Esame di Geometria e Algebra
Laurea Ing. — 22 Gennaio 2018 — Traccia I
COGNOME NOME
1 Sia W il sottospazio di R5 generato dai vettori:
v1 = (0, 1, 2, 0, 1), v2 = (k, 1, 2, 0, 2), v3 = (0, 0, 0, k, 1), dove k ∈ R.
(a) Al variare del parametro k, trovare una base di W . (b) Si completi la base trovata in (a) ad una base di R5.
2 Si consideri l’applicazione lineare F : R4 −→ M2(R) definita come segue F (x, y, z, t) =
y − t x − 2z 3y + 4z 2x + 4t
,
(a) Determinare la matrice che rappresenta F rispetto alle basi canoniche di R4 e di M2(R).
(b) Determinare la dimensione del nucleo e dell’immagine di F e stabilire se l’applicazione F `e suriettiva e/o iniettiva.
(c) Si consideri l’applicazione lineare G : a11 a12
a21 a22
∈ M2(R) −→ (4a21+ 8a12− 3a22− 12a11, a21, a12, a11) ∈ R4
e sia H : v ∈ R4 −→ (G ◦ F )(v) = G(F (v)) ∈ R4. Determinare se l’endomorfismo H `e diagonalizzabile ed in caso affermativo si determini una base di R4 diagonalizzante per H.
3 Discutere, al variare del parametro h ∈ R, il seguente sistema lineare:
2hy + z − t = 0 x − 2z + ht = 0 x − 2hz + t = 0
4 Nello spazio euclideo reale, fissato un riferimento cartesiano, si considerino le rette r ed s:
r :
x = −2 − 3λ y = λ z = 1 − λ
, λ ∈ R, s :
x = 1 + 2µ y = 3 − 2µ z = −3 + 3µ
, µ ∈ R.
(a) Verificare che le rette r ed s sono sghembe.
(b) Determinare le equazioni cartesiane e parametriche della retta di minima distanza e calcolare la distanza tra le rette r ed s.
5 Sia K un campo e siano V, W due K–spazi vettoriali. Dimostrare che un’applicazione lineare F : V −→
W `e iniettiva se e solo se Ker(F ) = {0}.
6 Sia V uno spazio vettoriale euclideo e sia A un sottoinsieme di V . Si consideri A⊥ = {v ∈ V | v · u = 0, ∀u ∈ A}, l’insieme dei vettori di V che sono ortogonali a tutti i vettori di A. Mostrare che A⊥ `e un sottospazio vettoriale di V .
Traccia I — 1
Esame di Geometria e Algebra
Laurea Ing. — 22 Gennaio 2018 — Traccia II
COGNOME NOME
1 Siano
v1 = (1, −1, −1, 1), v2 = (k, 1, 1, −1) ∈ R4, dove k ∈ R.
(a) Si trovino i valori del parametro k per i quali v1 e v2 sono linearmente indipendenti.
(b) Per k = 2, si estenda l’insieme {v1, v2} ad una base di R4.
2 Si consideri l’applicazione lineare F : R4 −→ M2(R) definita come segue
F (x, y, z, t) =
y − z x − 5t 5y − 5t x − 5z
,
(a) Determinare la matrice che rappresenta F rispetto alle basi canoniche di R4 e di M2(R).
(b) Determinare la dimensione del nucleo e dell’immagine di F e stabilire se l’applicazione F `e suriettiva e/o iniettiva.
(c) Si consideri l’applicazione lineare G : a11 a12 a21 a22
∈ M2(R) −→ (a11, a21, a12, a22) ∈ R4 e sia H : v ∈ R4 −→ (G ◦ F )(v) = G(F (v)) ∈ R4. Determinare se l’endomorfismo H `e diagonalizzabile ed in caso affermativo si determini la matrice (diagonale) che rappresenta H rispetto ad una sua base diagonalizzante.
3 Discutere, al variare del parametro h ∈ R, il seguente sistema lineare:
x + hy + z + t = 1 x + y + 2z + t = 1
hx + ht = 1
4 Nello spazio euclideo reale, fissato un riferimento cartesiano, si considerino le rette r ed s:
r :
x = 2λ y = 1 + λ
z = λ
, λ ∈ R, s :
x = µ y = 1 z = 1 + 2µ
, µ ∈ R.
(a) Verificare che le rette r ed s sono sghembe.
(b) Determinare le equazioni cartesiane e parametriche della retta di minima distanza e calcolare la distanza tra le rette r ed s.
5 Enunciare e dimostrare la formula dimensionale per le applicazioni lineari.
6 Sia V uno spazio vettoriale euclideo. Dimostrare che se v1, . . . , vn ∈ V sono vettori non nulli a due a due ortogonali, allora v1, . . . , vn sono linearmente indipendenti.
Traccia II — 1
