Esame di Geometria e Algebra
Laurea Ing. — 8 Novembre 2017 — Traccia I
COGNOME NOME
1 Si considerino i seguenti vettori di R4:
v1 = (0, −h, 2, 3), v2 = (h, 2, 0, 1), v3 = (1, 1, 2, h + 3), dove h ∈ R.
(a) Stabilire per quale valore del parametro h ∈ R i vettori v1, v2, v3 sono linearmente dipendenti e per tale valore determinare la dimensione ed una base dello spazio vettoriale U generato dai vettori v1, v2, v3.
(b) Sia W = h(1, 2, 0, 1), (0, 0, 1, 0)i. Per il valore di h trovato, determinare la dimensione ed una base per ciascuno degli spazi vettoriali U + W e U ∩ W .
2 Si consideri l’applicazione lineare F : R3 −→ R3 definita come segue
F (x, y, z) = (4x + 4z, hy + (h + 1)z, 4x + (h + 1)y + (h + 5)z), dove h ∈ R.
(a) Determinare la matrice che rappresenta F rispetto alla base canonica di R3.
(b) Determinare la dimensione del nucleo di F al variare del parametro h ∈ R e stabilire per quali valori di h ∈ R l’applicazione F `e suriettiva.
(c) Determinare per quale valore di h ∈ R l’endomorfismo F ammette come autovalore λ = −1. Per tale valore di h si stabilisca se F `e diagonalizzabile ed in caso affermativo si determini una base di R3 diagonalizzante per F .
3 Discutere, al variare del parametro h ∈ R, il seguente sistema lineare:
x − y + t = h 2x + hy + z = 0
3x + (h − 1)y + z + (h + 2)t = h2
4 Nello spazio euclideo reale, fissato un riferimento cartesiano, si considerino il punto P = (1, 0, 0) e la retta
r :
x = 2 − 3λ y = λ z = 1 + 2λ dove λ ∈ R,
(a) Determinare le equazioni parametriche e cartesiane della retta ` passante per P , perpendicolare ed incidente alla retta r.
(b) Determinare la distanza del punto A = (2, 0, −1) dalla retta r.
5 Sia V un K–spazio vettoriale e siano v1, . . . , vn ∈ V . Dimostrare che hv1, v2, . . . vni `e il pi`u piccolo sottospazio vettoriale di V contenente i vettori v1, . . . , vn.
6 Nello spazio euclideo reale, si consideri un piano σ : ax + by + cz + d = 0 ed una retta ` con coefficienti direttori (r1, r2, r3). Si fornisca una condizione affinch`e ` sia perpendicolare a σ.
Traccia I — 1
