Local volatility model

Come già detto, una delle erronee assunzioni del mondo Black-Scholes è che la volatilità del sottostante è costante. Le fluttuazioni possono essere viste in ogni esame statistico delle serie temporali di dati per attività finanziarie, indipendentemente dal grado di sofisticatezza dell’analisi. Questa variazione della volatilità è anche osservata indirettamente attraverso i prezzi di mercato dei

i prezzi dei prodotti derivati. Poiché la volatilità non è direttamente osservabile, ed è certamente non prevedibile, si sfrutterà la relazione tra prezzo e volatilità per determinare la volatilità dai prezzi di mercato. Questo è l’esatto opposto di come abbiamo ragionato finora. Prima il punto di partenza era la stima della volatilità, possibilmente come una funzione del tempo (!), e poi applicare questo risultato per trovare il prezzo delle opzioni; invece, ora con il modello di volatilità locale si inverte questa logica: si prende il prezzo e se ne deduce la volatilità. Poiché le volatilità implicite sono quotate sul mercato e l’attuale volatilità del sottostante è una variabile inosservabile, una funzione di volatilità sconosciuta può essere stimata con i prezzi di mercato osservabili (Wilmott, 2006; Jablecki, et al., 2015).

La variazione più semplice che possiamo fare al mondo di Black-Scholes per ospitare questi prezzi (senza alcun effetto serio sul quadro teorico) è di assumere una volatilità deterministica dipendente dal tempo. Supponiamo che la volatilità in quest’approccio sia una funzione deterministica di una variabile (tempo): (!)30 _{(Wilmott, 2006).}

La dinamica dei prezzi può essere scritta come _{c = c! + (!) cd, dove r è il tasso privo di} rischio, cd =∈ √c! e ∈ ~ (0,1) è una variabile normale standardizzata. Questa equazione differenziale si risolve nella seguente forma:

& = f exp (g −` h_(,) &

f c+ + g (+)cdf& &) (15)

Assumendo che iii(!, j) =

k &g (+)c+ k

& si ottiene

& = f exp lm −iii(0,!)_{2 n ! + o (+)cd}& &

f p

(16)

Quindi _k= _& exp ([ −`rh(&,k)]! + g (+)cd_f& _& , o si può anche dire che ln Vtu

tvW è distribuito

normalmente con media uguale a ( −`rh(&,k))(j − !) e varianza (!)(j − !).

Che, a sua volta, significa che se la volatilità è una funzione deterministica del tempo allora l’equazione di Black-Scholes rimane valida, ma solo se invece di una varianza costante si utilizzerà una varianza tempo dipendente (!) :

30 _{Un segnale x(t) si dice deterministico, se è una funzione nota di t, cioè se, fissato un qualunque istante di tempo t, il}

wx , (!)y = z {ln + + + 12g (!) k f (+)c+ |g (!) (+)c+_fk _}~ − •k z {ln + + − 12g (!) k f (+)c+ |g (!) (+)c+_fk _} ~ (17)

Utilizzando le quote del prezzo dell’opzione siamo in grado di determinare i valori di volatilità locale (t) per ogni t.

Per determinare la superficie di volatilità locale che dà i prezzi delle opzioni che sono coerenti con il mercato (concetto di calibrazione) si presuppone che la volatilità implicita sia pari alla radice quadrata della media delle volatilità locali (varianze). Per semplificare supponiamo che _{Σ(j) denoti} la volatilità implicita quotata dal mercato per un'opzione con strike X e scadenza T. Allora il problema è equivalente a risolvere la seguente equazione:

• 1_{j − ! o}k (+)c+ f = Σ(j) (18) o in maniera equivalente: ok (+)c+ f = Σ(j) (j − !) (19)

Differenziando entrambi i lati per T (sotto assunzione che t sia costante) si ottiene:

(j) = 2Σ(j)Σ‚_{(j)(j − !) + Σ(j ) (20)}

.

Quindi per ogni t ≥ t0, (!) = 2Σ(!)Σ‚(!)(! − !_f) + Σ(! ). Naturalmente, le volatilità implicite

Σ(!) sono disponibili solo per alcune scadenze standard, quindi è necessaria un’assunzione che definisce la volatility term structure. In pratica, non c’è una curva di volatilità implicita continua (e differenziabile), ma si ha un insieme discreto di punti. Dobbiamo quindi fare qualche ipotesi sulla struttura a termine della volatilità tra i punti individuati. Di solito si assume che la funzione della volatilità implicita è costante a tratti o un’interpolazione lineare dei dati disponibili (Wilmott, 2006).

Finora abbiamo visto che la volatilità è una funzione solo del tempo. Tuttavia, le volatilità implicite (poiché quotate sul mercato) sono solitamente dipendenti dal prezzo d’esercizio. Quindi, il

problema è trovare una dinamica del sottostante c = c! + ( , !) cd che sia coerente con tutti i prezzi delle opzioni quotate sul mercato per tutte le scadenze e prezzi d’esercizio.

Soluzioni positive a questo problema sono state inizialmente fornite da Derman and Kani (1994) e Rubinstein (1994) per il caso discreto, e da Dupire (1993) per il caso continuo. Inoltre, loro hanno mostrato l’unicità della soluzione per il mercato completo delle opzioni (cioè senza arbitraggi). Il parametro di diffusione (S,t) è qui chiamato local volatility function o deterministic volatility surface.

Gatheral (2006) riporta che data la distribuzione dei prezzi spot finali ST per ogni T condizionata da

alcuni iniziali prezzi spot S0, Dupire (1993) dimostrò che c’è un unico processo di diffusione

neutrale al rischio che genera queste distribuzioni. Cioè, dato l’insieme di tutti i prezzi di opzioni europee, si può determinare la forma funzionale del parametro di diffusione (local volatility) dell’unico processo di diffusione neutrale al rischio che genera questi prezzi. Rilevando che la volatilità locale sarà in generale una funzione del prezzo delle azioni S0, questo processo può essere

scritto come:

c

= &c! + ( &, !; f)cd (21)

Come visto in Gatheral (2006), l’applicazione del lemma di Ito assieme alla neutralità al rischio, dà luogo ad un'equazione differenziale parziale per funzioni del prezzo del titolo, che è una generalizzazione di Black-Scholes:

„…

„! +12 ( , !) „ +„ … „…„ − … = 0 (22)

Inoltre, la funzione di volatilità locale può essere analiticamente determinata dai prezzi delle opzioni c(X,T) nel seguente modo:

( , j) = 2 „… „! + „„… „ … „ (23)

Ovviamente, la volatility surface estesa sui prezzi C(X,T) non è né continua né differenziabile, infatti le volatilità implicite sono conosciute solo per un finito numeri di punti (C,X). Per rendere

l’equazione (23) utile nella pratica c’è la necessità di parametrizzare la superficie di volatilità attraverso l’interpolazione. Il problema principale qui è da una parte mantenere assunzione di completezza dei mercati (mancanza di arbitraggio) e dall’altra parte l’efficienza numerica. Dopo aver determinato la superficie di volatilità è possibile coerentemente calcolare il prezzo per qualsiasi azione usando le equazione (22) e (23), sebbene in molti casi il prezzo delle opzioni non può essere espresso come una formula esplicita.

Il modello di volatilità locale non è un modello similare a quelli che sono stati presentati nella sezione 1.4, quindi non deve stupire che la funzione stimata di volatilità locale è relativamente instabile nel tempo e non consente di calcolare le previsioni per i prezzi delle opzioni con una precisione soddisfacente. Tuttavia, l’essenza della volatilità locale non è la previsione della volatilità ma la valutazione (pricing) dei contratti d’opzione (in particolare dei contratti d’opzione esotiche) in modo coerente con i prezzi di mercato. Naturalmente, i prezzi che si osservano sul mercato non devono essere prezzi veri o di equilibrio, ma l’inclusione dei prezzi di mercati nel processo di valutazione neutralizza lo scostamento tra modelli di valutazione e gli attuali prezzi del mercato da strumenti più sofisticati (Jablecki, et al., 2015).