VERIFICA DI MATEMATICA – 2^E Liceo Sportivo – 22 febbraio 2018 Rispondere su un foglio protocollo e riconsegnare insieme al testo entro il 1 marzo 2018 NOME E COGNOME _____________________________________________________________ 1

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VERIFICA DI MATEMATICA – 2^E Liceo Sportivo – 22 febbraio 2018 Rispondere su un foglio protocollo e riconsegnare insieme al testo entro il 1 marzo 2018 NOME E COGNOME _____________________________________________________________

1

Verificare graficamente e algebricamente che, nel piano cartesiano, i punti

A(3 ;3) B(− 1 3 ; 7

9 )

sono allineati con il punto

Q(0 ;1)

.

2

Rappresentare graficamente la retta r di equazione:

y−2 x=0

Qual è l'equazione della retta s passante per

Q(0 ;2)

e parallela a r?

Indicare poi con A e B i punti di intersezione di r e s con la retta verticale x=2 . Calcolare la misura dell'area del quadrilatero OQBA.

3 y+3 x=0

P (− 3

2 ; 0)

e perpendicolare a r?

Indicare poi con A e B i punti di intersezione di r e s con la retta verticale

x=3

. Calcolare la misura del perimetro del triangolo OAB.

4

Rappresentare graficamente la retta r contenente i punti:

A(1 ;1); B(6 ;5)

Determinare la sua equazione.

Determinare le equazioni delle rette s, t perpendicolari a r e contenenti rispettivamente i punti A e B. Disegnarle nel piano cartesiano.

5

Determinare le coordinate del punto di intersezione della rette r ed s, sapendo che la retta r contiene i punti

A(1 ;17); B(−2 ;−4)

e che la retta s contiene i punti

C (2 ;−3); D(−3 ;6)

.

Argomenti di geometria analitica: punti nel piano cartesiano, distanza tra due punti, equazione esplicita della retta, equazione intrinseca della retta, coefficiente angolare,

intercetta, rette parallele, rette perpendicolari. (Capitolo 1 volume Algebra 2)

VALUTAZIONE

Valutazione delle risposte.

2 punti: risposta corretta, soluzione migliore, buona proprietà di linguaggio, esposizione chiara e leggibile.

1,8 punti: risposta corretta, soluzione migliore con qualche imperfezione di linguaggio e di esposizione.

1,6 punti: risposta corretta, soluzione migliore ma senza una buona proprietà di linguaggio o senza una buona esposizione.

1,4 punti: risposta corretta ma non la soluzione migliore.

1,2 punti: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno tre quarti delle richieste.

1 punto: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno metà delle richieste.

0,8 punti: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno un quarto delle richieste.

0,6 punti: risposta sbagliata, purché sensata e legata al contesto.

0,4 punti: risposta sbagliata contenente errori particolarmente gravi.

0,2 punti: risposta mancante, o insensata o slegata dal contesto.

È consentito l'uso della calcolatrice pura, non è consentito l'uso del telefono mobile.

I testi delle verifiche si possono anche scaricare all'indirizzo http://www.lacella.it/profcecchi BLOG http://dottorcecchi.blogspot.it

Pagina facebook https://www.facebook.com/profcecchi

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1

Verificare graficamente e algebricamente che, nel piano cartesiano, i punti

A(3 ;3) B(− 1 3 ; 7

9 )

sono allineati con il punto

Q(0 ;1)

.

Per quanto riguarda la verifica grafica basta piazzare i punti nel piano cartesiano e tracciare la retta che individuano. Se siamo stati precisi nel piazzare i punti possiamo verificare immediatamente che appartengono alla stessa retta, quindi sono allineati.

Sostanzialmente nella verifica algebrica dobbiamo fare le stesse cose ma in modo... algebrico, appunto. Dobbiamo usare le equazioni. Determiniamo la retta che contiene due punti a scelta dei tre indicati e successivamente verifichiamo che contiene anche il terzo.

La scelta più furba è scegliere come uno dei due punti proprio Q. Così facendo, partendo dalla generica equazione esplicita y=m x+q possiamo subito determinare q=1 .

Per ricavare il coefficiente angolare utilizziamo il punto A (che ha coordinate intere, più facili da gestire):

3=3 m+1 m= 2

3

Dunque la retta che ci interessa ha equazione

y= 2

3 x+1

. Verifichiamo che contiene anche B, sostituendo nell'equazione le sue coordinate.

7 9 = 2

3 (− 1 3 )+1 7

9 =− 2 9 +1 7 9 = 7

9

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Dunque anche le coordinate di B soddisfano l'equazione e quindi A, B, Q appartengono alla stessa retta, ovvero sono allineati.

§ risposta alternativa§

Sono abbastanza sicuro che molti studenti non cercheranno la via più semplice, ma determineranno prima l'equazione della retta che contiene A e B con l'apposita formula:

y− y

_A

y

_B

− y

_A

= x−x

_A

x

_B

− x

_A

y−3

7 9 −3

= x−3

− 1 3 −3 y−3

− 20 9

= x−3

− 10 3

y−3=(x−3) 3 10

20 9

y= 2

3 x−2+3

y= 2 3 x+1

...e poi verificheranno che il punto Q soddisfa anch'esso l'equazione (ovviamente). La risposta è sicuramente accettabile come corretta ma non è sicuramente la migliore.

§ ulteriore risposta alternativa §

In effetti potremmo trovare un compromesso tra la voglia di applicare la formula della retta per due punti e la rapidità. E mettiamoci anche l'esigenza (ahimè) di “pensare poco”. In fin dei conti la formula della retta per due punti ci fornisce già l'equazione della retta, il lavoro di calcolo lo facciamo solo per ricondurci ad una delle due forme standard. Allora, sostituiamo subito il terzo punto al posto delle coordinate che dovrebbero rimanere variabili. (In effetti sui libri troviamo anche questa formula come la formula per verificare se i tre punti sono allineati)

y

_Q

− y

_A

y

B

− y

A

= x

_Q

−x

_A

x

B

− x

A

1−3 7 9 −3

= 0−3

− 1 3 −3

−2

− 20 9

= −3

− 10 3 9

10 = 9 10

L'uguaglianza è verificata quindi i tre punti sono allineati. (Ho infatti verificato direttamente che Q appartiene alla retta determinata da A e B).

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2 y−2 x=0

Q(0 ;2)

e parallela a r?

x=2

. Calcolare la misura dell'area del quadrilatero OQBA.

È più conveniente scrivere l'equazione esplicita della retta r

y=2 x

.

In questo modo ci rendiamo subito conto che il coefficiente angolare delle retta parallela s è

m=2

. Le coordinate di Q ci dicono in modo immediato che q=2 .

Dunque l'equazione richiesta è y=2 x+2 .

Per l'ultima parte della domanda non è richiesto alcun disegno, ma fare un disegno potrebbe aiutarci a capire e a rispondere.

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Il quadrilatero OQBA è un parallelogramma. L'area di un parallelogramma si calcola moltiplicando la base per l'altezza, dobbiamo osservare la figura e individuare la base e l'altezza giuste. Si noti che se incliniamo la testa e consideriamo come base OQ e come altezza la coordinata x di A (e di B) dobbiamo semplicemente calcolare

2×2=4

.

§ risposta alternativa§

Prevedo che a qualcuno non verrà in mente di inclinare la testa e quindi scegliere come base il lato obliquo OA.

In questa chiave di lettura dovremmo prima esplicitare le coordinata di A e B, che comunque è molto facile da fare, utilizzando le equazioni delle due rette.

x

_A

=2 ; y

_A

=2×2=4 ; x

_B

= 2 ; y

_B

= 2×2+2=6 ; A(2 ; 4); B(2 ;6)

.

Per calcolare la lunghezza di OA possiamo ciecamente applicare la formula della distanza oppure applicare direttamente il teorema di Pitagora (che poi è la stessa cosa).

OA= √ ²

²

⁺ ⁴

²

⁼ √ 20=2 √ 5

^.

Più complicato è calcolare l'altezza, qualche temerario potrebbe trovare sul libro la formula della distanza punto/retta e calcolare la distanza tra il punto A e la retta s (sarebbe più facile calcolare la distanza dall'origine O al punto s, ma se qualcuno è arrivato fino qui vuol dire che non si pone mai la questione di scegliere vie facili).

h= ∣ 2×2−4+2∣

√ ²

²

⁺ ¹

²

⁼

2 √ 5

. A questo punto possiamo calcolare l'area

2 √ 5× 2

√ ⁵ ⁼ ⁴

§ risposta alternativa §

Se poi qualcuno dovesse ritrovarsi con poca fantasia (e non riuscire ad inclinare la testa) e ignorante sulle formule (e su dove cercarle), potrebbe comunque sempre cavarsela con un calcolo indiretto. Osserviamo la figura: il parallelogramma del quale vogliamo calcolare l'area non è forse un trapezio dal quale viene sottratto un triangolo? Mi spiego meglio, indichiamo con

H (2 ;0)

. Osserviamo che l'area di OQBA si può ottenere sottraendo l'area del triangolo OAH a l'area del trapezio OQBH. Calcoliamo tutto quanto:

Area OAH:

2×4

2 =4

; area OQBH:

(2+6)×2

2 =8

; area OQBA: 8−4=4 .

§Alternativa all'ultima risposta alternativa §

Qualcuno potrà obiettare che se non si riusciva ad inclinare la testa prima, per calcolare più comodamente l'area del parallelogramma, non si riesce ad inclinare la testa neanche adesso per calcolare l'area del trapezio. In effetti non avrebbe tutti i torti. E allora chiamiamo

K (2 ; 2)

. Possiamo sempre vedere il quadrilatero (nell'ottica di chi non riesce a vedere il trapezio) OQBH come l'unione del quadrato OQKH e del triangolo QBK. Calcoliamo le aree:

Area OQBH:

2

²

=4

; area QBK:

2×4

2 = 4

; area OAH:

2×4

2 = 4

; area OQBA: 4+4−4=4 .

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3 y+3 x=0

P (− 3

2 ; 0)

e perpendicolare a r?

x=3

. Calcolare la misura del perimetro del triangolo OAB.

È piuttosto evidente che si tratta di una retta che contiene l'origine, anche se ci è stata mostrata l'equazione in forma implicita. Passando alla forma esplicita: y=−3 x , per il disegno possiamo fare considerazioni sul coefficiente angolare oppure piazzare qualche altro punto tipo

(1 ;−3)(2 ;−6)(−1 ; 3)

e così via.

Per scrivere l'equazione della retta perpendicolare s occorre determinare il coefficiente angolare

m= 1

3

^ovvero

l'opposto del reciproco del coefficiente angolare di r. Per determinare l'intercetta q utilizziamo l'informazione che la retta s contiene il punto P. Sostituendo le sue coordinate nell'equazione:

0= 1

3 (− 3

2 )+q

da cui otteniamo

q= 1

2

. Dunque l'equazione della retta s è

y= 1 3 x+ 1

2

Per l'ultima parte non è richiesto un disegno, ma fare il disegno potrebbe esserci di grande aiuto per decidere il da farsi.

Intanto notiamo subito che

A(3 ;−9) B(3 ; 3

2 )

, semplicemente sostituendo x=3 nelle equazioni delle due rette.

Altrettanto facilmente

AB= 3

2 −(−9)= 21

2

. Per calcolare il perimetro ci servono anche le lunghezze degli altri due lati:

OA= √ 3

²

+9

²

= √ 90=3 √ 10 OB= √ ³

²

⁺⁽ ³ ² ⁾

²

⁼ √ ⁴⁵ ⁴ ⁼ ³ ² ^√ ⁵

^.

Dunque il perimetro richiesto è

21 2 +3 √ 10+ 3

2 √ 5≈10,5+9,49+3,35=23,34

.

(7)

(8)

4

Rappresentare graficamente la retta r contenente i punti:

A(1 ;1); B(6 ;5)

Determinare la sua equazione.

Determinare le equazioni delle rette s, t perpendicolari a r e contenenti rispettivamente i punti A e B. Disegnarle nel piano cartesiano.

Per quanto riguarda la parte grafica, non c'è niente di più facile: piazziamo nel piano cartesiano i due punti che ci hanno indicato e col righello tracciamo la retta.

Per determinare l'equazione ci sono vari modi. Il più rapido è applicare la formula specifica della retta per due punti:

y−1

5−1 = x−1

6−1

^ovvero

y−1=(x−1) 4

5

^ovvero

y= 4 5 x− 4

5 +1

ovvero

y= 4 5 x+ 1

5

^.

Questa sopra è l'equazione della retta r. Le rette perpendicolari s e t hanno come coefficiente angolare l'opposto del reciproco di

4

5

^ovvero

m=− 5

4

. Per determinare l'intercetta utilizziamo le coordinate dei punti contenuti da ciascuna retta.

La retta s contiene il punto A e quindi deve essere

1=− 5

4 ×1+q

da cui

q= 9 4

^.

La retta t contiene il punto B e quindi deve essere

5=− 5

4 ×6+q

da cui

q= 25 2

^.

Conclusione: le equazioni richieste sono

r : y=− 5 4 x+ 9

4 s : y=− 5

4 x+ 25 2

Il disegno completo:

(9)

5

Determinare le coordinate del punto di intersezione della rette r ed s, sapendo che la retta r contiene i punti

A(1 ;17); B(−2 ;−4)

e che la retta s contiene i punti

C (2 ;−3); D(−3 ;6)

.

Determiniamo prima le equazioni delle due rette, poi risolveremo il sistema lineare costituito proprio da queste due equazioni.

Retta definita da A e B.

y−17

− 4−17 = x−1

−2−1

^ovvero

y−17=(x−1) 21

3

^ovvero ^{y=7 x−7+17} ^ovvero ^{y=7 x+10} ^.

Retta definita da C e D.

y +3

6+3 = x−2

−3−2

^ovvero

y=( x−2) 9

−5 −3

ovvero

y=− 9 5 x+ 3

5

Per determinare il punto di intersezione dobbiamo risolvere un sistema formato da queste due equazioni. Per risolverlo potremmo applicare subito il metodo del confronto: