Università degli Studi di Siena
Correzione Prova scritta di Matematica Generale (A.A. 2020-21) 31 maggio 2021
Compito Unico
") I METODO (con la tavola di verità). Costruiamo la tavola di verità della proposizione indicata:
: ;
Z Z J Z Z Z
Z J J Z Z Z
J Z Z J J Z
J J J Z Z Z
c: / ; c c: / ; : 9 c; c c: / ; Ê : 9 c;
Dall'ultima colonna della tavola di verità deriva che la proposizione proposta è una tautologia.
II METODO (con le operazioni della logica matematica). Per le leggi di de Morgan, la proposizione c c: / ; è equivalente alla proposizione : 9 c;, pertanto
c c: / ; Ê : 9 c; equivale logicamente alla : 9 c; Ê : 9 c; che è banalmente una tautologia.
# E œ ÖB −) ‘À B Ÿ %× œ ÖB −# ‘À # Ÿ B Ÿ #× œ Ò #ß #Ó;
F œ ÖB −‘À $ )"× œ ÖB −B ‘À $ $ × œ ÖB −B % ‘À B %× œ Ó ∞ß %Ò, dato che E § F risulta E ∪ F œ F E ∩ F œ E E ∪ G F œ Ò #ß #Ó ∪ Ò%ß ! ∞Ò e . , G E ∩ F œ Ó ∞ß #Ò ∪ Ó#ß %Ò , e di conseguenza
$E ∪ G F œ$G E ∩ F œ Ö #ß #ß %×.
(Che i due insiemi presentino la stessa fontiera è implicito dal fatto che
E ∪ G F œ G G E ∩ F e ogni insieme presenta sempre la stessa frontiera del suo complementare.)
$) La funzione proposta risulta continua in tutto l'insieme dei numeri reali se si verificano le seguenti due uguaglianze:
637 0 ÐBÑ œ 637 0 ÐBÑ 637 0 ÐBÑ œ 637 0 ÐBÑ.
B Ä + B Ä +! B Ä , B Ä ,!
Calcoliamo i quattro limiti:
3. 637 0 ÐBÑ œ 637 " ! B œ " ! +;
B Ä + B Ä +
33. 637 0 ÐBÑ œ 637 $ B œ $ +;
B Ä +! B Ä +!
333. 637 0 ÐBÑ œ 637 $ B œ $ ,;
B Ä , B Ä ,
3333. 637 0 ÐBÑ œ 637 $ ! B œ $ ! ,.
B Ä ,! B Ä ,!
Pertanto la funzione è continua in tutto l'insieme dei numeri reali se si verificano le due condizioni " ! + œ $ + $ , œ $ ! , e , da cui + œ # , œ $ e .
% 637 / ! =/8 B " œ 637 / " =/8 B† ! =/8 B œ
B =/8 B B B
) B Ä ! B Ä !
=/8 B =/8 B
637 / " ! " † =/8 B œ Ä " ! " † Ä " œ #
=/8 B B
B Ä !Œ =/8 B .
637 B † " ! # œ 637 B † " " ! # œ
B B B B
B Ä ! ∞ Ê # % B Ä ! ∞ Ë Œ# #
637 B †Î " † " ! # œ 637 " ! # œ " ! Ä ! œ "
B B B
Î
B Ä ! ∞ Ê # B Ä ! ∞Ê # È .
(Il primo limite può essere risolto anche con l'utilizzo del Teorema di de l'Hôpital, infatti 637 / ! =/8 B " œ ! J M; applichiamo il Teorema:
B !
B Ä !
=/8 B
Œ
637 / ! =/8 B " Ê 637 / † -9= B ! -9= B œ
B "
L
B Ä ! B Ä !
=/8 B =/8 B
Ä " † Ä " ! Ä " œ #.)
& GÞIÞ B Á ! GÞIÞ œ) : ; ‘‡ œ‘ÏÖ!×.
C B œ " B œ " B œ C B
B B
% %
. Funzione dispari (simmetrica rispetto all'origine degli assi). la studiamo solo per B : ! ed operiamo per simmetria.
Segno ed intersezioni con gli assi: C : ! se " B : ! Ê " B : ! Ê B "
B
% % %
Ê B ". Funzione positiva per le ! B ", negativa per le B : ". Intersezione con l'asse delle ascisse nel punto EÐ"ß !Ñ.
Limiti agli estremi del GÞIÞ:
637 " B œ Ä " œ ! ∞ EZ B œ !
B Ä !
B Ä !!
%
!
; di equazione ;
637 " B œ 637 " B œ Ä ! Ä ! ∞ œ ∞
B B
B Ä ! ∞ B Ä ! ∞
% $ ;
637 C œ 637 " B † " œ 637 " B œ Ä ! Ä ! ∞
B B B B
B Ä ! ∞ B Ä ! ∞ B Ä ! ∞
%
#
#
œ ∞. La funzione non presenta né asintoti orizzontali, né obliqui.
Crescenza e decrescenza: C œ %B † B " B † " œ " ! $B . C !ß
B B
w $ % % w
# #
aB : !. Funzione strettamente decrescente in ‘!!.
Concavità e convessità: C œ "#B † B " ! $B † #B œ #B " $B œ B
Î B
ww $ # % %
% %Î$
# " $B
B C : ! " $B : ! Ê $B " Ê B "Î$ Ê ! B "Î$
$ %. ww se % % % È% .
Funzione strettamente convessa Ó!ßÈ% "Î$Ó, strettamente concava in ÒÈ% "Î$ß ! ∞Ò. Punto di flesso in ÐÈ% "Î$ß #È% $Î$Ñ
Grafico (in rosso l'asintoto verticale della funzione):
-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20
-3 -2 -1 0 1 2 3
grafico funzione
.
') ( 1 =/8 B # -9= #B .B œ -9= B =/8 #B 1 œ
! !
-9= =/8 #1 1 -9= ! =/8 ! œ # .
7) La funzione proposta è differenza di funzioni continue e derivabili in tutto l'insieme
‘, ne consegue che essa è continua e derivabile nell'intervallo Ò"ß #Ó; a tale funzione è applicabile il Teorema di Lagrange nell'intervallo proposto. C " œ # # † " œ ! " , C # œ # # † # œ ! C œ # † 691 # # # e w B . Per determinare B! è quindi necessario risolvere l'equazione: C œ C # C " Ê # † 691 # # œ ! Ê # œ # œ
# " 691 #
w B B
# 691 / Ê B œ 691 # 691 / œ 691 691 /# ! # # # # #.
8) f0 œ Ð %Bß "# $C Ñ# .
J SG %B œ ! Ê Ê T Ð!ß „ #Ñ
"# $C œ !
B œ ! C œ %
œ ! œ „ #
: œ # œ # œ B , due punti critici "ß# .
C [0 œ % ! à l 0 l œ[
! 'C
” • #%C.
WSG l 0 ÐT Ñl œ: [ " : ! 0 ÐT Ñ œ, " ! T. " punto di massimo.
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%) %
l 0 ÐT Ñl œ [ # %) ! T. # punto di sella.
