Esame di Geometria e Algebra
Laurea Ing. — 05 Novembre 2018 — Traccia I
COGNOME NOME
1 Si considerino i seguenti sottospazi di R4:
H = {(x, y, z, t) ∈ R4 | 2x − y = y − 2t = 0}, K = h(0, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)i.
(a) Determinare la dimensione ed una base di H e K. Completare la base di H ad una base di R4. (b) Determinare l’eventuale valore del parametro reale h tale che v = (h, h + 2, −3, h) ∈ H.
(c) Determinare la dimensione ed una base per ciascuno degli spazi vettoriali H + K e H ∩ K.
2 Si consideri l’applicazione lineare F : R3 −→ R3 definita come segue F (x, y, z) = (−2x + y + z, −x + z, −x + y).
(a) Determinare la matrice A che rappresenta F rispetto alla base canonica di R3.
(b) Determinare la dimensione del nucleo e dell’immagine di F e stabilire se l’applicazione F `e iniettiva e/o suriettiva.
(c) Stabilire se F `e diagonalizzabile ed in caso affermativo si determini una base di R3 diagonalizzante per F .
3 Discutere, al variare del parametro h ∈ R, il seguente sistema lineare:
10x − 3y − z + 6t = h 4x − y − z + 8t = 4
3x − y − t = 0
4 Nello spazio euclideo reale, fissato un riferimento cartesiano, si considerino le rette
`1 : x + 4z + 3 = 0
x − y + 2z + 1 = 0 , `2 :
x = 4t y = 3 + 2t z = 1 − t
, t ∈ R.
(a) Verificare che le rette `1, `2 sono parallele e distinte. Si determini, inoltre, l’equazione del piano α che le contiene.
(b) Determinare la distanza tra le rette `1, `2.
5 Enunciare la definizione di matrici simili e dimostrare che matrici simili hanno lo stesso determinante e lo stesso polinomio caratteristico.
6 Dimostrare che un vettore di U ⊕ W si esprime in maniera unica come somma di un vettore di U e di un vettore di W .
Traccia I — 1
