Facolt` a di Agraria

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Facolt` a di Agraria

Prova scritta di Matematica A.A. 2000-2001 Appello del 19/3/2001

Voto

Istruzioni: scrivere la risposta nel riquadro a fianco dell’esercizio ed allegare lo svolgimento completo. Apporre nome, cognome e numero di matricola su ogni foglio. Prima della consegna indicare nell’apposito spazio il numero totale di fogli protocollo di cui ` e composto l’elaborato.

Cognome Nome

no. fogli (compreso questo) N. Matricola

Esercizio 1. Data la funzione f (x) = x ² (1 − x)

1. scrivere il polinomio di Taylor di ordine 2, P 2 (x), di f relativo al punto x 0 = 0;

2. scrivere le equazioni della retta tangente e della parabola osculatrice al grafico di f nel punto (0, f (0));

3. rappresentare, in un unico diagramma, i grafici di f e quel- li della tangente e della parabola osculatrice determinate nel punto precedente.

1. P 2 (x) = x ² ; 2. y = 0, y = x ² . 3.

Esercizio 3. In certe condizioni, precisate dalla genetica, la trasmissione di un allele recessivo in una popolazione `e descritta dal problema di Cauchy

(1)

½ q ⁰ = −sq ² (q − 1) q(0) = q 0

dove la funzione incognita q = q(t) rappresenta la frequenza del- l’allele (compresa tra 0 e 1) nella popolazione al tempo t, mentre s

`e una costante (compresa tra 0 e 1) detta coefficiente di selezione e q 0 > 0.

a. Dire se si tratta di un’equazione lineare e indicare un possibile metodo di risoluzione.

Una versione semplificata di (1) `e la seguente

(2)

½ q ⁰ = −sq ² q(0) = q 0 ,

ottenuta da (1) sostituendo al termine q ² (1 − q) il suo polinomio di Taylor di ordine 2 relativo al punto 0, calcolato nell’esercizio 1.

b. Determinare una soluzione q(t) del problema (2) per t ∈ [0, +∞[, nel caso s = 1/2 e q 0 = 1.

c. Calcolare il limite della soluzione trovata per t → +∞ e disegnarne un grafico approssimativo per t ≥ 0.

a. non `e lineare b. q(t) = 2/(t + 2)

c. 0

2 Matematica e Biomatematica, 19/3/2001

Esercizio 3. Date le funzioni f (x) = 1

x(1 − x) , g(x) = 1 x ² (1 − x) , determinarne tutte le primitive nell’intervallo ]0, 1[.

R f dx = {log x

1 − x + C : x ∈ (0, 1), C ∈ R}

R g dx = {− 1

x + log x

1 − x + C : x ∈ (0, 1), , C ∈ R}

Esercizio 4. Risolvere la disequazione

log |x − 1| < log x + log 2 ]1/3, 1[∪]1, +∞[

Esercizio 5. Data la successione a n = 2n ² − 5

300 − n ² n = 1, 2, 3, ...

dire se `e limitata e calcolare sup e inf riconoscendo se sono, rispettivamente, max e min.

1. `e limitata.

2. max a n = a 17 = ⁵⁷³ ₁₁ min a n = a 18 = − ⁶⁴³ ₂₄

Esercizio 6. Calcolare, se esiste, il limite

x→+∞ lim

log ¹⁰⁰ x

10

√

x − 100 . 0

Esercizio 7. ` E data la funzione f : R → R definita da

f (x) =

( log x se x ≥ 1

ax − 3 se x < 1 dove a ∈ R `e un parametro.

1. Determinare per quali valori di a la funzione `e iniettiva.

2. Determinare tra i valori di a trovati al punto precedente quelli (se ve ne sono) per cui si ha f (R) = R.

3. Per a = 2 determinare dominio, immagine e legge di f ⁻¹ .

1. 0 < a ≤ 4 2. a = 3 3.

f ⁻¹ (y) =

( e ^y se y ≥ 0

(y + 3)/2 se y < −1