Facolt` a di Agraria

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Facolt` a di Agraria

Prova scritta di Matematica A.A. 2000-2001 Appello del 29/6/2001

Voto

Istruzioni: scrivere la risposta nel riquadro a fianco dell’esercizio ed allegare lo svolgimento completo. Apporre nome, cognome e numero di matricola su ogni foglio. Prima della consegna indicare nell’apposito spazio il numero totale di fogli protocollo di cui ` e composto l’elaborato.

Cognome Nome

no. fogli (compreso questo) N. Matricola

Esercizio 1. Nella crescita di alcuni tumori solidi, le cellule pi` u interne muoiono soffocate da quelle cir- costanti. Questo processo `e descritto dall’equazione differenziale (di Gompertz)

y ⁰ (t) = λ e ^−µt y(t) (1) dove λ e µ sono costanti assegnate e la funzione incog- nita y(t) rappresenta la densit`a di cellule vive al tempo t. Il significato dell’equazione `e evidente: il tasso di crescita y ⁰ (t) decresce esponenzialmente al passare del tempo.

1. A quale nota equazione si ridurrebbe la (1) nel caso in cui fosse µ = 0?

2. Risolvere il problema di Cauchy

½ y ⁰ (t) = 3 e ^−2t y(t) y(0) = 1.

1. L’equazione di Malthus.

2. y(t) = e

^(1−e

⁾

Esercizio 2. Calcolare i limiti seguenti 1. lim

x→−1/3

[log ₂ (3x + 1) − log ₄ (3x + 1)]

2. lim

x→−1/3

[log ₂ (3x + 1) − log ₄ (3x + 1)] sen(6x + 2)

1. −∞

2. 0

2 Matematica e Biomatematica, 29/6/2001

Esercizio 3. Date la circonferenza C di equazione x ² − 6x + y ² − 4y + 4 = 0 e la retta r di equazione 2x + y = 4

1. determinarne centro e raggio della circonferenza;

2. trovare la retta perpendicolare ad r e passante per il centro di C.

3. trovare la circonferenza avente lo stesso centro di C e tangente alla retta r.

1. Centro (3, 2), raggio 3 2. x − 2y + 1 = 0

3. (x − 3) ² + (y − 2) ² = 16/5

Esercizio 4. Data la funzione f (x) = ³ 307 − 2x 100 + x

´ ₂

1. determinarne il dominio naturale;

2. determinare eventuali punti di massimo e minimo relativo;

3. determinare in quali intervalli f `e concava e in quali

`e convessa;

4. disegnarne un garfico approssimativo.

1. R \ {−100}

2. 307/2 `e punto di min rel. e f (307/2) = 0

3. f `e convessa in ] − ∞, −100[ e in ] − 100, 1121/4[ e concava in ]1121/4, +∞[

-100 4

1121/4 x

y

307/2

Esercizio 5. Data la successione a n = ³ 307 − 2n

100 + n

´ 2

n = 1, 2, 3, ...

dire se `e limitata e calcolare estremo superiore e inferiore riconoscendo se sono, rispettivamente, massimo e minimo.

E limitata. `

max a n = a 1 = (309/101) ² , min a n = a 154 = 1/254 ²

Esercizio 6. Data la funzione f (x) =

½ |x − a| se x ≤ 0 b − x ² se x > 0,

1. dire se per a = b = 1 la funzione `e invertibile e, in caso affermativo, determinare dominio, codominio e legge della funzione inversa;

2. determinare per quali valori di a e b la funzione f `e continua;

3. tra i valori di a e b trovati al punto precedente determinare quelli per cui f risulta invertibile.

1. f `e invertibile e f ⁻¹ : R → R con

f ⁻¹ (y) =

½ √ 1 − y se y ≥ 1 1 − y se y < 1 2. f `e continua per ogni a, b ∈ R tali che

|a| = b

3. f `e invertibile per ogni a, b ∈ R tali che

a = b ≥ 0