Compito di Meccanica Razionale, 17/12/2010
Prof. F. Bagarello
Risolvere almeno due dei seguenti quesiti.
1. Data la lagrangiana L = 12( ˙r2+ r2θ˙2) + ˙r cos(θ)− r sin(θ) ˙θ − 1r ottenere le equazioni di Eulero-Lagrange e verificare che I = r2θ `˙ e un integrale del moto. Giustificare il risultato.
2. Scrivere e risolvere, nell’approssimazione di piccole oscillazioni, l’equazione del moto per un sistema con un grado di libert`a descritto da una energia cinetica T (x, ˙x) = m(x2+ ex) ˙x2 ed un’energia potenziale π(x) = 2 sin2(x)− x.
3. Lo studente analizzi il potenziale π(x) = 2 log(x)− sin(x) e dimostri analiticamente che esiste almeno un punto ˜x > 0 di equilibrio stabile. Dimostri poi che, in effetti, esistono infiniti punti di equilibrio stabile.
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