Esame di Geometria e Algebra
Laurea Ing. — 21 Gennaio 2018 — Traccia I
COGNOME NOME
1 Dati i seguenti sottospazi di R4:
U = {(x, y, z, t) ∈ R4 | 2x − y + t = z − t = 0}, V = {(x, y, z, t) ∈ R4 | x + y = y − z = x + t = 0}.
(a) Verificare che la somma di U e V `e diretta.
(b) Trovare una base del complemento ortogonale U⊥ del sottospazio U , rispetto al prodotto scalare standard di R4.
2 Si consideri l’applicazione lineare F : R3 −→ R3 tale che Ker(F ) = {(x1, x2, x3) ∈ R3 | x1− 2x2 = 0} e F (0, 2, 2) = (1, 2, 0).
(a) Determinare la matrice che rappresenta F rispetto alla base canonica di R3.
(b) Determinare la dimensione del nucleo e dell’immagine di F e stabilire se l’applicazione F `e suriettiva e/o iniettiva.
(c) Stabilire se l’endomorfismo F `e diagonalizzabile ed in caso affermativo si determini una base di R3 diagonalizzante per F .
3 Discutere, al variare del parametro h ∈ R, il seguente sistema lineare:
hx + y + (h + 1)z = 1 2hx + (h − 1)y = 0
y + hz = 1 h2x + (h − 1)y = 0
4 Nello spazio euclideo reale, fissato un riferimento cartesiano, si considerino i punti A = (2, 2, 2), B = (0, 0, 4) e C = (0, 12, 0).
(a) Determinare il piano π passante per i punti A, B, C.
(b) Determinare gli eventuali punti di intersezione tra π e la retta `, dove
` :
x = 5λ y = 2 + λ z = −2 − λ
, λ ∈ R,
(c) Determinare le equazioni cartesiane e parametriche della retta r ortogonale a π nel punto C.
5 Enunciare la definizione di matrice quadrata invertibile. Dimostrare che se A, B ∈ Mn(K) sono matrici invertibili, allora AB `e invertibile.
6 Sia K un campo e siano V, W K–spazi vettoriali. Dimostrare che se F : V −→ W `e un isomorfismo, allora F−1 : W −→ V `e un isomorfismo.
Traccia I — 1
Esame di Geometria e Algebra
Laurea Ing. — 21 Gennaio 2018 — Traccia II
COGNOME NOME
1 Considerato il seguente sottospazio di R4:
W = {(x, y, z, t) ∈ R4 | x − y = z − t = y + z = 0}.
(a) Determinare la dimensione ed una base di W .
(b) Trovare una base del complemento ortogonale W⊥ del sottospazio W , rispetto al prodotto scalare standard di R4.
2 Si consideri l’endomorfismo F : R3 −→ R3 tale che Ker(F ) = {(x, y, z) ∈ R3 | 2x − y = 0} e V1(F ) ∪ {0} = {(x, y, z) ∈ R3 | x + 2y = z = 0}.
(a) Determinare la matrice che rappresenta F rispetto alla base canonica di R3.
(b) Determinare la dimensione del nucleo e dell’immagine di F e stabilire se l’applicazione F `e suriettiva e/o iniettiva.
(c) Stabilire se l’endomorfismo F `e diagonalizzabile ed in caso affermativo si determini una base di R3 diagonalizzante per F .
3 Discutere, al variare del parametro h ∈ R, il seguente sistema lineare:
x + 2y + hz + t = 1 hy + (h + 1)z + t = 0 2y + (h + 1)z + t = 1
4 Nello spazio euclideo reale, fissato un riferimento cartesiano, si considerino il punto A = (1, 1, 1) ed il piano σ : 3x − 2y + 4z − 7 = 0.
(a) Determinare il piano π passante per A e parallelo a σ.
(b) Determinare le equazioni cartesiane e parametriche della retta ` ortogonale ai due piani σ, π e passante per il punto O = (0, 0, 0). Trovare inoltre i punti di intersezione di ` con i due piani σ e π.
(c) Determinare il piano π0 contenente la retta ` e passante per il punto A.
5 Mostrare che l’inversa di una matrice quadrata, se esiste, `e unica.
6 Sia K un campo e sia V un K–spazio vettoriale. Dimostrare che se F : V −→ V `e un isomorfismo e λ `e un autovalore di F , allora λ−1 `e un autovalore di F−1.
Traccia II — 1
