Rappresentazioni sonore

Le architetture finora presentate consentono di realizzare delle rappresentazioni sonore dell’evoluzione temporale dei sistemi dinamici. Nel seguito si presente- ranno alcuni esempi in cui s’impiega l’Architettura 1.1 per rendere udibile i vari comportamenti tipici delle serie temporali prodotte dall’oscillatore di Chua. Nello specifico si pu`o usare una rappresentazione uditiva delle serie di dati per percorrere la strada verso il caos che, al variare del parametro α nell’intervallo di valori compresi fra 5 e 10, porta alla formazione del ben noto attrattore “double

scroll” indicato nella tabella 2.1 mediante la sigla DE1. La figura 6.4 mostra le

forme d’onda dei suoni prodotti per α = 5.

Figura 6.4: Forma d’onda dei suoni prodotti per α = 5.

In questo caso l’oscillatore mostra un comportamento convergente a un punto fisso. I suoni prodotti dalla simulazione dell’oscillatore, assumendo come con- dizione iniziale il punto di coordinate x = 0,001; y = 0,001; z = 0,001 sono costituiti da oscillazioni smorzate che si estinguono dopo un certo periodo di tempo. Nella parte alta della figura `e riportata la griglia del “timecode” che consente di misurare la durata del suono. Nel caso in considerazione l’oscillazio- ne smorzata `e estremamente breve poich`e dura soltanto due frame del timecode che adotta lo standard di 24 frame per secondo. La figura 6.5 mostra le forme d’onda dei suoni prodotti per α = 6.

L’oscillatore mostra ancora un comportamento convergente a un punto fisso, ma in questo caso aumenta l’intervallo di tempo per raggiungere la condizione di stabilit`a. I suoni prodotti dalla simulazione dell’oscillatore sono, quindi ancora delle oscillazioni smorzate di durata maggiore del caso precedente. La maggiore durata del suono consente di percepire un suono ad altezza determinata molto simile a un suono puro sinusoidale. La griglia del timecode mostra una durata approssimativa di 4 frame, circa il doppio del caso precedente. La figura 6.6 mostra le forme d’onda dei suoni prodotti per α = 7.

Figura 6.6: Forma d’onda dei suoni prodotti per α = 7.

Al crescere del valore del parametro α la durata del suono aumenta, anche se il comportamento dell’oscillatore rimane ancora quello di convergere verso un punto fisso. Dalla griglia del timecode mostrata in figura `e possibile osservare che la durata del suono `e maggiore di un secondo. L’ascolto rende possibile di- scriminare i tre diversi casi finora presentati. Infatti, anche se dal punto di vista dell’altezza e del contenuto frequenziale i tre casi sono pressoch`e indistinguibili, la variazione delle durate connessa alla presenza di diversi inviluppi d’ampiezza rende molto diversi fra loro i tre suoni. Il primo suono `e percepito come un suono impulsivo o percussivo, il secondo `e un suono di breve durata con un decadi- mento piuttosto rapido che comunque non impedisce la possibilit`a di percepirne l’altezza e la natura quasi–sinusoidale. Il terzo, infine, `e un suono prolungato caratterizzato da un lento decadimento. Al crescere del valore del parametro α la durata del suono continua ad aumentare e il decadimento diventa sempre pi`u lento. Infatti nella figura 6.7 sono riportate le forme d’onda dei suoni prodotti per α = 7,05 in cui `e possibile osservare che il suono ha una durata di circa 25 secondi.

Al crescere del valore del parametro α il comportamento dell’evoluzione tempo- rale dell’oscillatore di Chua cambia radicalmente trasformandosi in un’oscilla- zione di tipo periodico. La natura dell’attrattore che caratterizza il sistema si trasforma da un punto fisso a un ciclo limite. Il suono prodotto consiste in un suono prolungato ad altezza determinata in cui `e possibile riconoscere una o pi`u componenti armoniche. Inoltre, l’ascolto consente di riconoscere una variazione periodica d’ampiezza percepibile sotto forma di modulazione dell’intensit`a del suono. La figura 6.8 mostra le forme d’onda dei suoni prodotti per α = 7,055 in cui `e visibile la variazione periodica dell’ampiezza delle forma d’onda.

Figura 6.8: Forma d’onda dei suoni prodotti per α = 7,055.

Il successivo aumento del valore del parametro α non introduce modifiche sul tipo di comportamento manifestato dal sistema caotico. L’altezza del suono rimane piuttosto stabile, mentre varia la frequenza della variazione dell’ampiezza che cresce all’aumentare del valore del parametro. La figura 6.9 mostra le forme d’onda dei suoni prodotti per α = 8 in cui `e visibile l’aumento della frequenza della variazione periodica dell’ampiezza.

Figura 6.9: Forma d’onda dei suoni prodotti per α = 8.

La modifica del valore del parametro α nell’intervallo fra 8 e 9 causa il feno- meno dei raddoppiamenti di periodo in cascata che porta alla transizione tra periodicit`a e caos. L’ascolto dei suoni prodotti dall’oscillatore rende percepi- bile la rilevante variazione del timbro determinata dalla ridotta predominanza della componente periodica quasi–sinusoidale e dall’emergere di numerose altre componenti spettrali. Per valori del parametro prossimi a 9 il comportamento dell’oscillatore cambia nuovamente verso l’insorgere dell’attrattore strano chia- mato “double scroll”. La figura 6.10 mostra le forme d’onda dei suoni prodotti per α = 9 in cui `e visibile l’andamento delle forme d’onda tipiche dell’attrattore caotico.

Figura 6.10: Forma d’onda dei suoni prodotti per α = 9.

Al crescere del valore del parametro fra 9 e 10 l’evoluzione secondo l’attratto- re “double scroll” rimane stabile anche se il contenuto spettrale del segnale si modifica profondamente determinando la percezione di suoni dal timbro molto differente l’uno dall’altro. L’attrattore caotico `e caratterizzato da un suono simi- le a un rumore in cui sono per`o facilmente riconoscibili delle strutture ritmiche e delle ricorrenze piuttosto tipiche. La figura 6.11 mostra le forme d’onda dei suoni prodotti per α = 10. Per valori del parametro maggiori di dieci la simu- lazione numerica dell’oscillatore diventa molto instabile portando a evoluzioni che divergono in maniera esponenziale anzich`e convergere verso degli attrattori stabili.

Figura 6.11: Forma d’onda dei suoni prodotti per α = 10.

La variazione del contenuto spettrale del suono ottenuto dalla codifica delle serie temporali prodotte dall’oscillatore di Chua pu`o essere rappresentata visi- vamente mediante il grafico ottenuto dall’analisi della distribuzione di frequenze presente nel segnale. La figura 6.12 mostra l’analisi spettrale per quattro diversi valori del parametro α in cui `e possibile osservare la transizione fra la preva- lenza di una sola componente di frequenza relativa al comportamento periodico fino all’emergere, nel caso del comportamento caotico, di uno spettro a banda larga, simile a quello che caratterizza i rumori che presentano una distribuzione di frequenza di tipo 1

(a) Spettri sonori per α = 7,055. (b) Spettri sonori per α = 8.

(c) Spettri sonori per α = 9. (d) Spettri sonori per α = 10.

Figura 6.12: Analisi spettrale dei suoni prodotti dall’oscillatore di Chua.