Esame di Geometria e Algebra
Laurea Ing. — 11 Giugno 2018 — Traccia I
COGNOME NOME
1 Si considerino i seguenti sottospazi di R4:
S = h(−1, 1, 0, 0), (0, −1, 1, 1)i,
K = {(x, y, z, t) ∈ R4 | x − y = 0, y + z + t = 0}.
Determinare le dimensioni ed una base di S + K e di S ∩ K.
2 Si consideri l’applicazione lineare F : R3 −→ M2(R) definita come segue F (x, y, z) = x + y − z 0
y 2y − z
,
(a) Determinare la dimensione ed una base del nucleo e dell’immagine di F e stabilire se l’applicazione F `e suriettiva e/o iniettiva.
(b) Si consideri l’applicazione lineare G : a11 a12
a21 a22
∈ M2(R) −→ (a11, a21, a22) ∈ R3
e sia H l’endomorfismo definito come segue H : v ∈ R3 −→ (G ◦ F )(v) = G(F (v)) ∈ R3. De- notata con M la matrice associata ad H rispetto alla base canonica di R3, si determini se M `e diagonalizzabile ed in caso affermativo si esibisca una matrice diagonalizzante per M .
3 Discutere, al variare del parametro h ∈ R, il seguente sistema lineare:
y + hz = h x + (1 − h)y + 2z = 1
x + hy + 3z = 2
4 Nello spazio euclideo reale, fissato un riferimento cartesiano, si considerino i punti A = (1, 0, −1), B = (2, 1, −1) e la retta `, dove
` :
y + z = 2 x − 2y = −2 .
(a) Si scrivano le equazioni parametriche e cartesiane della retta r passante per i punti A e B.
(b) Verificare che le rette ` ed r sono incidenti, si determini il loro punto in comune ed il piano che le contiene.
5 Siano V , W due K–spazi vettoriali, siano F , G due applicazioni lineari da V in W e sia k ∈ K. Si considerino le funzioni F + G : v ∈ V 7−→ F (v) + G(v) ∈ W e kF : v ∈ V 7−→ kv ∈ W . Dimostrare che F + G e kF sono entrambe applicazioni lineari.
6 Enunciare le definizioni di autovettore ed autovalore di un endomorfismo (o di una matrice quadrata).
Dimostrare che l’autovalore relativo ad un autovettore `e univocamente determinato.
Traccia I — 1
Esame di Geometria e Algebra
Laurea Ing. — 11 Giugno 2018 — Traccia II
COGNOME NOME
1 Si considerino i seguenti sottospazi di R4:
S = h(1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0)i, K = {(x, y, z, t) ∈ R4 | x + y − z + t = 0, 2x − 3z = 0}.
Determinare le dimensioni ed una base di S + K e di S ∩ K.
2 Si consideri l’applicazione lineare F : R3 −→ M2(R) definita come segue F (x, y, z) = x + y y + z
0 x − z
,
(a) Determinare la dimensione ed una base del nucleo e dell’immagine di F e stabilire se l’applicazione F `e suriettiva e/o iniettiva.
(b) Si consideri l’applicazione lineare G : a11 a12
a21 a22
∈ M2(R) −→ (a11, a12, a22) ∈ R3
e sia H l’endomorfismo definito come segue H : v ∈ R3 −→ (G ◦ F )(v) = G(F (v)) ∈ R3. De- notata con M la matrice associata ad H rispetto alla base canonica di R3, si determini se M `e diagonalizzabile ed in caso affermativo si esibisca una matrice diagonalizzante per M .
3 Discutere il seguente sistema lineare a coefficienti in R:
x − 2y + 2z − t = 1 2x − 4y + 3z + t = 3
3x − 6y + 5z = 4
4 Nello spazio euclideo reale, fissato un riferimento cartesiano, si considerino la retta `, dove
` :
x + z = 0 y − hz = 1 ed il piano π : x − y + 2z − h = 0, con h ∈ R.
(a) Si determini la posizione reciproca di ` e π al variare di h ∈ R.
(b) Scelto, se esiste, un valore di h ∈ R per cui ` e π risultano paralleli e disgiunti, se ne calcoli la distanza.
5 Sia F : V −→ W un’applicazione lineare. Dimostrare che se v1, . . . , vn∈ V sono linearmente dipendenti, allora F (v1), . . . , F (vn) ∈ W sono linearmente dipendenti.
6 Enunciare le definizioni di autovettore ed autovalore di un endomorfismo (o di una matrice quadrata).
Dimostrare che l’insieme degli autovettori relativi ad un fissato autovalore λ, munito del vettore nullo,
`
e un sottospazio vettoriale.
Traccia II — 1
