Esame di Geometria e Algebra
Laurea Ing. — 14 giugno 2018 — Traccia I
COGNOME NOME
1 Sia S =
h + 2 1 2
0 2 −4
0 1 h
una matrice ad elementi reali.
(a) Si discuta al variare di h in R il rango di S.
(b) Per h = 2 si determinino gli autospazi di S e si stabilisca se S `e diagonalizzabile.
2 Si discuta e se possibile, si risolva al variare del parametro reale h il sistema lineare di equazione matriciale:
h 6 −3 0 2 −1
x y z
=h 0
3 In R3, sia W il sottospazio vettoriale generato da
I = ((1, 1, 0), (1, −1, −2), (2, 0, −2)).
Si determinino una base B e la dimensione di W ∩ K essendo K il sottospazio K = {(x, y, z)|x + 2y − z = 0}.
Si completi B ad una base di R3.
4 Nello spazio euclideo, fissato un riferimento cartesiano, si considerino il punto P (1, 0, −3) e il vettore v= (1, −1, 1)
(a) Si scrivano le equazioni parametriche e cartesiane della retta r passante per il punto P e parallela a v.
(b) Si determini nel fascio di piani di asse r il piano α parallelo alla retta m : x − 1 = 2y = z.
(c) Si calcoli la distanza tra il piano α e la retta m.
5 Si scrivano le definizioni di applicazione lineare e di nucleo di un’applicazione lineare. Si dimostri che se f : V 7→ V0 `e un’applicazione lineare allora il nucleo Kerf `e un sottospazio vettoriale di V .
6 Si scrivano la definizione di angolo tra una retta e un piano e la definizione di retta e piano perpendicolari nello spazio euclideo E3. Si ricavi una condizione analitica di perpendicolarit´a tra una retta e un piano di E3, fissato un riferimento cartesiano di E3.
Traccia I — 1
