I modelli per la stima della PD

I modelli di stima della PD comunemente utilizzati in ambito bancario si dividono in due fondamentali categorie:

• i modelli di scoring (che assegnano un punteggio numerico, detto credit risk score, riconducibile al valore della probabilità di default tramite una funzione monotona);

• i modelli strutturali (che stimano la probabilità di default a partire dalla probabilità di esercizio di un’opzione reale).

Nell’ambito dei primi, rientra il noto modello Z-score di Altman133_{. Il modello}

originario, sviluppato nel 1968, si basa su una combinazione lineare di un insieme di 5 indici di bilancio:

𝑍 = 1.2𝑎 + 1.4𝑏 + 3.3𝑐 + 0.6𝑑 + 1.0𝑒 𝑎 = working capital / total assets 𝑏 = retained earnings / total assets

𝑐 = earnings before interest and taxes / total assets 𝑑 = market value of equity / total liabilities

𝑒 = sales / total assets

Tale modello è stato nel tempo affinato e ricalibrato per aggiornare i coefficienti e introdurre nuovi predittori.

Nel seguito si adotterà lo Z’’-score, versione aggiornata dello Z-score del 1968 proposta da Altman stesso, corrispondente al seguente set di coefficienti:

𝑍′′ = 3,25 + 6,56𝑎 + 3,26𝑏 + 6,72𝑐 + 1,05𝑑

Dove a,b,c sono come sopra e d è il book value of equity to total liabilities

133 _{E.L. Altman, A 50-Year Retrospective on Credit Risk Models, the Altman Z-Score Family of Models and Their Application to Financial Markets}

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L’obiettivo dello Z-score di Altman è semplicemente la previsione dell’evento di default (lo Z-score fu infatti proposto, inizialmente, per discriminare le condizioni a rischio di default in base ad una soglia). Successivamente al 1968 iniziarono ad essere introdotti, per la stima della PD, modelli che utilizzavano indici di bilancio in modo non lineare (inizialmente applicando una funzione di trasferimento logit al credit score, come nel caso dello O-score di Ohlson134 _{ed in seguito, col precisarsi}

di basi di dati di maggiori dimensioni e complessità, con tecniche statistiche più sofisticate che prevedono anche l’impiego di tecniche di machine learning). Dal 1974 vennero introdotti modelli “strutturali”, derivati dall’approccio proposto da Merton per il pricing delle opzioni135_{, che utilizza principalmente variabili di mercato.}

Più di recente, a partire dal 2010, sono stati proposti modelli di credit scoring che combinano variabili macroeconomiche, osservazioni di mercato e indici di bilancio (cosiddetto Z-metrics).

La stima della probabilità di default normalmente avviene quindi a partire dalla definizione di un credit risk score, che viene utilizzato direttamente tramite una regressione logistica per inferire una probabilità di default, o per ricondursi ad una classe di rating cui si associa una struttura a termine delle probabilità di default con metodologie attuariali.

Nonostante la sua età e semplicità, lo Z-score di Altman è tuttora diffusamente utilizzato in ambito finanziario per la valutazione del merito creditizio, ed è stato adattato all’utilizzo in diversi contesti rispetto alla sua versione iniziale (esso era infatti stato concepito per le imprese manufatturiere americane), estendendone l’area geografica di applicazione136_{, i settori industriali (esistono varianti per le imprese non}

quotate, per i mercati emergenti e per le imprese finanziarie, che si articolano essenzialmente in diversi valori dei coefficienti da applicare agli indici), o specifici mercati anche con riferimento al nostro paese.

Il legame tra lo score creditizio e la probabilità di default è realizzato mediante una funzione di trasferimento, i cui unici requisiti sono di fatto regolarità e monotonicità. Una scelta possibile, adottata ad esempio per l’O-score di Ohlson, non dissimile dallo Z-score nella struttura, è la funzione logit:

𝑃𝐷 = 1

1 + exp(−𝑂𝑠𝑐𝑜𝑟𝑒);

134 _{Financial and the probabilistic prediction of bankruptcy, Ohlson 1980}

135 _{E. Altman, M. Esentato, G. Sabato, Assessing the credit worthiness of Italin SME and mini bond-issuers, Global Finance Journal, Feb. 2020} 136_{Financial Distress Prediction in an International Context a review and empirical analysis of Altman Z-Score}

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L’utilizzo della funzione logit è meramente esemplificativo (e in questo senso la funzione sarà applicata allo Z’’-score nell’ambito dell’esercizio al paragrafo 3.5: esso rappresenta l’approccio da seguire nell’adattare un qualsiasi modello di credit scoring adottato da una banca in modo da tenere conto del cambiamento climatico, e viene scelto esclusivamente per consentire una più semplice generalizzazione della proposta di framework.

Per quanto riguarda invece l’applicazione nel caso di modelli strutturali basati sul classico approccio di Merton137_{, la probabilità di default viene normalmente}

assegnata tramite l’osservazione di valori di mercato (quali spread del debito) oltre cha da valori di bilancio (struttura del capitale dell’azienda, dal che l’espressione modello strutturale): la probabilità di default corrisponde alla probabilità di esercizio di una put option che consente di disfarsi dell’equity dell’azienda al costo del debito. Negli anni diverse migliorie al modello sono state proposte: Black e Cox138

superano la definizione di default come opzione europea e introducono maggior precisione nella modellazione della frontiera di default, Leland139 _{introduce la}

trattazione delle distorsioni fiscali e dei costi di fallimento.

Il legame tra probabilità di esercizio dell’opzione e probabilità di default osservata è dato dal prezzo di mercato del rischio, come ben esemplificato precedentemente da Crouhy M. et al.140_:

𝜋_𝑄 = Φ (Φ−1_(𝜋 𝑃) +

𝜇 − 𝑟 𝜎 √𝜏)

I valori trovati sulla base dell’applicazione dei modelli strutturali devono poi essere attentamente calibrati sia per l’applicazione all’identificazione degli spread creditizi (così da evitare il “credit risk puzzle”, osservato costantemente sui mercati fin dalla nascita di questo tipo di modelli141142_{), sia per la determinazione delle probabilità di}

default single name (in merito fondamentale è stato il successo del modello di Kealhofer, McQuown e Vasicek, KMV, che sfrutta il confronto con un ampio database di osservazioni empiriche143_).

137 _{Merton, Robert C. (1974). "On the Pricing of Corporate Debt: The Risk Structure of Interest Rates" (PDF). Journal of Finance. 29 (2): 449–470} 138 _{F Black, J. Cox, (1976) Valuing Corporate Securities: some effects of bond indenture provisions. Journal of Finance 31, 351-367}

139 _{H. Leland, “Corporate debt value, bond covenants, and optimal capital structure”, Journal of Finance 49:1213–52} 140_{Crouhy M, Galai D, Mark R. Risk Management. New York: McGraw-Hill, 2000}

141 _{Jones P, Mason S, Rosenfeld E. Contingent claim analysis of corporate capital structures: an empirical investigation. J. Finance 39:611–25,}

1984

142 _{Huang J-Z , Huang M. How much of the corporate-Treasury yield spread is due to credit risk? Rev.Asset Pricing Stud. 2(2)153–202, 2012} 143 _{Vasicek, Oldrich (1984): Credit Valuation, KMV Corporation, San Francisco, March, Document Number: 999–0000–021}

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Infine va considerato che per specifiche caratteristiche di prestiti il rischio fisico ha un impatto che non si limita alla PD, ma coinvolge la LGD: nella stima della perdita attesa ed inattesa relativa ad una posizione dovrà infatti essere tenuto in considerazione che il realizzarsi di un evento estremo climatico può impattare in modo distruttivo i beni sottostanti il prestito (si pensi, ad esempio, ad un evento climatico di inondazione, che distrugge un bene immobile insieme alla capacità economica dell’affidato, da cui deriva una sinergia di PD e LGD nell’aumentare le perdite attese).