A questo punto possiamo calcolare il rapporto segnale/rumore in uscita dall’amplificatore esterno A e ciò equivale, avendo riportato a monte di M l’effetto di rumore dovuto ad A, a calcolare il SNR direttamente sul
carico RL (resistenza di shunt, generalmente pari a 50Ω). Assumiamo che il contenuto frequenziale Δf del segnale
ottico, e quindi della risposta elettrica dell’APD, sia compreso all’interno della banda di A (Δf BRX, BRX << BH). RL
serve a polarizzare l’APD, ovvero a convertire il segnale di corrente, prodotto dal rivelatore, in un segnale di tensione amplificabile da A, nell’ipotesi che quest’ultimo abbia impedenza di ingresso infinita. In alternativa ad un amplificatore esterno A ad alta impedenza, è possibile utilizzare un amplificatore A a transimpedenza, al fine di poter minimizzare l’effetto del rumore termico utilizzando una RL alta, senza tuttavia diminuire troppo la
banda del ricevitore.
Supponiamo di illuminare un APD con una radiazione avente una certa potenza ottica P costante nel tempo, una frequenza centrale f0 e un’occupazione di banda Δf: assumiamo che P sia sufficientemente alta, e quindi che
l’intensit{ incidente I sia sufficientemente alta, per poter ritenere che i rumori shot legati alla fotocorrente IL
siano molto maggiori di quelli termici, elettronici e di perdita (la radiazione luminosa, il cui vettore di Poynting
ha modulo proprio pari all’intensit{ Iν = µc, è portatrice di molti fotoni). Inoltre consideriamo la fotocorrente alta
a tal punto da poter trascurare la corrente di buio Id = Id’ + Id’’ (l’unico rumore shot importante è quello di IL, cioè
iL >> id’ + id’’). Una situazione simile (la migliore possibile), almeno in linea teorica, è riscontrabile nei sistemi di
comunicazioni ottiche su fibra noti come “sistemi coerenti”, rimasti in uso dalla fine degli anni 70 agli inizi degli anni 90, i quali costituiscono gli equivalenti ottici dei ricevitori eterodina.
In queste condizioni la potenza di rumore, intrinseca nell’APD, è tutta imputabile alla corrente shot di IL (iL(t)). In
altre parole c’è solo iL(t) a logorare il SNR. Riferendoci sempre alla figura 84, consideriamo dapprima il rivelatore
a monte di M, cioè consideriamo l’APD svincolato dal proprio guadagno, pertanto privo dell’effetto valanga: esaminiamo quindi solo la parte “intrinseca” dell’azione di fotorivelazione, così da poter calcolare il SNR
“intrinseco” di un APD (SNRAPD(i)). Qualitativamente è come calcolare il SNR per un rivelatore privo di guadagno
interno, ovvero per un PIN (M = 1). Come già visto quando un fotone (γ1) viene assorbito dal semiconduttore può
generare una coppia elettrone/lacuna. Nell’istante casuale t1, in cui avviene tale assorbimento, l’elettrone
primario fotogenerato, superando il gap energetico, produce un impulso di corrente modellizzabile mediante una delta di Dirac posizionata in t1, la quale sottende, con l’asse del tempo, un’area pari alla carica elementare q.
Questo impulso non è ancora rilevabile sui terminali metallici del fotodiodo: è una corrente non ancora percepita in uscita, una “potenziale” corrente. Tale impulso “stimola” il semiconduttore, che può essere visto come un
sistema avente risposta impulsiva h(t), il quale prende in ingresso la delta all’istante t1 e produce, di fatto
simultaneamente, una risposta data dalla convoluzione ( ) fra h(t) e δ(t – t1), che è ovviamente la stessa
risposta impulsiva traslata di t1, ovvero h(t – t1). In altre parole il semiconduttore può essere visto come un
sistema elettronico, un circuito, nel quale scorre una corrente impulsiva δ(t – t1): il materiale, il cristallo
semiconduttore, non può rispondere fornendo in uscita una corrente altrettanto impulsiva, essendo un sistema
caratterizzato da una certa “inerzia elettronica”, ossia da una certa banda BH finita, cosicchè la risposta elettrica
avrà una durata non nulla. La durata della risposta h(t – t1) è tanto più breve quanto maggiore è la banda BH del
semiconduttore, ovvero quanto più larga è la sua risposta in frequenza H(f). Evidentemente in un semiconduttore a gap diretto, dove la concavità della banda di conduzione, presso il proprio minimo EC, è ben
marcata (presenza di “warping”), cioè dove la massa efficace degli elettroni è piccola, la durata nel tempo dell’impulso di risposta h(t – t1) è senz’altro minore della durata di h(t – t1) fornita in uscita da un fotodiodo
costruito con un semiconduttore a gap indiretto, dove la concavità della BC è inferiore e quindi la massa efficace degli elettroni è maggiore (“inerzia elettronica” maggiore).
Fig. 89
Rappresentazione concettuale dell’azione di filtraggio di un impulso granulare di corrente, prodotto dal passaggio, per qualsivoglia motivo, di un elettrone dalla banda di valenza a quella di conduzione, da parte del materiale costituente il fotorivelatore.
La superficie sottesa da h(t) con l’asse del tempo è la carica elementare q, la quale, andando in banda di conduzione, ha prodotto l’ingresso a delta. h(t – t1) è una corrente rilevabile in uscita dal fotodiodo ed è il
risultato dell’opera di filtraggio che il semiconduttore ha fatto nei confronti della delta di corrente in ingresso. Se sul rivelatore arrivano, come ipotizzato, molti fotoni, allora il semiconduttore avra come ingresso una successione di delta, tutte posizionate ad istanti casuali tk, alle quali corrispondono altrettanti fotoni assorbiti,
dunque altrettanti fotoelettroni andati in BC. Il sistema, supposto lineare, avrà come uscita una corrente:
I(t) = h(t)
–
] =
–
Fig. 90
Rappresentazione dell’azione di filtraggio, da parte del semiconduttore, di un treno di impulsi granulari di corrente, nell’ipotesi in cui il materiale sia modellizzabile mediante un sistema lineare.
I(t) è la fotocorrente intrinseca dell’APD, cioè la fotocorrente non ancora moltiplicata per effetto valanga, oppure la fotocorrente di uscita di un PIN. Se la luce fosse monocromatica sarebbe abbastanza corretto rappresentare le risposte del semiconduttore alle delta mediante impulsi rilevabili h(t) aventi tutti la stessa ampiezza: la radiazione del nostro esempio è a banda frazionale stretta (Δf = 10 MHz << f0 = 345 THz) e quindi è
approssimabile a monocromatica, anche se a rigore non lo è. Per questo motivo le h(t) in uscita andrebbero disegnate, a rigore, con ampiezze diverse; la forma di una h(t) dipende dalla frequenza del fotone in ingresso e dalle caratteristiche del semiconduttore (caratteristiche del suo diagramma a bande E – k), come ad esempio dalla propria mobilità elettronica. I(t) è chiamata “processo d’impulsi di Poisson omogeneo e filtrato”: “filtrato” in quanto la fotocorrente I(t) è la sovrapposizione, nel tempo, di impulsi h(t), rilevabili sui terminali di uscita di un PIN, prodotti dal filtraggio di impulsi di corrente, tutti a forma di delta di Dirac, da parte del semiconduttore; “omogeneo” in quanto si è ipotizzato che la potenza ottica P, incidente sul fotorivelatore, sia costante nel tempo, quindi che il numero medio (µ) di fotoni che, nell’unit{ di tempo, arrivano sul dispositivo sia costante nel tempo (in altre parole il numero medio di impulsi h(t), nell’unit{ di tempo, rilevabili sui terminali metallici del dispositivo è sempre costante, è omogeneo).
Fig. 91
Grafico qualitativo di una possibile realizzazione della fotocorrente I(t), costituita da un valor medio IL = < I(t) >, che rappresenta il
fotosegnale utile, e da un residuo alternato iL(t), che rappresenta il corrispondente rumore shot.
I(t) = < I(t) > + iL(t) = IL + iL, dove IL = < I(t) > è il valor medio di I(t) e rappresenta il fotosegnale utile (gradito),
mentre iL(t) è il residuo alternato di I(t), a valor medio nullo, ovvero la relativa corrente di rumore shot. I(t) è
definita anche come una “variabile aleatoria poissoniana”. Una variabile aleatoria poissoniana può essere approssimata con una variabile aleatoria gaussiana nel caso in cui la sua “intensit{”, ovvero il suo valor medio (valore di aspettazione), sia sufficientemente alto. Nella fattispecie I(t) possiede un valor medio (segnale utile) alto, in quanto si è ipotizzato che P incidente fosse alta, oltre che costante, tale da rendere la corrente di rumore shot iL dominante su tutte le altre correnti di rumore. Dunque I(t) può essere approssimata con una variabile
aleatoria gaussiana avente come valor medio IL e come valor quadratico medio la somma del quadrato del valor
medio di I(t) con la varianza di I(t).