Un focus sul fenomeno della consolidazione

9.2.3.1.1.1.INTRODUZIONE

La consolidazione è quel fenomeno che si origina a partire dall’applicazione di un carico distribuito (q) su un terreno saturo. Detto carico determina un incremento della tensione geostatica costante associato all’incremento della pressione interstiziale, dovuta all’acqua presente nei vuoti del terreno.

Per una maggiore comprensione del fenomeno, si ricorda che un terreno viene detto saturo quando i vuoti sono completamente riempiti d’acqua. Ciò vuol dire che se si considera un campione di terreno, il suo volume (VT) può essere espresso nella seguente forma: VT = VS + VW in cui:

x VS è il volume della frazione solida del campione;

x VW è il volume dell’acqua presente all’interno dei vuoti.

Il grado di saturazione di un terreno viene espresso attraverso il coefficiente di saturazione (SR) dato

dal rapporto tra il volume dell’acqua e quello dei vuoti; si ha infatti che: SR = VW/VV.

Sulla base del valore assunto da SR un terreno può essere definito:

x saturo, quando i vuoti sono totalmente riempiti d’acqua, ossia quando SR = 1 in quanto VW =

VV;

x asciutto, quando i vuoti sono privi di acqua e sono totalmente riempiti di aria. In questo caso, essendo VW = 0, SR = 0;

x parzialmente saturo, quando all’interno dei vuoti coesistono i due fluidi ossia l’aria e l’acqua; ciò significa che 0 < S < 1.

Se si considera il terreno omogeneo ed isotropo, è corretto pensare che qualunque punto del terreno, a qualunque profondità risente allo stesso modo dell’azione del carico. Ciò vuol dire che, assumendo l’ipotesi di coincidenza del piano campagna col pelo libero, si ha la situazione rappresentata in figura 9.2.

Fig. 9.3 - Andamento della tensione geostatica per effetto di un carico distribuito q applicato su un terreno che si è ipotizzato essere omogeneo ed isotropo.

Nella figura di cui sopra:

x h è la profondità misurata rispetto al piano campagna alla quale si trova l’elemento infinitesimo di terreno;

㻝㻠㻟㻌 x γSAT è il peso specifico del terreno in condizioni di saturazione. Questo è calcolabile

utilizzando la formula γSAT = (WW + WS) / VT in cui WW è il peso dell’acqua contenuta nel

terreno, mentre WS è il peso del terreno stesso;

x σ è la tensione geostatica, la quale si origina per effetto del peso del terreno che sovrasta l’elemento infinitesimo, posto alla profondità h rispetto al piano campagna. La tensione geostatica, come risulta dal diagramma triangolare (di cui sopra in figura), aumenta all’aumentare della profondità: tale fenomeno è legato al fatto che all’aumentare della profondità aumenta il peso sovrastante il dato elemento infinitesimo.

La tensione geostatica viene infatti espressa come funzione della generica profondità z secondo la formula σ = σ(z) = γz. Quest’espressione è da considerarsi applicabile nella sola ipotesi di terreno omogeneo; altrimenti è necessario applicare la formula σ = Σ γi zi con la quale si riconosce la reale

condizione di eterogeneità del terreno e la sua naturale stratificazione. Nella formula infatti γi zi

rappresentano rispettivamente il peso specifico e lo spessore dello i-esimo strato di terreno.

In base al principio degli sforzi efficaci, σ è data dalla somma di σ’ e u, che sono rispettivamente la tensione efficace dovuta alle forze interstiziali che si scambiano i grani del terreno e la tensione dovuta alla pressione interstiziale dell’acqua presente nei vuoti. È chiaro che quanto riportato in figura 9.2 è semplicemente una idealizzazione del fenomeno dato che nella realtà il terreno è eterogeneo ed anisotropo, cioè presenta caratteristiche variabili in funzione della direzione di osservazione. Ciò vuol dire che, l’applicazione di un carico distribuito q origina nel terreno una zona in cui i punti risentono maggiormente dell’azione di detto carico; questo perché la pressione interstiziale aumenta rispetto alla zona circostante. Poiché il terreno tende a ripristinare la condizione di equilibrio, come mostra la figura seguente, nel tempo si avrà una certa portata d’acqua Q in moto dalla zona a pressione maggiore verso quella a pressione minore.

Fig. 9.4 - Creazione di una zona a pressione maggiore in un terreno eterogeneo ed anisotropo per effetto di un carico distribuito q

Ai fini di una maggiore comprensione del fenomeno trattato nel presente paragrafo, si riportano di seguito il significato di quanto indicato in figura 9.3:

㻝㻠㻠㻌 presenza dell’acqua nei vuoti, prima dell’applicazione del carico;

x ∆u è l’incremento di detta tensione per effetto dell’applicazione del carico. Col passare del tempo, ∆u tende ad annullarsi e uo + ∆u tende a uo; ciò significa che il terreno procede nella

direzione di ripristinare l’equilibrio. È chiaro che, maggiore è il carico, maggiore sarà l’incremento di tensione e maggiore il tempo che il terreno impiega per dissiparla e così ripristinare la condizione di equilibrio.

A questo punto, è possibile distinguere due tipi di moto:

x moto stazionario, che si ha in terreni permeabili quando la portata di acqua si mantiene constante;

x moto transitorio, che si ha nei terreni impermeabili quando la portata di acqua è variabile. Prima di entrare nel merito della consolidazione, tendo a soffermarmi brevemente su un concetto che è di fondamentale importanza nello studio del moto delle particelle d’acqua in un terreno: la permeabilità del terreno. Il coefficiente di permeabilità non è altro che una velocità che fornisce una misura della maggiore o minore facilità dell’acqua ad attraversare un dato terreno. Essa viene anche detta velocità apparente ed è generalmente espressa in centimetri su secondo. Attraverso la legge di Darcy, è possibile esprimere la velocità con cui le particelle d’acqua si muovono nel terreno: V = Ki in cui K è il coefficiente di permeabilità, i è il gradiente idraulico dato dal rapporto tra il potenziale h che la particella d’acqua dissipa attraverso un generico percorso e la lunghezza l di detto percorso. Essendo i una costante, V è direttamente proporzionale a K; il che significa che maggiore è la permeabilità del terreno, maggiore è la sua attitudine a farsi attraversare dalle particelle d’acqua, nonché maggiore è la velocità con cui queste si muovono nel terreno.

Per calcolare il coefficiente di permeabilità si possono condurre o prove in laboratorio o prove in situ: le prime, pur essendo più precise sono meno rappresentative delle seconde in quanto vengono condotte su un singolo campione generalmente di 50 cm di altezza, trascurando le caratteristiche geomorfologiche del terreno dal quale esso è stato prelevato. Le prove in laboratorio sono condotte utilizzando uno strumento definito permeametro che può essere o a carico variabile o carico costante. Per quanto concerne le prove in situ, esistono due metodi per il calcolo del coefficiente di permeabilità:

x flusso non confinato (falda freatica); x flusso confinato (falda artesiana).

In funzione del coefficiente di permeabilità K è possibile distinguere i terreni permeabili da quelli non permeabili (o, meglio detti, impermeabili); tra i primi si ricordano le sabbie e le ghiaie per le quali si hanno rispettivamente i seguenti valori di K:

- sabbie Æ 10-4 cm/sec < KS < 10-2 cm/sec

- ghiaie Æ KG > 10-2 cm/sec

Tra i terreni impermeabili si ricordano invece le argille, per le quali si hanno valori di K dell’ordine di 10-8 – 10-9 cm/sec.

I terreni sabbiosi e ghiaiosi sono quei terreni in cui si innesca il processo di filtrazione, mentre quelli argillosi sono tipici del fenomeno di consolidazione; fenomeno a cui è dedicato il presente paragrafo.

9.2.3.1.1.2 IL FENOMENO DELLA CONSOLIDAZIONE

㻝㻠㻡㻌 cartesiano x, y e z; il volume dell’elemento è pari a dx*dy*dz. Si indichino inoltre le portante entranti ed uscenti per ciascuna delle tre direzioni.

Fig. 9.5 - Elemento infinitesimo di terreno con associazione di un sistema di riferimento tridimensionale e delle portate d’acqua entranti ed uscenti.

Se il moto dell’acqua è stazionario, ossia la portata entrante eguaglia quella uscente, il carico a cui è soggetto il terreno innesca un fenomeno di filtrazione; si ha pertanto quanto espresso di seguito in forma matematica.

㻌

㻌 Considerando che:

㻌 Si ricava la seguente formula che esprime l’equazione differenziale della filtrazione:

㻝㻠㻢㻌 Se il moto è transitorio, la portata entrante è diversa di quella uscente e l’elemento infinitesimo di terreno subisce una variazione del suo volume secondo la seguente formula:

(1)

Trattandosi di un processo di consolidazione, si ha una riduzione del volume dell’elementino infinitesimo di terreno; in altre parole sia ha:

q

>q

ÆÆ (∂V/∂t) <0

Sostituendo i valori di qe e qu nell’equazione (1) si ha quanto riportato di seguito:

Sostituendo in quest’ultima i valori di dqx, dqy e dqz, come riportati sopra, si ricava l’equazione

differenziale della consolidazione nella seguente forma:

(2)

Essendo l’elemento infinitesimo di terreni saturo, la variazione del suo volume è dovuta esclusivamente alla variazione del volume di acqua contenuto nei vuoti; si ha infatti che:

Calcolato il rapporto (∂V/∂t) come mostrato sopra, l’equazione differenziale della consolidazione (equazione n. 2) può essere così modificata:

(3)

E’ noto che il volume dell’elemento infinitesimo di terreno in condizioni di saturazione può essere calcolato nel seguente modo:

㻝㻠㻣㻌

Nell’espressione di cui sopra, è possibile ricavare Vs ed esprimere V come prodotto tra dx, dy e dz;

si ottiene così l’espressione per il calcolo di Vs nella seguente forma:

(4)

Come già sopra anticipato, il coefficiente di saturazione SR fornisce una misura del grado di

saturazione di un terreno e può essere calcolato ricorrendo alla seguente formula:

Moltiplicando numeratore e denominatore per Vs si ha:

㻌 㻌 㻌㻌㻌㻌㻌㻌㻌㻌㻌㻌㻌㻌㻌㻌㻌㻌㻌㻌㻌㻌㻌㻌 㻌 㻌 㻌

in cui (dx*dy*dz)/(1+e) è una costante.

Sostituendo quest’ultima nella (3) e considerando che in condizioni di saturazione SR è uguale ad 1,

l’equazione differenziale della consolidazione si scrive come mostrato di seguito:

(5)

Si fa osservare che solitamente il processo di consolidazione è studiato solo nella direzione verticale, in quanto:

- si arriva più facilmente alla soluzione senza compromettere l’attendibilità del risultato finale

in quanto questo non si discosta molto dal valore che si otterrebbe qualora si conservasse l’approccio tridimensionale del problema;

㻝㻠㻤㻌 Sulla base delle considerazioni di cui sopra, l’equazione n. 5 assume la seguente forma

e si giunge così alla teoria monodimensionale di Terzaghi, il cui approfondimento da parte del lettore è rimandato a bibliografia specifica.