Compito di Meccanica Razionale, 13/7/2012
Prof. F. Bagarello
Siano P1 e P2 due punti materiali, di massa m1 ed m2 rispettivamente, collegati da una fune inestensibile di lunghezza l e massa trascurabile (la linea trattegiata in figura). Supponiamo inoltre che questi punti siano vincolati a muoversi a contatto (l’uno al di sopra e l’altro al di sotto) dell’asse x orizzontale, come in figura, e che tale asse sia liscio. (La fune passa dal semipiano y > 0 a quello y < 0 in O, dove `e posta una carrucola priva di massa e di raggio trascurabile, non mostrata in figura). Nell’ipotesi che il sistema ruoti ottorno l’asse y con una velocit`a angolare ⃗ω = ωˆȷ, con ω costante, ottenere la lagrangiana, le equazioni (o l’equazione) del moto e risolverle (o risolverla) adottando condizioni iniziali arbitrarie.
Rispondere poi alle stesse domande supponendo adesso che il punto P1 sia collegato al punto Q = (3l, 0, 0) da una molla di costante elastica k e lunghezza a riposo nulla. In quest’ultimo caso (cio´e, in presenza della molla), trovare una condizione sulle costanti del sistema affinch`e, in condizione di equilibrio, la coordinata x1 della particella P1 assuma il valore 2l3. Stabilire di che tipo di equilibrio si tratti.
- 6
P1
s P2
s x
y
O
1
