Facolt`a di Agraria

Facolt`a di Agraria

Prova scritta di Matematica del 22/9/2003 A.A. 2002-2003

Voto

Istruzioni: scrivere la risposta nel riquadro a fianco dell’esercizio ed allegare lo svolgimento completo. Apporre nome, cognome e numero di matricola su ogni foglio. Prima della consegna indicare nell’apposito spazio il numero totale di fogli di cui ` e composto l’elaborato.

Cognome Nome

no. fogli (compreso questo) N. Matricola

1. Risolvere la disequazione log ₂ √

x + log _1/4 x ² ≤ 1

[2 ^−3/2 , +∞[

2. Data la funzione

f (x) = x ² + 2x + 17 13 − 2x 1. determinarne il dominio;

2. calcolarne i limiti agli estremi degli intervalli che ne costituiscono il dominio;

3. determinare in quali intervalli la funzione `e crescente e in quali decrescente;

4. determinare in quali intervalli la funzione `e concava e in quali convessa;

5. scrivere l’equazione della retta tangente al grafico di f nel punto di coordinate (15, f (15));

6. disegnare un grafico approssimativo di f e della retta tangente precedentemente individuata.

1. D = R \ {13/2}

2. lim

x→−∞ f (x) = lim

x→+∞ f (x) = −∞,

x→13/2 lim

f (x) = +∞, lim

x→13/2

f (x) = −∞,

3. f ⁰ (x) = 2 −x ² + 13x + 30

(13 − 2x) ² , x ∈ D.

f `e crescente in ] − 2, 13/2[e in ]13/2, 15[ e decrescente in ] − ∞, −2[ e in ]15, +∞[, 4. f ⁰⁰ (x) = 578/(13 − 2x) ³ , x ∈ D.

f `e convessa in ] − ∞, 13/2[ e concava in ]13/2, +∞[,

5. y = −16, 6.

y

-2 0

x

13/2 x

-16

15

2 Matematica, 22/9/2003

3. Si consideri la funzione f : R → f (R) con legge

f (x) =

 

 



 

 

a + 2x se x < 0 2 + ax se 0 ≤ x < 2

x ² se x ≥ 2 dove a `e un parametro reale.

1. Dire per quali valori di a la funzione `e inver- tibile e per quali di essi, se ve ne sono, risulta f (R) = R;

2. dire se per a = 1 la funzione `e invertibile e, in caso affermativo, determinare dominio, codominio e legge della funzione inversa;

3. determinare per quali valori di a, se ne esistono, la funzione `e continua in ogni punto.

1. `e invertibile per ogni 0 < a ≤ 1 e non esistono valori di a tali che con f (R) = R.

2. per a = 1 la funzione `e invertibile

con f ⁻¹ :] − ∞, 1[∪[2, +∞[→ R definita da

f ⁻¹ (y) =

 

 



 

 

(y − 1)/2 se y < 1 y − 2 se 2 ≤ y < 4

√ y se y ≥ 4

3. non esistono

4. Dato il problema di Cauchy

½ y ⁰ = 4y y(0) = 10,

1. dire se la funzione y(x) = 10 cos(4x) `e una soluzione del problema;

2. determinare una soluzione del problema, nel caso in cui non lo sia gi`a la funzione di cui al punto precedente;

3. dire se esistono altre soluzioni giustificando la risposta data.

1. non `e soluzione 2. y(x) = 10 e ^4x

3. la soluzione `e unica perch`e l’equazione `e lineare

5. Si consideri la retta di equazioni parametriche

½ x = 2t

y = 2 − at, t ∈ R

dove a `e un numero reale.

Dire per quali valori di a la retta `e 1. perpendicolare alla retta y − 3x = 0;

2. tangente alla circonferenza di equazione x ² + y ² − 2x − 2y = 0.

1. a = 2/3

2. a = −1