Compito di Meccanica Razionale, 18/6/2012
Prof. F. Bagarello
Risolvere almeno 2 dei seguenti quesiti:
1. Considerare un punto materiale P di massa m vincolato a muoversi sul piano (O; x, y) orizzontale privo di attrito. Detta r la distanza di P da O, ottenere le equazioni di Eulero-Lagrange supponendo che P sia soggetto ad una forza generata da un’energia potenziale π(r) = e−rr − r2. Determinare almeno due costanti del moto per tale sistema, ed usarle, ove possibile, per ottenere una equazione del moto nella sola variabile r.
2. Dopo avere stabilito se la forza ⃗F = (y x2, x, zy) sia conservativa o meno, lo studente calcoli il lavoro effettuato da ⃗F per spostare un punto materiale lungo l’arco della curva di equazioni parametriche x = t, y = t2 e z = t3, per 0≤ t ≤ 1.
3. Ottenere e risolvere, nell’ipotesi delle piccole oscillazioni attorno ad un punto di equilibrio stabile, l’equazione del moto per una particella materiale di massa m la cui lagrangiana `e
L =m
2 e−xx˙2−1
2k(x log(x) + π), con k > 0.
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