La calibrazione della PD nell’approccio Bottom-Up

Come nell’approccio top-down, anche per l’approccio bottom-up è utile far riferimento alle teorie implicite nel modello di Merton per calcolare l’impatto del rischio di transizione. Per l’approccio bottom-up il punto di partenza in questo caso non sarà la variazione della PD espressa a livello settoriale, ma la calibrazione partirà dalla variazione delle probabilità di default calcolate per un campione di debitori appositamente selezionato secondo le logiche discusse nella sezione relativa. L'equazione che è stata utilizzata risulta molto simile a quella sopra esposta ed è sintetizzabile nella forma:

𝑃𝐷𝑖|c∗= Φ (Φ−1(𝑃𝐷𝑖,𝑇𝑇𝐶) − 1 𝛼𝑘 ∑ (𝑠_𝑗,𝑘𝑟 𝑓_𝑘𝑟) 𝑗 )

𝑃𝐷𝑖|c∗ = PD scenario‐adjusted del borrower i

𝑃𝐷𝑖,𝑇𝑇𝐶 = PD through‐the‐cycle del borrower i

𝑠_𝑗,𝑘𝑟 = sensitivity rispetto al risk factor r nel segmento/area geografica j del settore k 𝑓_𝑘𝑟 = percorso evolutivo del risk factor r del settore k

𝛼_𝑘 = fattore di calibrazione del settore 𝑘 1

𝛼𝑘

∑ (𝑠_𝑗,𝑘𝑟 𝑓_𝑘𝑟)

𝑗

= Climate Credit Quality Index (CCQI) per segmento/area geografica j

Questa equazione sposta la PD dal suo normale percorso temporale, in base ad un valore che viene definito “indice di qualità del credito climatico” (UNEP FI/OW, 2018). Questo indice di qualità del credito climatico non è altro che la somma dei prodotti tra gli output degli scenari di stress, i cosiddetti risk factor, e delle sensitivity del settore (alte/medie/basse), moltiplicata per un fattore di calibrazione 𝛼_𝑘 specifico del settore di riferimento. Il fattore di calibrazione 𝛼_𝑘 viene inizialmente stimato utilizzando un'ottimizzazione dei minimi quadrati, adattando il percorso del fattore di rischio verso i punti di calibrazione.

Da una prospettiva teorica, 𝛼_𝑘 ha una doppia interpretazione. Innanzitutto, normalizza l'impatto dei percorsi dei fattori di rischio in modo che siano interpretabili come impatto su una variabile casuale con una distribuzione normale unitaria, come richiesto dal framework di Merton. In secondo luogo, identifica l'entità dell'impatto dello scenario, in modo da valutare efficacemente la solidità della relazione rischio/credito a livello settoriale per il portafoglio dato.

Nella prima fase di ottimizzazione, il parametro 𝛼_𝑘 viene trovato mantenendo costante i valori delle sensitivity 𝑠_𝑗,𝑘𝑟 :

– durante il primo step di calibrazione, tutte le sensitivity sono impostate ad un valore pari a 1 (corrispondente ad una sensitivity di livello medio);

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– di conseguenza, la prima fase produrrà lo stesso spostamento di PD per tutti i segmenti del settore, cioè lo spostamento medio dei segmenti di uno specifico settore.

Nella seconda fase della calibrazione, viene trovato un valore ottimale per ogni livello di sensitivity e per ogni percorso evolutivo del risk factor 𝑓_𝑘𝑟:

• i valori di sensitivity vengono modificati per costruire le variazioni delle PD a livello di segmento dopo che è stato trovato 𝛼_𝑘

• le soluzioni variano in base al livello di sensitivity (ad es. "basso=0,8" o “alto=1,2”) e al percorso del risk factor 𝑓_𝑘𝑟;

• questo significa che tutti i segmenti all'interno di un settore che hanno lo stesso "livello" di sensitivity rispetto al risk factor 𝑓_𝑘𝑟 produrranno lo stesso risultato. Si mette in evidenza che questo tipo di metodologia interpreta i livelli qualitativi di sensitivity immessi dagli analisti di credito (expert judgment) come vincoli di ottimizzazione. Questi vincoli assicurano che i valori di sensitivity risultanti dalla calibrazione siano coerenti con le valutazioni expert based (ad es. le sensitivity "alte", associate ad un beta obiettivo di 1,2, avranno un impatto più negativo rispetto a quelle targate come "basse", corrispondenti ad un beta obiettivo di 0,8). È noto che i modelli di ottimizzazione derivano i parametri di calibrazione minimizzando un termine di errore. In questo caso, l’errore è rappresentato dalla somma della differenza quadratica tra la variazione degli input di PD, utilizzati come punti di calibrazione a livello del singolo debitore, e la variazione di PD che si genera attraverso i percorsi del fattore di rischio 𝑓_𝑘𝑟, le sensitivity 𝑠_𝑗,𝑘𝑟 e il fattore 𝛼_𝑘.

Ogni differenza di somma quadratica può essere ponderata in modo diverso a seconda del caso d'uso:

∑ 𝜃_𝑡,𝑖× (𝐵_𝑡,𝑖− 𝐶_𝑡,𝑖)2 𝑖

𝜃_𝑡,𝑖 = peso del termine di errore per ogni combinazione timestep/debitore 𝐵𝑡,𝑖 = valore del punto di calibrazione al tempo 𝑡 per il debitore 𝑖

𝐶_𝑡,𝑖 = valore non calibrato al tempo 𝑡 per il debitore 𝑖

In particolare, il valore 𝐵_𝑡,𝑖 è rappresentato dalla differenza tra le inverse delle normali standard delle PD TTC e delle PD calibrate, mentre il valore 𝐶_𝑡,𝑖, è espresso come differenza tra le inverse delle normali standard delle PD TTC e delle PD risultanti dalla valutazione di impatto del portafoglio (sulla base di percorsi dei fattori di rischio 𝑓_𝑘𝑟, le sensitivity 𝑠_𝑗,𝑘𝑟 e il fattore 𝛼_𝑘).

Da notare che i pesi iniziali del termine di errore dovrebbero essere impostati per garantire a ciascun segmento un peso equivalente nella calibrazione, indipendentemente dal numero di punti di calibrazione per segmento. Questi pesi potrebbero inoltre essere personalizzati da parte degli analisti, ad es. attribuendo

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maggiore peso ai punti di calibrazione per i quali è stata condotta un'analisi quantitativa più dettagliata.

𝜃𝑡,𝑖 =

1 𝜂𝑗,𝑘

× 1 𝐽𝑘

𝜂_𝑗,𝑘 = numero di punti di calibrazione nel segmento j all′interno del settore k 𝐽_𝑘 = 𝑛umero totale di segmenti j all′interno del settore k

Si noti che il secondo termine non è strettamente necessario, ma consente di ottenere una somma dei pesi per settore pari a uno.

Una volta calibrati tutti questi parametri, utilizzando le equazioni di cui sopra, è possibile stimare la PD implicita nei diversi scenari di stress per tutti i debitori di un determinato segmento. Si ricorda che la metodologia in questione fa riferimento alle tecniche di stress più comunemente utilizzate, ma in coerenza con parametri stimati internamente e consentendone un’eventuale personalizzazione. Il framework può quindi essere applicato a tutti i settori e può prendere in considerazione sia la composizione dei diversi segmenti, sia le serie delle sensitivity 𝑠_𝑗,𝑘𝑟 e sia una diversa calibrazione judgmental fornita dagli analisti interni.