Computer grafica

A partire dalla fine degli anni ’60 lo sviluppo della Computer grafica ha rappre- sentato un importante fenomeno che ha innovato e ampliato molto i settori di applicazione dei calcolatori elettronici. La capacit`a d’impiegare i calcolatori per la visualizzazione, la grafica e le animazioni ha dato luogo da una parte alla na- scita di nuove discipline legate alle possibilit`a applicative in diversi settori della ricerca e dell’economia, dall’altra parte ha spinto fortemente la ricerca scientifica e tecnologica a sviluppare metodi e sistemi capaci di soddisfare le varie esigenze applicative. Lo sviluppo dell’animazione computerizzata, del CAD (Computer Aided Design), della grafica tridimensionale ha avuto notevoli ripercussioni sia nel campo della ricerca scientifica che nel campo delle applicazioni industriali.

Lo sviluppo della Computer grafica si `e basato, tra i diversi fattori, anche su un crescente impiego di modelli matematici per la creazione e la simulazione di oggetti e fenomeni reali e non mediante l’uso del calcolatore. Questa esigenza ha spinto in maniera notevole lo sviluppo della ricerca nel campo delle appli- cazioni legate alla visualizzazione e alla grafica. Diversi temi caratterizzano gli studi nel campo della Computer grafica; in generale tutti risultano finalizzati al miglioramento e allo sviluppo di tecniche per la visualizzazione di oggetti o per la simulazione di fenomeni ed effetti ottici e visivi. Tra queste, alcuni fi- loni mostrano un alto grado di affinit´a con le ricerche della Fisica matematica poich´e sono finalizzati all’applicazione e allo sviluppo di modelli fisico matema- tici capaci di simulare fenomeni reali in ambienti grafici creati artificialmente. Esempi di ci´o possono essere ritrovati nella definizione di metodi per effettuare l’illuminazione realistica delle scene virtuali. A tal fine s’impiegano metodi di “ray tracing” per determinare la quantit`a di luce incidente sui diversi oggetti, modelli per la simulazione degli effetti di riflessione della luce, modelli per la simulazione delle diverse tipologie di materiali e stati superficiali degli oggetti. Un’altro interessante campo ´e relativo alla creazione di effetti di rendering come ad esempio la generazione delle ombre e la produzione di effetti chiaro scuro. Inoltre, in questo ambito molta attenzione viene posta sull’impiego di sistemi particellari per la simulazione di fenomeni naturali come le fiamme, la pioggia, il movimento dell’acqua, gli effetti del vento e tutti i fenomeni atmosferici.

Un altro interessante campo di sviluppo in cui ´e possibile trovare un frut- tuoso incontro fra Fisica matematica e Computer grafica consiste nelle ricerche relative alla simulazione di oggetti reali caratterizzati da forme altamente com- plesse come per esempio: piante, alberi, foglie, sistemi di vene, oppure strutture inorganiche quali: i terreni, le montagne, i delta dei fiumi o i fiocchi di neve, o, infine, fenomeni naturali e atmosferici come: le nuvole, la foschia e la nebbia, la schiuma. In questo ambito trovano grande applicazione i frattali e i sistemi caotici che consentono di riprodurre in maniera soddisfacente le irregolarit`a e la complessit`a che caratterizza gli oggetti naturali. La modellazione geometrica di oggetti complessi risulta essere un processo estremamente difficile, tra i concetti matematici che sembrano mostrare il maggiore potenziale in questa direzione i frattali sicuramente occupano il ruolo di maggiore importanza. Il concetto geo- metrico di “frattale” proposto da Mandelbrot [61], assieme alla sua principale

propriet`a della “auto–somiglianza”, costituisce uno dei paradigmi principali per lo studio delle strutture del mondo naturale. L’auto–somiglianza `e una pro- priet`a che si manifesta tramite l’invarianza delle strutture e dei dettagli della forma di un oggetto al variare delle scale di osservazione. In altri termini un oggetto `e auto–somigliante se i dettagli che caratterizzano l’oggetto su scale grandi sono in qualche misura simili a quelli che `e possibile rilevare quando ci si sposta su scale di osservazione sempre pi´u piccole. Mandelbrot ha messo in luce che la relazione fra strutture su larga scala e dettagli su scale via via sempre pi`u piccole rappresenta uno dei principali aspetti che caratterizzano i fenomeni naturali. Tali relazioni, strettamente legate ai concetti di auto–somiglianza e di ricorsione, caratterizzano gli oggetti frattali che, in modi diversi, mostrano tutti un certo grado di invarianza delle strutture con il cambiamento di scala secondo cui li si osserva. Lo sviluppo e la diffusione della geometria frattale ha contribuito anche a far maturare nel mondo scientifico la consapevolezza della presenza e dell’importanza dei processi ricorsivi all’interno dei fenomeni natura- li. Numerosi algoritmi per la simulazione di oggetti e forme naturali sono stati realizzati sfruttando sistemi di generazione ricorsiva. Nel caso in cui i parametri utilizzati per controllare il processo di generazione restano costanti si ottiene un modello molto regolare caratterizzato dalla propriet`a dell’auto–somiglianza. Se invece i parametri vengono fatti variare, nel corso del processo di generazione, in maniera casuale attorno a un valore medio e con un ben preciso valore di deviazione standard si otterr´a un modello non pi´u regolare. L’irregolarit`a nel- la struttura del modello geometrico dipender´a principalmente dai valori fissati per le deviazioni standard dei diversi parametri, poich´e maggiore ´e la deviazio- ne standard maggiore ´e la probabilit´a di avere variazioni casuali sensibilmente diverse dal valore medio. In questo caso il modello geometrico ottenuto non sar´a pi`u auto–somigliante in senso stretto, ma sar´a piuttosto statisticamente auto–somigliante. Diversi motivi spingono all’impiego di questo approccio sto- castico per la generazione, per esempio, dei modelli di piante. L’introduzione di fluttuazioni casuali nei parametri consente di ottenere modelli di piante pi`u realistici poich´e in tal modo si riescono a simulare quelle irregolarit`a intrinse- che agli oggetti naturali. Inoltre, tramite questo approccio `e possibile simulare la diversit`a, largamente presente in natura, che determina l’esistenza di ogget- ti estremamente simili fra loro, ma ciascuno leggermente diverso, in qualche aspetto, da tutti gli altri. Il principale vantaggio offerto da questo approccio consiste nella possibilit´a di generare delle strutture altamente complesse da un nucleo relativamente semplice e ristretto di dati che pu`o essere creato con estre- ma semplicit´a. Probabilmente, la complessit`a in natura si ´e evoluta perch`e pu`o fornire benefici a un organismo, ma cos´ı come vale anche nel campo dei pro- grammi per calcolatori, la complessit´a non pu´o diventare un carico eccessivo. Da ci´o deriva che strutture altamente complesse possono essere descritte da una quantit`a limitata di DNA. Ci`o induce a formulare una spiegazione del perch´e la auto–somiglianza abbonda nel mondo naturale poich´e l’evoluzione ha permesso di risolvere il conflitto tra complessit´a e semplicit´a allo stesso modo di come si ´e cercato di fare nell’informatica tramite l’impiego di algoritmi ricorsivi per la generazione di frattali. Nel mondo naturale, cos`ı come nell’informatica, la ricor- sione e l’auto–somiglianza possono essere due fattori essenziali che consentono un uso parsimonioso e oculato dell’informazione.

In questo ambito, la generazione di modelli grafici di terreni risulta essere un importante problema affrontato da un ampio numero di ricercatori. L’esigenza

di creare dei modelli grafici sufficientemente complessi caratterizzati da una resa visiva sufficientemente convincente si scontra soprattutto con l’inevitabile bisogno di raggiungere un alto livello di dettaglio nel modello grafico. Tutto ci´o determina, dunque, sia un’elevata complessit´a dei modelli di generazione sia un notevole impegno di risorse computazionali per la generazione e l’elaborazione di tali modelli. Diversi metodi basati sui frattali sono stati proposti per la generazione di terreni. Questi metodi offrono il vantaggio di creare dei modelli sufficientemente convincenti a partire da un limitato insieme di dati di partenza mediante un processo di amplificazione dei dati basato sull’uso di generatori casuali [68].

Diversi autori [2, 3, 32] hanno proposto approcci differenti utili per la genera- zione di immagini e di oggetti grafici mediante l’impiego di frattali. Tra questi, il metodo principalemente utilizzato ´e basato sull’impiego del Iterated Function System (IFS) definito come la combinazione di un qualsiasi insieme di mappe lineari (trasformazioni affini) e di un insieme di probabilit´a a loro associate. Un qualsiasi IFS possiede un unico attrattore, in genere costituito da un insieme frattale, che pu`o essere utilizzato per produrre oggetti estremamente complessi. La creazione `e piuttosto semplice, basata sulla definizione di un piccolo nume- ro di mappe e sullo sfruttamento delle potenzialit`a offerte dai processi ricorsivi. Le dinamiche caotiche, infatti, che spesso caratterizzano gli oggetti frattali, pos- sono essere utilizzate sia per modellare forme a due o tre dimensioni, sia per realizzare texture da utilizzare per la costruzione di immagini digitali. Tramite questo approccio `e possibile definire degli algoritmi per la creazione di immagini sintetiche relative a fenomeni e oggetti naturali, quali per esempio: le nuvole, la nebbia e la foschia, la schiuma, le foreste e le piante. L’approccio usato dalle IFS ´e molto differente da quello impiegato nel caso della produzione di oggetti frattali mediante processi casuali. Quest’ultimo approccio `e basato su un algo- ritmo ricorsivo di affinamento che consente di modellare terreni, nuvole, piante che `e basato su delle procedure casuali. In questo caso il prodotto finale dell’al- goritmo di generazione del frattale dipende esclusivamente dall’esatta sequenza di risultati generata durante l’esecuzione dell’algoritmo stesso. L’uso del IFS, che impiega anche informazioni estratte da fotografie reali, consente un maggio- re controllo sui risultati ottenuti poich´e piccoli cambiamenti nei parametri del sistema influiscono poco sul risultato finale dell’algoritmo di generazione. Tra- mite tale approccio `e possibile generare immagini altamente complesse a partire da un insieme molto piccolo di dati iniziali. L’impiego del IFS, infine, consente anche di poter risolvere il problema inverso, ossia, a partire dalla geometria che caratterizza un dato oggetto determinare un IFS che in maniera approssimata possa generare l’oggetto di partenza.

L’obiettivo della scienza consiste nel comprendere il perch´e del manifestarsi dei diversi fenomeni naturali. I programmi per calcolatore che cercano di simu- lare i fenomeni naturali tramite l’emulazione della logica della natura, cercano di cogliere l’essenza fondamentale degli oggetti naturali. Per tale motivo le ri- cerche nel campo dell’Intelligenza artificiale e della Vita artificiale fanno largo ricorso all’impiego di tali simulazioni come uno dei possibili strumenti per lo sviluppo della conoscenza scientifica. Inoltre, poich`e questi strumenti consen- tono di esprimere l’essenza dei fenomeni naturali sotto forma di prodotti visivi, essi possono essere anche impiegati come strumenti per la creazione di prodotti artistici. Mentre nel campo degli oggetti naturali la selezione ´e effettuata in base alla capacit´a di sopravvivenza, nel caso della Computer grafica la selezione

viene realizzata sulla base di principi estetici e di somiglianza alle forme della natura. Nel campo della Computer grafica si ´e, quindi, affermato un nuovo sistema per la valutazione della validit´a dei modelli predittivi che basa il suc- cesso di un modello principalmente sulla sua capacit´a di creare immagini che assomiglino quanto pi`u possibile agli oggetti reali da simulare. Se si riesce a modellare un oggetto complesso mediante delle regole semplici significa che si ´e riusciti a comprendere e padroneggiare la complessit´a dell’oggetto in studio. La prova finale della validit´a e dei limiti di un dato modello, anche se estrema- mente soggettiva, alla fine risiede nelle immagini e nei modelli geometrici che si ´e capaci di generare mediante il suo impiego [76].