Rischio e rendimento di un portafoglio

Normalmente chi investe non detiene un singolo titolo, ma un insieme di titoli. Ciò avviene perché gli investitori non sono interessati solo alla massimizzazione del rendimento (altrimenti terrebbero in portafoglio solo il titolo con il più alto rendimento in futuro), ma prestano attenzione sia al rendimento sia al rischio. Sarà la diversificazione, tramite la detenzione di una pluralità di titoli, che permette la riduzione del rischio cercando di non intaccare il rendimento.

A questo punto è importante esprimere in termini quantitativi e statistici il rendimento e il rischio di un portafoglio ricordando che anche tale analisi può essere condotta ex-post o ex-ante.

Come dimostra la formula (51), il rendimento ex-post di un portafoglio è la media ponderata dei rendimenti dei singoli titoli, dove la ponderazione è rappresentata dal peso che i titoli hanno nel portafoglio:

D,& = ,& d,& Ê

(51) dove:

i indica l’i-esimo titolo con i=1,..,m t indica il periodo di riferimento

d,& peso dell’i-esimo titolo al tempo t; il peso di un titolo in portafoglio è l’investimento

totale in quel titolo diviso per il valore totale del portafoglio. Il peso è riferito all’inizio del periodo t in esame, cioè al momento in cui il portafoglio viene costruito.

La varianza ex-post di un portafoglio è data dall’espressione (52): D = d + 2 w#Í,Bd dB ÎB Ê (52) dove w#Í_,B indica la covarianza tra i rendimenti delle attività i-esima e j-esima. La formula della covarianza è la (53):

w#Í,B =_{G − 1}1 x ,&−ry(Ç :

& B,&

−r) Ï (53)

dove _{r e Ç r indicano il rendimento medio dei titoli i-esimo e j-esimo nel periodo complessivo. Ï} Diversamente dal rendimento il rischio di un portafoglio è collegato, oltre che al rischio dei singoli titoli, anche al legame tra gli stessi. In altri termini, il rischio di un portafoglio dipende:

- Dai rischi specifici dei singoli titoli (misurati dalle loro varianze)

- Dal rischio sistematico complessivo, che deriva dal legame (misurato dalla covarianza) fra le coppie dei rendimenti dei titoli.

Quando si considerano due o più variabili aleatorie, la loro dipendenza reciproca può essere espressa tramite la loro covarianza. La covarianza di due variabili aleatorie i e j è solitamente denotata da _B. Si noti che, per simmetria _B = _B ed inoltre = .

La covarianza è una misura della dispersione congiunta dei rendimenti di due titoli attorno alla media e differentemente dalle altre misure della dispersione come varianza e deviazione standard, la covarianza può avere segno positivo e negativo.

Se per due variabili aleatorie i e j vale la proprietà _B = 0, si afferma che le due variabili sono non

correlate. Sostanzialmente, si tratta del caso in cui la conoscenza del valore di una variabile non

fornisce informazioni sul valore dell’altra. Se due variabili aleatorie sono indipendenti, allora non sono correlate. Se _B > 0 si afferma che le due variabili sono correlate positivamente perché se una delle variabili (il rendimento nel nostro caso) ha un valore superiore alla propria media, probabilmente ciò vale anche per l’altra. Al contrario, se vale _B < 0, allora due variabili si dicono

correlate negativamente perché a grandi linee indica che quando il rendimento di un titolo è sopra

la media, il rendimento dell’altro è sotto la propria media, ossia i rendimenti dei due titoli si muovono generalmente in modo opposto.

Un altro utile strumento è il coefficiente di correlazione di due variabili, calcolato sia ex ex-post il coefficiente ha la seguente formula

Tale elemento statistico ha l’interessante proprietà di essere sempre compreso tra

deviazioni standard sono sempre positive, il segno del coefficiente dipende dalla covarianza. Se il coefficiente di correlazione assume i seguenti valori

ˆ,B= +1 i rendimenti delle due attività rivelano una “perfetta correlazione positiva”, cioè i

rendimenti dei due titoli si trovano su una retta inclinata positivamente in un sistema di assi cartesiani in cui le variabili sugli assi sono proprio i rend

titoli non sono variabili indipendenti una dall’altra, ma sono legati da una relazione lineare per cui se il rendimento di un titolo varia, anche il rendimento dell’altra varia nel rispetto dell’equazione di una retta;

Figura

ˆ,B= −1 i rendimenti dei titoli manifestano una “perfetta correlazione negativa”, cioè i titoli si

trovano su una retta inclinata negativamente. In tale ipotesi se il

finanziaria è alto, il rendimento dell’altra è basso, ma i due rendimenti si muovono sempre secondo una relazione lineare;

Un altro utile strumento è il coefficiente di correlazione di due variabili, calcolato sia ex la seguente formula (54):

ˆ,B =w#Í,B B

Tale elemento statistico ha l’interessante proprietà di essere sempre compreso tra

deviazioni standard sono sempre positive, il segno del coefficiente dipende dalla covarianza. zione assume i seguenti valori:

i rendimenti delle due attività rivelano una “perfetta correlazione positiva”, cioè i rendimenti dei due titoli si trovano su una retta inclinata positivamente in un sistema di assi cartesiani in cui le variabili sugli assi sono proprio i rendimenti. In tale ipotesi i rendimenti dei due titoli non sono variabili indipendenti una dall’altra, ma sono legati da una relazione lineare per cui se il rendimento di un titolo varia, anche il rendimento dell’altra varia nel rispetto dell’equazione di

Figura 40: Perfetta correlazione positiva

i rendimenti dei titoli manifestano una “perfetta correlazione negativa”, cioè i titoli si trovano su una retta inclinata negativamente. In tale ipotesi se il rendimento di una attività finanziaria è alto, il rendimento dell’altra è basso, ma i due rendimenti si muovono sempre secondo Un altro utile strumento è il coefficiente di correlazione di due variabili, calcolato sia ex-ante che

(54) Tale elemento statistico ha l’interessante proprietà di essere sempre compreso tra -1 e +1. Poiché le deviazioni standard sono sempre positive, il segno del coefficiente dipende dalla covarianza.

i rendimenti delle due attività rivelano una “perfetta correlazione positiva”, cioè i rendimenti dei due titoli si trovano su una retta inclinata positivamente in un sistema di assi imenti. In tale ipotesi i rendimenti dei due titoli non sono variabili indipendenti una dall’altra, ma sono legati da una relazione lineare per cui se il rendimento di un titolo varia, anche il rendimento dell’altra varia nel rispetto dell’equazione di

i rendimenti dei titoli manifestano una “perfetta correlazione negativa”, cioè i titoli si rendimento di una attività finanziaria è alto, il rendimento dell’altra è basso, ma i due rendimenti si muovono sempre secondo

Figura

ˆ,B= 0 i rendimenti dei titoli non

nessuna logica nel sistema di assi cartesiani e sono tra loro completamente indipendenti;

Figura

I casi fin qui descritti sono scolastici

correlazione pari a +1,-1,0. E’ più frequente il caso in cui i rendimenti siano correlati posit ma in modo imperfetto corrispondente

difficile trovare titoli anche con correlazione negativa imperfetta compreso tra -1 e 0..

Graficamente, i rendimenti dei titoli con imperfetta correlazione (positiva o negativa) si dispongono in una fascia (non più in una retta) inclinata positivamente o negativamente, indicando che ad alti rendimenti di un’attività finanziaria corrispondono alti rendimenti anche dell’altra (o bassi se inclinata negativamente). La mancanza della perfetta correlazione non consente più di defi matematicamente quale sia la relazione secondo la quale i rendimenti cambiano, ma in maniera approssimativa si può affermare che i rendimenti si muovono nella stessa direzione o in direzione

Figura 41: Perfetta correlazione negativa

i rendimenti dei titoli non sono correlati, cioè i rendimenti dei titoli sono sparsi senza nessuna logica nel sistema di assi cartesiani e sono tra loro completamente indipendenti;

Figura 42: Assenza di correlazione

I casi fin qui descritti sono scolastici perché non è comune trovare due titoli con coefficienti di 1,0. E’ più frequente il caso in cui i rendimenti siano correlati posit

ma in modo imperfetto corrispondente ad un valore del coefficiente compreso tra 0 e 1

difficile trovare titoli anche con correlazione negativa imperfetta con valore del coefficiente Graficamente, i rendimenti dei titoli con imperfetta correlazione (positiva o negativa) si dispongono etta) inclinata positivamente o negativamente, indicando che ad alti attività finanziaria corrispondono alti rendimenti anche dell’altra (o bassi se inclinata negativamente). La mancanza della perfetta correlazione non consente più di defi matematicamente quale sia la relazione secondo la quale i rendimenti cambiano, ma in maniera approssimativa si può affermare che i rendimenti si muovono nella stessa direzione o in direzione sono correlati, cioè i rendimenti dei titoli sono sparsi senza nessuna logica nel sistema di assi cartesiani e sono tra loro completamente indipendenti;

perché non è comune trovare due titoli con coefficienti di 1,0. E’ più frequente il caso in cui i rendimenti siano correlati positivamente ad un valore del coefficiente compreso tra 0 e 1, perché è con valore del coefficiente Graficamente, i rendimenti dei titoli con imperfetta correlazione (positiva o negativa) si dispongono etta) inclinata positivamente o negativamente, indicando che ad alti attività finanziaria corrispondono alti rendimenti anche dell’altra (o bassi se inclinata negativamente). La mancanza della perfetta correlazione non consente più di definire matematicamente quale sia la relazione secondo la quale i rendimenti cambiano, ma in maniera approssimativa si può affermare che i rendimenti si muovono nella stessa direzione o in direzione

Figura 43: Imperfetta correlazione negativa e positiva