Esame di Geometria e Algebra
Laurea Ing. — 17 Settembre 2018 — Traccia I
COGNOME NOME
1 Si consideri il sottospazio W di R5 costituito dai vettori w della forma (2a1− a2− a3, 2a1− a3, a1, a2, a1− 4a2+ a3) dove a1, a2 e a3 sono parametri reali.
(a) Trovare una base di W .
(b) Determinare le coordinate del vettore v = (0, 1, 1, 1, −2) ∈ W rispetto alla base trovata al punto precedente.
2 Si consideri la matrice
M =
1 h 0 0 h 1 0 h 0 0 h 0 0 0 0 0
,
con h ∈ R.
(a) Discutere il rango di M al variare di h ∈ R.
(b) Per ogni valore di h ∈ R trovare una base dello spazio vettoriale generato dalle colonne di M e completarla ad una base di R4.
(c) Discutere la diagonalizzabilit`a di M al variare di h ∈ R.
3 Si consideri l’applicazione
F : (x, y, z) ∈ R3 7−→ (x + hy, (h − 1)x2+ y, z + h − 1) ∈ R3, con h ∈ R.
(a) Determinare gli eventuali valori di h in corrispondenza dei quali F `e lineare.
(b) Per ciascuno di tali valori determinare Ker(F ) ed Im(F ).
(c) Determinare A−1, dove A `e la matrice associata ad F rispetto alla base canonica di R3. 4 Nello spazio euclideo reale, fissato un riferimento cartesiano, si considerino le rette
`1 : y = 0 z = 1 , `2 :
x − y + z = 0 3x + y + 2 = 0 . (a) Verificare che `1 e `2 sono sghembe.
(b) Determinare la retta incidente e perpendicolare ad entrambe.
(c) Trovare la minima distanza tra `1 ed `2.
5 Siano V, W due K–spazi vettoriali. Sia F : V −→ W un’applicazione lineare. Mostrare che se v1, . . . , vn∈ V sono linearmente dipendenti, allora F (v1), . . . , F (vn) ∈ W sono linearmente dipendenti.
6 Mostrare che se un sistema lineare `e compatibile, allora le sue soluzioni sono tutte e sole quelle ottenute sommando ad una di esse le soluzioni del sistema omogeneo associato.
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