ANALISI 2 / MECCANICA - Test di Analisi 2 12 novembre 2011 Cognome: Nome: Matricola: ♠ (10 punti) Calcolate, in funzione di R > 0, le coordinate del baricentro del tronco di cono curvilineo C = !(x, y, z) : x

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ANALISI 2 / MECCANICA - Test di Analisi 2 12 novembre 2011

Cognome: Nome: Matricola:

♠ (10 punti) Calcolate, in funzione di R > 0, le coordinate del baricentro del tronco di cono

curvilineo C =

!

(x, y, z) : x²+ y² ≤ R², 0 ≤ z ≤ R²/4, z ≤"

R −#x²+ y²$²% .

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Analisi 2 12 novembre 2011

♦ (10 punti) Studiate il segno e trovate i punti di massimo e minimo assoluto di f (x, y) := x²y + 2xy²− 2xy

in D = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2 − x}.

Indicate inoltre quali sono i punti di massimo e minimo relativo di f in D.

(3)

♣ (10 punti) Sia V il campo vettoriale in R³ definito da V(x, y, z) = ( − y, x, z²), e sia γ la curva chiusa intersezione del cilindro C = {(x, y, z) : 4x²+ y² = 1} e del piano di equazione z = x + 2.

Verificate che il campo V non `e irrotazionale. Calcolate il lavoro di V lungo γ.

(4)

♣ (10 punti) Calcolate, in funzione di R > 0, le coordinate del baricentro del tronco di cono curvilineo C = {(x, y, z) : x² + y²≤ R², 0 ≤ z ≤ R²/2, z ≤ R²− (x²+ y²)} .

(5)

♦ (10 punti) Studiate il segno e trovate i punti di massimo e minimo assoluto di f (x, y) := 2xy + x²y − 2xy²

in D = {(x, y) : −2 ≤ x ≤ 0, 0 ≤ y ≤ x + 2}.

Indicate inoltre quali sono i punti di massimo o minimo relativo di f in D.

(6)

♠ (10 punti) Sia V il campo vettoriale in R³ definito da V(x, y, z) = ( − y, x, z²), e sia γ la curva chiusa intersezione del cilindro C = {(x, y, z) : x²+ 4y² = 1} e del piano di equazione z = x + 2.

(7)

♦ (10 punti) Calcolate, in funzione di R > 0, le coordinate del baricentro del tronco di cono

curvilineo C =

!

(x, y, z) : x²+ y² ≤ R², 0 ≤ z ≤ 4R²/9, z ≤ "

R −#x²+ y²$²% .

(8)

♣ (10 punti) Studiate il segno e trovate i punti di massimo e minimo assoluto di f (x, y) := 2xy − x²y − 2xy²

in D = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2 − x}. Indicate inoltre quali sono i punti di massimo o minimo relativo di f in D.

(9)

♠ (10 punti) Sia V il campo vettoriale in R³ definito da V(x, y, z) = ( − y, x, z²), e sia γ la curva chiusa intersezione del cilindro C = {(x, y, z) : x²+ 4y² = 1} e del piano di equazione z = 3x + 2.

(10)

! (10 punti) Calcolate, in funzione di R > 0, le coordinate del baricentro del tronco di cono curvilineo C = {(x, y, z) : x² + y²≤ R², 0 ≤ z ≤ 5R²/9, z ≤ R²− (x² + y²)} .

(11)

♣ (10 punti) Studiate il segno e trovate i punti di massimo e minimo assoluto di f (x, y) := 2xy²− 2xy − x²y

in D = {(x, y) : −2 ≤ x ≤ 0, 0 ≤ y ≤ x + 2}.

Indicate inoltre quali sono i punti di massimo o minimo relativo di f in D.

(12)

♠ (10 punti) Sia V il campo vettoriale in R³ definito da V(x, y, z) = ( − y, x, z²), e sia γ la curva chiusa intersezione del cilindro C = {(x, y, z) : 4x²+ y² = 1} e del piano di equazione z = 2x + 2.