Processi di codifica e codici

La “codifica”, in generale, pu`o essere definita come un procedimento di traduzio- ne di un messaggio nella forma pi`u adatta per essere trasmesso lungo un canale o manipolato tramite un elaboratore. Questo processo si basa sull’impiego di un “codice” che `e composto dall’elenco dei simboli e dei segnali che permettono di effettuare l’operazione di traduzione e di trasformazione del massaggio; se, per esempio, si tratta di sequenze di impulsi si parla di codice a impulsi. I ricercatori che hanno studiato tali problematiche hanno contribuito alla nascita e all’affermazione del vasto ambito che riguarda la Teoria dell’informazione [80] che mira principalmente a individuare le condizioni teoriche e a definire i sistemi di codifica ottimali per il trasferimento di qualunque tipo di messaggi.

Nel caso dei metodi di rappresentazione uditiva applicati all’evoluzione di sistemi dinamici bisogna distinguere tra processi basati sull’impiego di codici musicali o di codici sonori. Nel primo caso, infatti, il processo di codifica, ba- sato sull’uso di un codice costituito da un insieme di note o di altri parametri

musicali, `e volto a trasformare il messaggio, ossia l’evoluzione temporale del si- stema dinamico, in una partitura musicale. Il problema principale della codifica musicale consiste, dunque, nella definizione di un meccanismo di trasformazio- ne che sia capace di associare ai diversi valori assunti dalla variabile x(t) che

rappresenta una variabile di stato caratteristica dell’evoluzione di un sistema dinamico in una successione di note musicali Sk:

Sk = {note1, note2, note3, ..., notek}. (5.7)

Nel secondo caso, invece, il codice sonoro pu`o essere rappresentato da un in- sieme di suoni differenti che possono essere generati da un sistema di sintesi controllato da un certo numero di parametri. Poich`e esiste una relazione diretta fra i parametri di sintesi e risultato sonoro ottenuto, il codice pu`o essere pensato come l’insieme dei valori ammissibili per i vari parametri di sintesi. Dunque, il processo di codifica sonora pu`o essere considerato come la definizione di un meccanismo che trasforma l’evoluzione delle variabili di stato di un sistema di- namico nella variazione corrispondente di tutti i parametri che controllano un dato algoritmo di sintesi. A tal fine pu`o risultare estremamente utile il sistema di mapping, presentato nella sezione precedente, che consente di individuare in ma- niera assolutamente generale delle funzioni matematiche che rendono possibile stabilire l’associazione tra punti appartenenti a spazi matematici caratterizzati da dimensioni molto diverse fra loro.

Mapping Lineare

Il pi`u semplice sistema di codifica pu´o essere definito tramite una relazione tra il campo di valori in cui ´e definita una variabile di stato x(t)di un sistema dinamico

e un altro corrispondente intervallo di valori, relativo a note MIDI, o ad altri parametri musicali oppure a un qualsiasi algoritmo di sintesi del suono. Questa trasformazione pu´o essere realizzata tramite un mapping lineare che trasforma la variabile x, definita all’interno dell’intervallo [a, b], nella variabile y, definita nell’intervallo [c, d] [38]:

y =(d − c)

(b − a)(x − a) + c (5.8)

Nel caso in cui la variabile x ´e continua, allora lo sar´a anche la y; altrimenti se x ´e discreta anche la y sar´a discreta. Questo esempio di trasformazione rappresenta un caso particolare del modello presentato nella sezione precedente in cui la dimensione dei due spazi n e m `e pari a uno. Nel caso in cui si abbia un numero di parametri in ingresso e in uscita maggiore di uno la relazione 5.8 deve essere sostituita dalla relazione matriciale 5.6.

L’estrema semplicit`a di questo sistema di codifica rappresenta il suo miglior pregio. Questo metodo si rivela estremamente utile in molte circostanze appli- cative e specialmente nei casi in cui le variabili coinvolte, x, y sono di natura continua. D’altra parte, per`o, questo approccio presenta alcuni problemi e alcu- ne limitazioni particolarmente evidenti nel caso in cui lo si voglia utilizzare per la codifica tramite altezze musicali. In queste circostanze il maggior problema consiste nell’impossibilit`a di scegliere l’insieme di note da utilizzare per la con- versione dell’evoluzione del sistema dinamico in una sequenza di note. Questo perch´e la natura stessa della trasformazione matematica mette in relazione di- retta il campo di variazione della coordinata del sistema dinamico con il campo

di valori delle altezze musicali che possono essere per esempio definite secondo il protocollo MIDI. Questo schema di codifica, quindi, rende impossibile definire un preciso vocabolario di altezze da utilizzare nella codifica delle serie temporali in sequenze di note. Le strutture musicali ottenute attraverso questo approccio spesso sono musicalmente poco interessanti poich´e la definizione di un intervallo di note MIDI comporta l’impiego di una collezione di note di tipo cromatico9_.

Inoltre poich´e la maggior parte dei sistemi dinamici sono caratterizzati da un andamento pressoch´e continuo questo tipo di codifica porta alla generazione di scale cromatiche ascendenti e discendenti che, per l’elevato grado di ridondanza, risultano estremamente noiose all’ascolto e scarsamente interessanti dal punto di vista musicale. Questo problema pu´o essere superato definendo dei sistemi di codifica basati sull’impiego di tabelle che diano la possibilit´a di scegliere libe- ramente il vocabolario di altezze ammissibili all’interno del sistema di codifica. In tal modo ´e possibile determinare il tipo di materiale musicale prodotto dal sistema di musica generativa a seconda della collezione di altezze adottata.

Seguendo la classificazione dei sistemi di codifica presentata in precedenza, questo approccio ricade nella classe dei codici locali poich`e la trasformazione avviene punto per punto e ogni valore della serie temporale ha un proprio cor- rispondente univoco nel codominio della funzione. Questa natura fortemente locale determina una grande ridondanza che spesso in termini uditivi corrispon- de nella ripetizione immutata di eventi sonori o in una lentissima variazione di parametri che modificano la natura della rappresentazione sonora.

Codifica massimi e minimi

I problemi legati alla ridondanza e alla generazione di valori sequenziali che caratterizzano il mapping lineare possono essere superati apportando alcune modifiche al sistema di codifica. Un approccio che si `e mostrato utile per la codifica di altezze musicali consiste nell’impiego del mapping lineare per trasfor- mare l’evoluzione che caratterizza una variabile di stato di un sistema dinamico in una sequenza di note, rappresentate mediante il protocollo MIDI, a cui `e stato combinato un sistema di filtraggio degli eventi sonori prodotti finalizzato a individuare le note musicali corrispondenti esclusivamente ai punti di massi- mo e di minimo della forma d’onda relativa all’evoluzione della serie temporale. La figura 5.17 mostra un’immagine schematica del sistema di mapping basato sull’individuazione dei punti di massimo e di minimo della forma d’onda. Il filtraggio rende possibile ridurre la ridondanza degli eventi sonori generati e limitare fortemente la sequenzialit`a dei valori prodotti. Questo sistema di co- difica pu`o ricadere nella categoria dei codici misti poich`e pur realizzando una codifica punto a punto gli eventi effettivamente generati sono scelti in base a delle propriet`a globali. Questo sistema di codifica `e stato utilizzato positiva- mente anche per generare delle sequenze di note MIDI che controllano suoni di percussioni.

9_{Una collezione di note basata sull’impiego di una scala cromatica, ossia una successio-}

ne ordinata per altezze ascendente o discendente dei dodici semitoni della scala temperata costituenti l’ottava.

Figura 5.17: Schema del sistema di codifica massimi e minimi.

Codifica mediante tabella

Un segnale continuo pu`o assumere un numero infinito di valori diversi in corri- spondenza di un punto campione, cos`ı allo stesso modo nel caso in cui si compie l’integrazione numerica di un sistema di equazioni differenziali relativo a un si- stema dinamico si ottiene una serie temporale di dati che pu`o assume un numero infinito di valori diversi. Tuttavia la Teoria dell’informazione afferma che, nel caso della trasmissione di suoni o immagini, perch`e i segnali possano essere uditi o visti, `e sufficiente garantire un certo grado di fedelt`a nella loro riproduzione. Cos`ı, trattando dei segnali discreti al posto dei segnali continui, `e possibile im- piegare nella trasmissione un numero finito di livelli d’ampiezza che soddisfi il criterio di fedelt`a scelto per misurare il grado di approssimazione fra il segnale trasmesso e il segnale continuo originale [80]. Allo stesso modo nel caso della generazione di musica tramite l’uso di sistemi dinamici `e necessario garantire un certo grado di fedelt`a che renda possibile una corrispondenza sufficientemente buona fra l’evoluzione del sistema dinamico e gli andamenti musicali generati. Per soddisfare il criterio di fedelt`a prefissato `e sufficiente definire un opportu- no intervallo di quantizzazione in maniera da non operare pi`u con un segnale continuo, ma con un numero limitato di valori di ampiezza.

La codifica mediante tabella si basa proprio su questo principio poich´e pre- vede l’impiego di un sistema di quantizzazione delle serie temporali generate dal sistema dinamico. Il principale vantaggio offerto da questo approccio consiste nella possibilit`a di definire la collezione di valori, siano essi relativi alle altezze musicali o a parametri sonori di altra natura, da utilizzare nella codifica delle serie temporali. In tal modo l’utente pu´o definire in maniera molto dettagliata il codice da utilizzare, nel caso della codifica mediante altezze musicali questa scelta consiste nella definizione del tipo di scala musicale e di tonalit´a da uti- lizzare. Nel seguito si illustrer`a nel caso specifico il processo della codifica di altezze, anche se l’impiego di questo metodo pu`o essere esteso a qualsiasi altro parametro musicale o relativo alla sintesi del suono. Inizialmente, ´e necessario scegliere l’ampiezza dell’intervallo di altezze che s’intende utilizzare nel processo di codifica tramite la definizione dell’estremo superiore e dell’estremo inferiore (ad esempio si pu´o considerare un intervallo di due ottave centrato attorno al Do centrale del pianoforte). La scelta delle due note che limitano l’intervallo di altezze pu´o essere determinante per la definizione della tonalit´a o del modo

che caratterizza la collezione di altezze.10 _{Successivamente ´e necessario scegliere}

il tipo di scala musicale da utilizzare. L’elenco di seguito riporta alcune delle principali scale musicali, tra le tante possibili, da utilizzare per la definizione della collezione di altezze:

• diatonica - sette note per ottava;

• pentatonica - cinque note per ottava;

• scala basata su triadi - primo, terzo e quinto grado di una scala diatonica. La scelta di una scala musicale consente di definire univocamente la collezione di altezze musicali da utilizzare, che pu´o essere rappresentata tramite l’insieme ordinato Sh che comprende tutte le h note generabili dal processo di codifica:

Sh= {nota1, nota2, ..., notah} (5.9)

Nella realizzazione di un simile sistema di codifica l’insieme ordinato delle note ammissibili pu`o essere memorizzato in una tabella, da cui deriva il nome dato a questo metodo. Il processo di codifica si realizza discretizzando opportunamente la serie di dati e generando una sequenza di indici che forniscono nel tempo le varie posizioni delle celle della tabella da leggere per ottenere i valori di altezza musicale. Prendendo in considerazione un sistema dinamico caratterizzato da uno spazio delle fasi n-dimensionale, per realizzare questo tipo di codifica ´e necessario calcolare il valore minimo m e il valore massimo M per ognuna delle n serie temporali che caratterizzano il sistema. In tal modo si otterranno n coppie di valori del tipo [mi, Mi] che definiscono l’intervallo di variazione relativo alla i-

esima serie temporale del sistema dinamico. L’insieme di tutte le coppie di valori pu´o essere pensato come l’insieme dei vertici che definiscono un parallelepipedo in uno spazio a n dimensioni all’interno del quale ´e vincolata l’evoluzione del sistema dinamico. Se si prende in considerazione solo l’i-esima coordinata dello spazio delle fasi la lunghezza dello spigolo pu´o essere calcolata come: (Mi− mi).

Ogni spigolo pu´o essere suddiviso in h segmenti di egual lunghezza; la lunghezza di ogni segmento li pu´o essere calcolata tramite la relazione:

li= Mi− mi

h (5.10)

Il processo di codifica pu´o essere realizzato associando ad ognuna delle n serie temporali xi(t)(i = 1, ..., n), che caratterizzano l’evoluzione del sistema dinami-

co, una sequenza di numeri interi pi(t)(i = 1, ..., n) definiti nell’intervallo [1, h].

Questo processo di codifica determina una quantizzazione delle serie temporali secondo il numero di note dell’insieme Sh. Considerando il caso dell’i-esima

serie temporale l’indice del segmento in cui cade il valore corrente xi(t) della

serie temporale pu´o essere calcolato tramite la relazione:

pi(t) = 1 +xi(t) − mi

li (5.11)

10_{La tonalit´a ´e, in senso lato, il rapporto di gerarchia che si stabilisce, all’interno di una}

successione determinata di suoni, nei confronti di una tonica, ossia di un suono prescelto attorno al quale, e verso il quale, gravitano tutti gli altri.

Il modo ´e la scala che inizia a partire da un determinato grado di una scala diatonica (ad esempio il modo Ionico ´e costruito a partire dalla tonica, ossia dal primo grado della scala di riferimento, mentre il modo Eolio ´e costruito sul sesto grado).

Il valore ottenuto per l’indice pi(t) definir´a quale elemento dell’insieme Sh si

sceglier´a come altezza della prossima nota da suonare. Le note possono essere generate secondo due differenti approcci:

• asincrono - si genera una nota ogni qualvolta si determina una variazione rispetto al valore precedente di uno degli indici pi(t);

• sincrono - prima di effettuare la codifica si campionano le serie temporali secondo un determinato periodo di campionamento.

Codifica degli intervalli

In questo schema si mette in relazione la variazione di una delle coordinate del sistema dinamico con un intervallo musicale. Se si prende in considerazione una varibile di stato x di un sistema dinamico la variazione del valore della coordinata in due campioni successivi `e definita come:

∆x= xn− xn−1 (5.12)

Lo schema di mappaggio viene definito ponendo come proporzionale la gran- dezza dell’intervallo musicale e la variazione della coordinata x, come mostrato nella seguente relazione11_:

I = bC∆xc (5.13)

dove C `e un opportuno fattore di proporzionalit`a che consente di ottenere la dimensione degli intervalli musicali desiderati. Il fattore di proporzionalit`a C svolge un ruolo fondamentale in questo schema di codifica. Il suo valore pu`o essere definito secondo diversi modi, un metodo che sembra fornire risultati par- ticolarmente interessanti consiste nel calcolare il coefficiente C come il rapporto dell’intervallo desiderato in corrispondenza del valore medio della variazione della variabile x.

C = I_¯D

∆x

(5.14) Il valore dell’intervallo I deve essere opportunamente quantizzato in maniera da soddisfare la sequenza di intervalli definita da una data scala musicale.

Codifica mediante una finestra scorrevole

La codifica basata sull’impiego di una “finestra scorrevole”, in inglese indicata con l’espressione “sliding window ”, prende origine da un sistema di analisi di dati che prevede il calcolo di grandezze significative sulla base di una finestra temporale che prende in considerazione soltanto una certa quantit`a di dati la volta. In tal modo le serie di dati possono essere analizzate facendo scorrere nel tempo una finestra che consente di ottenere al variare del tempo, corrispon- dente dunque alla posizione della finestra, l’andamento temporale di grandezze significative per lo studio dei dati in esame. In questo tipo di analisi `e possibile utilizzare finestra di diversa dimensione. Nel caso di finestre di grandi dimensio- ni `e possibile ottenere informazioni principalmente di natura globale, mentre nel caso opposto, l’impiego di finestre piccole rende possibile ottenere informazioni pi`u di natura locale.

11_{Si utilizza l’operatore “Parte intera inferiore” per eseguire la conversione del prodotto in}

Questo stesso approccio pu`o essere utilizzato per effettuare la codifica mu- sicale o sonora dell’evoluzione caratteristica delle serie di dati prodotti da un sistema dinamico. Una serie temporale prodotta dall’evoluzione di un sistema dinamico pu`o essere, infatti, analizzata mediante una finestra scorrevole e per ogni finestra `e possibile calcolare delle grandezze statistiche (media, deviazione standard, ...) i cui valori possono essere trasformati in parametri utilizzabili per fornire delle rappresentazioni uditive dell’evoluzione temporale. La dimensione della finestra assume un ruolo fondamentale sulla qualit`a dei risultati otteni- bili tramite questo metodo. L’impiego di grandezze statistiche rende questo approccio un sistema di codifica globale, anche se, la dimensione della finestra d’analisi determina in maniera significante il prevalere del carattere globale, misto o strettamente locale.

Capitolo 6

Musiche e suoni dal caos

Lo sviluppo della Teoria del Caos e della Complessit`a negli ultimi quaranta an- ni ha portato a un nuovo felice incontro fra Arte e Scienza. A partire dagli anni ’80, lo sviluppo di queste nuove discipline scientifiche ha avuto una forte influenza anche in campo musicale. Numerosi artisti e scienziati, infatti, han- no cercato di applicare a fini artistici le scoperte e i risultati emersi in questi settori della ricerca scientifica. Tra le varie applicazioni sviluppate nel corso degli anni, diversi compositori e ricercatori hanno sperimentato la possibilit´a di impiegare sistemi dinamici non–lineari per la generazione di suoni e musiche [12, 35, 36, 83]. Le motivazioni che hanno favorito questo felice incontro sono molteplici e probabilmente anche difficili da individuare in maniera completa. Sicuramente un fattore determinante `e rappresentato dal fascino che esercitano le varie forme e gli oggetti generati artificialmente mediante il calcolatore la cui bellezza spesso si fonda sull’evocazione di strutture e di propriet`a tipiche dei fenomeni e degli oggetti della Natura. Tutto ci`o ha stimolato sia la fantasia degli artisti, interessati a esplorare mondi immaginari prodotti dall’estro e dalla creativit`a, sia quella degli scienziati spinti dal desiderio di investigare i fenomeni naturali tramite la creazione di modelli semplificati capaci comunque di ricreare la complessit`a e il fascino di tutto ci`o che ci circonda in Natura.

L’architettura si occupa dell’organizzazione delle forme nello spazio; in ma- niera simile `e possibile pensare la Musica come quella disciplina finalizzata al- l’organizzazione delle forme nel tempo. Il suono `e un fenomeno di natura stret- tamente temporale che implica il bisogno di rapportarsi a esso mediante concetti che riflettano questa sua essenza profondamente dinamica. Non `e, infatti, un caso che concetti quali: evoluzione, sviluppo, trasformazione, ripetizione, va- riazione, siano largamente presenti nel pensiero musicale riflettendo la natura intrinsecamente dinamica del suono e della musica. Questa natura dinamica spinge a esplorare le possibili relazioni fra l’universo musicale e il sapere mate- matico legato ai sistemi dinamici nel quale i sistemi caotici rappresentano una delle pi`u interessanti e affascinanti sottocategorie.

La generazione di suoni e musiche mediante sistemi caotici pu`o essere com- piuta ponendosi obiettivi di natura diversa. Da un punto di vista stretta- mente scientifico `e possibile perseguire diversi obiettivi mediante l’impiego di rappresentazioni sonore nello studio dell’evoluzione di sistemi dinamici [9]:

• individuare ricorrenze e riconoscere musicalmente i punti di equilibrio di un sistema dinamico;

• osservare come, in presenza di attrattori stabili, pi`u soluzioni, pur parten- do da condizioni iniziali differenti, tendono ad assestarsi, con il passare del tempo, a un punto fisso. Ci`o equivale alla rappresentazione uditiva dei bacini di attrazione e delle caratteristiche del transiente, ossia del modo secondo cui il sistema perviene allo stato stabile;

• indagare sulla natura del caos, osservando il comportamento del sistema di fronte a piccole variazione sulle condizioni iniziali;

• indagare sulla stabilit`a strutturale di un sistema dinamico tramite l’analisi del materiale musicale generato al fine di osservare il suo comportamento di fronte a piccole variazioni dei suoi parametri di controllo;

• analizzare come i materiali musicali prodotti dall’attivit`a relativa ai punti precedenti siano percepiti dai soggetti umani.

D’altra parte, sposando un punto di vista pi`u rivolto alla composizione musicale, queste stesse attivit`a possono contribuire a esplorare e scoprire nuovi materia- li, sia musicali, sia sonori, che possono facilmente trovare un diretto utilizzo per la composizione di brani musicali e per la realizzazione di performance e installazioni artistiche.

I sistemi dinamici che mostrano un comportamento caotico possono esse- re impiegati in diversi modi in campo musicale per la generazione di suoni e musiche. Da un punto di vista storico, a causa delle limitate capacit`a compu- tazionali dei primi calcolatori, tali sistemi sono stati inizialmente utilizzati per