Facolt`a di Agraria

Facolt`a di Agraria

Prova scritta di Matematica del 19/12/2002 A.A. 2002-2003

Voto

Istruzioni: scrivere la risposta nel riquadro a fianco dell’esercizio ed allegare lo svolgimento completo. Apporre nome, cognome e numero di matricola su ogni foglio. Prima della consegna indicare nell’apposito spazio il numero totale di fogli di cui ` e composto l’elaborato. Chi avesse partecipato alla prova informale del 28/11/2002 pu` o decidere se conservare quello gi` a fatto (con la corrispondente valutazione) barrando la relativa casella, oppure rifarlo.

Cognome Nome

no. fogli (compreso questo) N. Matricola

1. Risolvere la disequazione

e |2x−7|−|x+3| ≥ 1 ] − ∞, 4/3] ∪ [10, +∞[

2. Data la funzione

f (x) = log(x ⁴ − 16)

1. determinarne il dominio;

2. calcolarne i limiti agli estremi degli intervalli che costituiscono il dominio di f ;

3. determinare in quali intervalli la funzione `e crescente e in quali decrescente;

4. scrivere l’equazione della retta tangente al grafico di f nel punto di coordinate (3, f (3));

5. disegnare un grafico approssimativo di f e della retta tangente precedentemente individuata.

1. ] − ∞, −2[∪]2, +∞[

2. lim

x→+∞ f (x) = lim

x→−∞ f (x) = +∞

x→−2 lim

f (x) = lim

x→2

f (x) = −∞

3. f `e decrescente in ] − ∞, −2[ e crescente in ]2, +∞[.

4. f ⁰ (x) = 4 _x

^x −16

. L’equazione della retta tangente `e y = log 65 + 108

65 (x − 3).

5.

3 2

-2 x

y

2 Matematica, 19/12/2002

3. Si consideri la funzione f : R → f (R) con legge

f (x) =

( a ^x se x ≤ 0

√ x + 1 se x > 0

dove a `e un parametro reale positivo.

1. Dire per quali valori di a la funzione `e invertibile;

2. dire se per a = e la funzione `e invertibile e, in caso affermativo, determinare dominio, codominio e legge della funzione inversa;

3. determinare per quali valori di a, se ne esistono, la funzione `e continua in ogni punto;

4. determinare per quali valori di a, se ne esistono, f `e derivabile in ogni punto.

1. a > 1

2. si. f ⁻¹ :]0, +∞[→ R,

f ⁻¹ (y) =

½ log y se 0 < y ≤ 1 y ² − 1 se y > 1

3. a > 0 4. a = √

e

4. Dato il problema di Cauchy ( y ⁰ = y − 2t

y(0) = 3,

1. dire se la funzione y(t) = 2t+3 `e una soluzione del problema;

2. determinare una soluzione del problema di Cauchy, nel caso in cui non lo sia gi`a la funzione di cui al punto precedente.

1. no

2. y(t) = e ^t +2t + 2

5. Data la retta r di equazioni parametriche

½ x = 2t

y = 2 − t, t ∈ R

1. determinare il punto P di intersezione tra la retta r e l’asse y ;

2. determinare l’equazione della retta s perpen- dicolare a r e passante per P ;

3. determinare l’equazione della circonferenza con centro in (0, 0) e tangente alla retta s;

4. rappresentare graficamente le due rette e la circonferenza su di uno stesso diagramma cartesiano.

1. P = (0, 2) 2.

½ x = t

y = 2t + 2, t ∈ R ovvero y = 2x + 2

3. x ² + y ² = 4/5