Analisi Matematica 1 Diciassettesima lezione
prof. Claudio Saccon
Dipartimento di Matematica Applicata, Via F. Buonarroti 1/C email: [email protected]
web: http://www2.ing.unipi.it/ d6081/index.html Ricevimento: ogni luned`ı, dalle 8.30 alle 11.30
3 dicembre 2009
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Sia f : I → R con I intervallo e sia x0∈ I Definizione (Derivata)
Diciamo che f `ederivabile in x0se esiste finito
x→xlim0
f(x) − f (x0) x− x0 = lim
h→0
f(x0+ h) − f (x0) h
che viene allora dettoderivata di f in x0e indicato con uno dei simboli f0(x0) ˙f(x0) d
dxf(x) x=x0
Diciamo che f `ederivabile in Ise f `e derivabile in ognix0di I. In questo caso risulta definita la nuova funzione f0: I → R dettaderivata di f.
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Definizione (derivate di ordine superiore)
Se f `e derivabile in I e a sua volta f0risulta derivabile in x0(in I) allora la derivata di f0(a rigore (f0)0) viene dettaderivata secondadi f e indicata con f00.
Analogamente si definisce la derivata terza come f000= (f00)0e cos`ı via.
Per indicare la generica derivata di ordine n si utilizzano le scritture f(n) dn
dxnf(x)
(nella prima notazione le parentesi sono necessarie per non confondere la derivazione con la potenza)
Per convenzione la derivata di ordine zero f0coincide con la funzione di partenza f
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Osservazione (derivata e retta tangente) Se f `e derivabile in x0allora
f(x) = f (x0) + f0(x0)(x − x0) + o(x − x0) DIM
cio‘e la retta y = f (x0) + f0(x0)(x − x0) approssima la funzione a meno di un infinitesimo di ordine superiore a x − x0.
Viceversa se y = m(x − x0) + q `e una retta passante per (x0, f (x0) tal che f(x) = m(x − x0)q + o(x − x0)
allora necessariamente p = f (x0), f `e derivabile in x0e m = f0(x0). DIM Definizione (retta tangente)
Se f `e derivabile in x0, la retta y = f (x0) + f0(x0)(x − x0) viene detta retta tangente al grafico di f nel punto (x0, f (x0)).
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Teorema
Se f `e derivabile in x0allora f `e continua in x0 DIM Nota
Il teorema precedente non `e invertibile.
La funzione f (x) = |x| fornisce un esempio di funzione continua che, almeno nello zero, non `e derivabile. DIM
Teorema (linearit`a)
Supponiamo che f e g siano derivabili in x0e che alpha e β siano due numeri reali. Allora αf + β g `e derivabile in x0e
(αf + β g)0(x0) = αf0(x0) + β g0(x0)
La dimostrazione `e conseguenza immediata dell propriet`a dei limiti.
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Teorema (derivata del prodotto)
Supponiamo che f e g siano derivabili in x0. Allora fg `e derivabile in x0e
(fg)0(x0) = f0(x0)g(x0) + f (x0)g0(x0) DIM In termini sintetici, se f e g sono derivabili ovunque:
(fg)0= f0g+ fg0
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Teorema (derivata del quoziente)
Supponiamo che f e g siano derivabili in x0e che g(x0) 6= 0.
Allora fg `e derivabile in x0e
f g
0
(x0) =f0(x0)g(x0) − f (x0)g0(x0) g2(x0)
DIM
In termini sintetici, se f e g sono derivabili ovunque e g6= 0 ovunque:
f g
0
=f0g− fg0 g2
In particolare, se f `e diversa da zero in x0(ovunque)
1 f
0
(x0) = −f0(x0) f2(x0)
1 f
0
= −f0 f2
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