parentesi quadre. Dunque possiamo scrivere la versione finale dell’equazione di Schrödinger, dipendente dal tempo, per un elettrone atomico in procinto di scatterare con la luce:

i

=

=

=

=

= H

dark

=

H0 è l’hamiltoniana dell’elettrone non scatterato dalla luce, ovvero l’energia totale dell’elettrone non stimolato da

alcun fotone (elettrone “a riposo”), mentre H0 + HF è l’hamiltoniana dell’elettrone scatterato dalla luce; HF

rappresenta il termine hamiltoniano “fotoperturbativo” per l’elettrone. Il prodotto scalare fra A e , presente nell’espressione di HF, è equivalente al prodotto scalare fra e , ricordando che = A0 e che = –iђ . Quindi il

valore di HF fornisce informazioni sui casi in cui un fotone scattera effettivamente con un elettrone del

semiconduttore e sui tipi di scattering che possono aver luogo (assorbimento oppure emissione stimolata) in funzione dell’overlap fra e . Si presenta il seguente ventaglio di situazioni:

 affinchè ci sia scattering tra fotone ed elettrone A deve essere diverso da zero, ovvero A0 > 0, e quindi nph

> 0; se A = 0, cioè nph = 0, allora anche HF = 0, pertanto l’elettrone è in condizione di buio e non può né

essere promosso dalla BV alla BC, mediante assorbimento di un fotone, né decadere dalla BC alla BV, con conseguente emissione di un fotone identico (gemello) a quello stimolatore. Se A = 0 lo stato totale iniziale |nph, ki > rimane inalterato, o comunque non subisce perturbazioni riconducibili a cause ottiche.

 affinchè ci sia scattering tra fotone ed elettrone l’overlap fra e , cioè il prodotto scalare fra il vettore unitario di polarizzazione della luce ed il vettore impulso dell’elettrone atomico, deve essere diverso da zero. Se e sono ortogonali l’elettrone attraversa il piano su cui giace il campo elettrico, che è individuato da , per un lasso di tempo troppo breve affinchè il campo elettrico possa accelerare o decelerare l’elettrone stesso. Se invece 0 l’onda elettromagnetica che scattera con l’elettrone appartenente al cristallo ha il tempo di fornirgli energia, promuovendolo dalla BV alla BC, o di frenarlo, sottraendogli energia e quindi provocando il suo decadimento dalla BC alla BV.

 evidentemente se = – p la probabilit{ di accelerazione dell’elettrone mediante l’assorbimento di uno

degli nph fotoni iniziali è massima, ovvero la trasformazione dello stato totale iniziale (pre – scattering)

|nph, ki > in uno finale (post – scattering) |nph –1, kf > è massima. Se invece = p la probabilità di

decelerazione dell’elettrone mediante emissione di un fotone è massima, ovvero la trasformazione dello stato totale iniziale (pre – scattering) |nph, ki > in uno finale (post – scattering) |nph +1, kf > è massima.

Chiaramente la transizione dallo stato totale pre – scattering a quello totale post – scattering (| i > | f >) deve soddisfare il principio di conservazione dell’energia, pertanto il fotone assorbito o il fotone emesso devono avere

un’energia ђω pari al modulo della differenza tra l’energia dello stato finale e l’energia dello stato iniziale (|Ef –

Ei| = ђω), ossia ђω deve essere uguale all’energia aquistata dall’elettrone durante l’assorbimento o all’energia

persa dall’elettrone durante l’emissione; inoltre la transizione | i > | f > deve soddisfare il principio di conservazione della quantità di moto p = ђk. A proposito di quest’ultima condizione, se il sistema consta solo di

un fotone ed un elettrone che scatterano (sistema a due corpi, cioè la situazione discussa in questo paragrafo), ovvero se non vi è alcun intervento di vibrazioni fononiche, la transizione dell’elettrone dalla BV alla BC o viceversa è, con buona approssimazione, rettilinea all’interno del diagramma a bande E(k); si parla infatti di “approssimazione di dipolo elettrico”, dove le due cariche uguali e di segno opposto rappresentano un elettrone ed una lacuna, mentre la distanza (energetica) fra le due cariche è proprio |Ef – Ei| = ђω. In altre parole ki kf >>

kγ, ovvero i numeri d’onda (gli impulsi) dell’elettrone prima e dopo lo scattering sono di fatto uguali, in quanto il

fotone assorbito oppure emesso non ha contribuito in modo rilevante all’incremento o al decremento della

quantit{ di moto dell’elettrone (nel paragrafo 4.4.2 stimeremo, qualitativamente, il numero d’onda kγ di un

fotone di energia ђω).

Possiamo quindi riportare in [e28] la legge che regola (quantifica) la probabilità di scattering fotone – elettrone, nota come “Fermi golden rule” (regola d’oro di Fermi):

W(|i>) =

δ(|E

f

– E

i

| –/+ ђω) [cm

-3

s

-1

] [e28]

W(|i>) è il rate, cioè un indice di probabilità, con cui un elettrone localizzato presso uno stato iniziale (pre –

scattering) ki, e stimolato da un fotone di energia ђω avente determinate caratteristiche (fase, energia, direzione

e verso di propagazione, polarizzazione), cioè da un fotone localizzato presso uno stato iniziale γi (ki è lo stato

elettronico iniziale, γi lo stato fotonico iniziale), transita da un livello energetico (elettronico) iniziale Ei ad uno

finale (post – scattering) Ef; quest’ultimo è caratterizzato (individuato) da un certo numero di stati elettronici kf.

ki e γi sono i sottostati dello stato totale iniziale | i >. La legge di conservazione dell’energia è implementata nella

[e28] dalla delta di Dirac, che assume valore unitario solo se il suo argomento è nullo, cioè solo se ђω = |Ef – Ei|. Il

segno negativo davanti ad ђω si riferisce ad una transizione di assorbimento, mentre quello positivo ad un’emissione. Il numero di fotoni di cui consta l’onda elettromagnetica che scattera con l’elettrone, e quindi il modulo A0 del potenziale vettore ( modulo del campo elettrico scatterante), è contenuto, come già visto,

nell’hamiltoniana di fotoperturbazione HF. In questa è contenuto anche il prodotto scalare , che rappresenta

l’overlap fra il vettore dell’impulso dell’elettrone ed il versore del campo elettrico del segnale ottico, ovvero

l’attitudine che ha la luce in questione, durante il processo di scattering, ad alterare il livello energetico iniziale Ei

dell’elettrone. La sommatoria è eseguita su tutti gli stati finali totali | f > che afferiscono alla conclusione della transizione: tale sommatoria è, di fatto, la sommatoria su tutti gli stati elettronici finali kf che afferiscono al livello

energetico finale Ef su cui si posiziona l’elettrone a scattering avvenuto. In altre parole fissato | i >, la sommatoria

è proporzionale alla densit{ di stati per l’elettrone in BC o in BV, a seconda che la transizione descritta dalla regola d’oro di Fermi sia un assorbimento o un’emissione stimolata. In generale possiamo esprimere l’elemento matriciale all’interno del modulo quadro, nella sommatoria della [e28], nel modo seguente:

= ψ

f

(r,k)|

F

|ψ

i

(r,k) =

[e29]

dove ψf è lo stato elettronico finale, di arrivo per l’elettrone, ψi è lo stato elettronico iniziale, di partenza per

l’elettrone, mentre exp – indica la presenza del fotone durante il processo di scattering e coincide

con la forma “granulare”, cioè di singolo fotone, dell’espressione del potenziale vettore riportata nella [e23]: + se

la regola d’oro di Fermi descrive un assorbimento, – per un’emissione. La natura di ψf e ψi dipende dal tipo di

struttura (bulk, pozzi quantici, fili quantici o punti quantici) nella quale si trovano gli elettroni atomici: nel caso

4.4.1) Un esempio di omogiunzione pn al silicio integrata, utilizzata come fotorivelatore, vista

Nel documento Tecnologia della fotorivelazione basata su dispositivi a semiconduttore - Matematicamente (pagine 43-49)